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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Di 27.11.2012 | | Autor: | Hellfrog |
| Aufgabe | Lösen sie auf [0, [mm] \infty) [/mm] das Anfangsproblem
y' = ty, y(0) = 1
mit Hilfe der Picard-Iteration. |
hallo
ich habe hier ein problem bei dieser aufgabe. die einzelnen iterationen sind kein problem, nur das bildungsgesetz zu erraten fällt mir schwer.
![[]](/images/popup.gif) Hier wurde zu derselben aufgabe schonmal 3 iterationen gerechnet und ich habe noch 2 weitere berechnet aber das hat mir nicht wirklich geholfen.
[mm] y_{4}(t) [/mm] = 1 + [mm] \bruch{t^{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{t^{4}}{8} [/mm] + [mm] \bruch{t^{6}}{48} [/mm] + [mm] \bruch{t^{8}}{384}
[/mm]
[mm] y_{5}(t) [/mm] = 1 + [mm] \bruch{t^{2}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{t^{4}}{8} [/mm] + [mm] \bruch{t^{6}}{48} [/mm] + [mm] \bruch{t^{8}}{384} [/mm] + [mm] \bruch{t^{10}}{3840}
[/mm]
habe schonmal versucht [mm] \bruch{1}{(n-1)!}, \bruch{1}{n!} [/mm] und [mm] \bruch{1}{2^{n}} [/mm] auszuklammern, aber hat alles nix gebracht.
in nem anderen post wurde zu [mm] y_{4}(t) [/mm] geraten, eine bekannte taylor formel zu benutzen.
danke schonmal im voraus
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Hallo Hellfrog,
> Lösen sie auf [0, [mm]\infty)[/mm] das Anfangsproblem
>
> y' = ty, y(0) = 1
>
> mit Hilfe der Picard-Iteration.
> hallo
>
> ich habe hier ein problem bei dieser aufgabe. die einzelnen
> iterationen sind kein problem, nur das bildungsgesetz zu
> erraten fällt mir schwer.
>
> Hier
> wurde zu derselben aufgabe schonmal 3 iterationen gerechnet
> und ich habe noch 2 weitere berechnet aber das hat mir
> nicht wirklich geholfen.
>
> [mm]y_{4}(t)[/mm] = 1 + [mm]\bruch{t^{2}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{t^{4}}{8}[/mm] +
> [mm]\bruch{t^{6}}{48}[/mm] + [mm]\bruch{t^{8}}{384}[/mm]
>
> [mm]y_{5}(t)[/mm] = 1 + [mm]\bruch{t^{2}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{t^{4}}{8}[/mm] +
> [mm]\bruch{t^{6}}{48}[/mm] + [mm]\bruch{t^{8}}{384}[/mm] +
> [mm]\bruch{t^{10}}{3840}[/mm]
>
>
> habe schonmal versucht [mm]\bruch{1}{(n-1)!}, \bruch{1}{n!}[/mm] und
> [mm]\bruch{1}{2^{n}}[/mm] auszuklammern, aber hat alles nix
> gebracht.
> in nem anderen post wurde zu [mm]y_{4}(t)[/mm] geraten, eine
> bekannte taylor formel zu benutzen.
>
Stelle z.B, 2. Summanden durch den 1. Summanden dar.
Ist der 1. Summand [mm]a_{0}[/mm], dann ist
[mm]a_{1}=c_{1}*a_{0}[/mm]
Das Spiel machst Du auch mit dem 2. Summanden usw.:
[mm]a_{2}=c_{2}*a_{1}[/mm]
Dann wirst Du ein Bildungsgesetz erkennen.
>
> danke schonmal im voraus
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:11 Mi 28.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Du kannst auch klammheimlich, auf einem Schmierzettel, das AWP
y' = ty, y(0) = 1
lösen. Das ist hier sehr einfach: [mm] y(t)=e^{\bruch{1}{2}t^2}
[/mm]
Schreib das als Reihe und Du hast Dein Bildungsgesetz für die Iterationen.
Da Du das heimlich gemacht hast, solltest Du das Bildungsgesetz noch induktiv beweisen.
FRED
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