Picard-Iteration & Konvergenz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 So 09.02.2014 | | Autor: | Orchis |
| Aufgabe | | Führen Sie für das AWP [mm] x'=\vektor{-x_{1}*x_{2} \\ x_{2}*x_{3}} \\ x(0)=\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] drei Picard-Iterationen durch. Konvergiert die Iteration? Begründen Sie ihre Antwort. |
Hallo nochmal :),
das Lernen nimmt heute kein Ende, drum noch eine Frage. Ich habe gerade einmal eine Picard-Iteration durchgeführt und habe per Vergleich mit der Musterlösung gesehen, dass ich anscheinend die ganze Zeit etwas falsch ausgerechnet habe, das ich aber nicht sehe...
Ich habe raus:
Erster Schritt:
[mm] x^{(1)}=x(0)=\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{x}{\vektor{-1 \\ 0 \\ 2} dt} [/mm] = [mm] {\vektor{-x \\ 0 \\ 2x}}
[/mm]
Zweiter Schritt:
[mm] x^{(2)}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{x}{\vektor{-(1-t) \\ 2t \\ 2t} dt} [/mm] = [mm] \vektor{1 - x + \bruch{1}{2}x^{2} \\ 1 + x^{2} \\ x^{2}}
[/mm]
Dritter Schritt:
[mm] x^{(3)}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{x}{\vektor{-(1 - t + \bruch{1}{2}t^{2})*(1+t²) \\ (1 + t^{2})*t^{2} \\ t^{2}} dt} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{x}{\vektor{\bruch{1}{2}t^{2} - \bruch{1}{2}t^{3} - 1 \\ t^{2} + t^{4} \\ t^{2}} dt}
[/mm]
= [mm] \vektor{1 - t + \bruch{1}{6}t^{3} - \bruch{1}{8}t^{4} \\1 + \bruch{1}{3}t^{3} + \bruch{1}{5}t^{5} \\ \bruch{1}{3}t^{3}}
[/mm]
Abgesehen davon (unmathematisch ausgedrückt, aber mir geht es gerade nur ums Verfahren): Wenn ich die drei Schritte nun berechnet habe. Muss man dann irgendeine Potenzreihe erkennen, diese per vollst. Induktion bestätigen und dann diese gegen [mm] \infty [/mm] schicken??? Oder wie kann man schnell sehen, dass die Picard-Iteration konvergiert? (vllt. sogar mit dem Banachschen Fixpunktsatz?)
Viele Grüße und ein großes Dankeschön fürs Drüberschauen. :)
Orchis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 So 09.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. im ersten Schritt addierst du [mm] x_0 [/mm] nicht mehr, also ist das der erste Fehler.
2. dein x' hat nur 2 Komponenten, wo ist die dritte?
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 So 09.02.2014 | | Autor: | Orchis |
Ja, aber das sind wie ich gerade sehe zwei Fehler, die beim Arbeiten mit dem Formeleditor geschehen sind...
Zu 1): [mm] x'=\vektor{-x_{1}\cdot{}x_{2} \\ x_{2}\cdot{}x_{3} \\ 2}
[/mm]
Zu 2): Ich habe [mm] x_{0} [/mm] addiert, aber vergessen es im Formeleditor auch zu schreiben, bei Schritt 2 verwende ich ja dann das richtige...
Bei Schritt 1 kommt also heraus:
[mm] {\vektor{1-x \\ 1 \\ 2x}}
[/mm]
Wäre die Picard-Iteration dann so richtig? :)
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Hallo Orchis,
> Ja, aber das sind wie ich gerade sehe zwei Fehler, die beim
> Arbeiten mit dem Formeleditor geschehen sind...
> Zu 1): [mm]x'=\vektor{-x_{1}\cdot{}x_{2} \\ x_{2}\cdot{}x_{3} \\ 2}[/mm]
>
> Zu 2): Ich habe [mm]x_{0}[/mm] addiert, aber vergessen es im
> Formeleditor auch zu schreiben, bei Schritt 2 verwende ich
> ja dann das richtige...
> Bei Schritt 1 kommt also heraus:
> [mm]{\vektor{1-x \\ 1 \\ 2x}}[/mm]
>
> Wäre die Picard-Iteration dann so richtig? :)
Ja.
Nenne doch das x hier t, das besser zur Zeitanhängigkeit.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 So 09.02.2014 | | Autor: | Orchis |
Ich danke dir! Nun zur Konvergenz. Wenn ich das richtig verstanden habe ist das Picardsche Iterationsverfahren ein sukzessives Approximationsverfahren und kann/muss aber nicht gegen einen Fixpunkt konvergieren, der eindeutige Lösung meiner DGL ist. In der Aufgabenstellung ist ja nur gefragt, ob das Verfahren konvergiert, d.h. könnte man nach der obigen Überlegung nicht mit dem Banachschen Fixpunktsatz die Konvergenz überprüfen?
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Hallo Orchis,
> Ich danke dir! Nun zur Konvergenz. Wenn ich das richtig
> verstanden habe ist das Picardsche Iterationsverfahren ein
> sukzessives Approximationsverfahren und kann/muss aber
> nicht gegen einen Fixpunkt konvergieren, der eindeutige
> Lösung meiner DGL ist. In der Aufgabenstellung ist ja nur
> gefragt, ob das Verfahren konvergiert, d.h. könnte man
> nach der obigen Überlegung nicht mit dem Banachschen
> Fixpunktsatz die Konvergenz überprüfen?
Der Banachsche Fixpunktsatz wird ja gerade beim
Existenz- uind Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
verwendet.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 So 09.02.2014 | | Autor: | Orchis |
Ok. D.h. ich überprüfe Kontraktionseigenschaft, Abgeschlossenheit des Definitionsbereichs und Selbstabbildungseigenschaft...
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