Picard-Lindelöf-Iteration < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 Do 19.11.2009 | | Autor: | cmueller |
| Aufgabe | Wenden Sie die Picard-Lindelöf-Iteration
[mm]y_{0}= \eta [/mm]
[mm]y_{n+1} = \eta \integral_{\xi}^{x}{f(t,y_{n}(t)) dt}[/mm]
für das Anfangswertproblem
[mm] y'(x)=xy(x)+1 [/mm]
$y(0)=0$
an: Berechnen Sie genügend viele Iterationsschritt, um eine explizite Formel für [mm] y_{n} [/mm] zu erkennen. Beweisen Sie diese durch vollständige Induktion. |
Hallo,
also wir haben die oben beschriebene Aufgabenstellung.
Als wir in der Vorlesung des Satz von Picard-Lindelöf angeschrieben haben, sind wir ausgegangen von:
$y'=f(x,y(x))$ in [mm] [\xi,\xi+a], y(\xi)=\eta [/mm] (1)
mit dem Streifen S S:= [mm] {(x,y)\in \IR^{2}, x\in[\xi,\xi+a], y \in \IR}
[/mm]
Dann haben wir den Picard-Lindelöf-Satz bewiesen und zum Schluss dazu bemerkt, dass wir die Lösung von $y(x) = [mm] \eta \integral_{\xi}^{x}{f(t,y(t)) dt}§ [/mm] (äquivalent zu (1) ) iterativ beschreiben können, weil der Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes konstruktiv ist.
Naja und darauf folgte halt die Aufgabe^^
Meine Fragen:
Kann ich davon ausgehen, dass der Streifen S noch genauso definiert ist? muss ich doch eigentlich oder?
ich habe mir jetzt überlegt, dass man das ja einfach mal einsetzen könnte (von wegen iterationsschritte) und fange dann an bei [mm] y_{0}=0
[/mm]
[mm]y_{1} = 0 \integral_{0}^{x}{f(t,y_{0}(t)) dt}[/mm] für n=0
[mm] $y_{1}=\integral_{0}^{x}{f(t,0) dt}$
[/mm]
[mm] $y_{1}=\integral_{0}^{x}{t*0+1 dt}$
[/mm]
und dann wäre [mm] $y_{1}=x+c$
[/mm]
so, das könnte ich ja jetzt noch für ein paar weitere werte von n machen und müsste dann auf eine explizite formel schließen können.
aber stimmt das? also, berechne ich das wirklich so, oder hab ich die aufgabe falsch verstanden?
Vielen Dank für jede Hilfe!!
lg cmueller
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Do 19.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Wenden Sie die Picard-Lindelöf-Iteration
>
> [mm]y_{0}= \eta[/mm]
> [mm]y_{n+1} = \eta \integral_{\xi}^{x}{f(t,y_{n}(t)) dt}[/mm]
Es muß
[mm]y_{n+1} = \eta +\integral_{\xi}^{x}{f(t,y_{n}(t)) dt}[/mm]
lauten !!
>
> für das Anfangswertproblem
> [mm]y'(x)=xy(x)+1[/mm]
> [mm]y(0)=0[/mm]
> an: Berechnen Sie genügend viele Iterationsschritt, um
> eine explizite Formel für [mm]y_{n}[/mm] zu erkennen. Beweisen Sie
> diese durch vollständige Induktion.
> Hallo,
>
> also wir haben die oben beschriebene Aufgabenstellung.
> Als wir in der Vorlesung des Satz von Picard-Lindelöf
> angeschrieben haben, sind wir ausgegangen von:
>
> [mm]y'=f(x,y(x))[/mm] in [mm][\xi,\xi+a], y(\xi)=\eta[/mm] (1)
> mit dem Streifen S S:= [mm]{(x,y)\in \IR^{2}, x\in[\xi,\xi+a], y \in \IR}[/mm]
>
> Dann haben wir den Picard-Lindelöf-Satz bewiesen und zum
> Schluss dazu bemerkt, dass wir die Lösung von $y(x) = [mm]\eta \integral_{\xi}^{x}{f(t,y(t)) dt}§[/mm]
> (äquivalent zu (1) ) iterativ beschreiben können, weil
> der Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes konstruktiv ist.
>
> Naja und darauf folgte halt die Aufgabe^^
> Meine Fragen:
> Kann ich davon ausgehen, dass der Streifen S noch genauso
> definiert ist?
Das kannst Du
> muss ich doch eigentlich oder?
>
> ich habe mir jetzt überlegt, dass man das ja einfach mal
> einsetzen könnte (von wegen iterationsschritte) und fange
> dann an bei [mm]y_{0}=0[/mm]
> [mm]y_{1} = 0 \integral_{0}^{x}{f(t,y_{0}(t)) dt}[/mm] für n=0
> [mm]y_{1}=\integral_{0}^{x}{f(t,0) dt}[/mm]
>
> [mm]y_{1}=\integral_{0}^{x}{t*0+1 dt}[/mm]
> und dann wäre
> [mm]y_{1}=x+c[/mm]
Mach das c weg. Es ist [mm] y_1(x) [/mm] = x
> so, das könnte ich ja jetzt noch für ein paar weitere
> werte von n machen und müsste dann auf eine explizite
> formel schließen können.
Dann mach es doch !
Mit der Vorschrift:
[mm]y_{n+1}(x) =\integral_{0}^{x}{f(t,y_{n}(t)) dt}[/mm]
> aber stimmt das? also, berechne ich das wirklich so,
Ja
> oder
> hab ich die aufgabe falsch verstanden?
Nein
FRED
>
> Vielen Dank für jede Hilfe!!
>
> lg cmueller
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Do 19.11.2009 | | Autor: | Orso |
Hallo!
Ich arbeite an derselben Aufgabe und bin etwas weiter!
y1=x habe ich genauso.
dann geht es weiter mit:
y2= [mm] \bruch{1}{3}x^3+x
[/mm]
y3= [mm] \bruch{1}{15}x^5+\bruch{1}{3}x^3+x
[/mm]
(An cmueller, setze die anfangs berechneten Werte in die oben genannte Formal für die Integrale ein und du wirst sehen, wie sich das ergibt)
Habe mir dann überlegt, wie man diese Formel weiter verallgemeinern kann und folgende Formel herausbekommen:
[mm] yn=x+\summe_{i=0}^{n-1}\bruch{xhoch(2i+3)}{(2i+3)*(2i+1)}
[/mm]
Meine Frage wäre jetzt, ob meine Formel, bzw. meine Indizes i=1 bis n-1 korrekt sind und weiter, wie ich das per Induktion beweisen kann.
Außerdem muss ich die Summe ja noch für [mm] n\to\infty [/mm] berechnen, d.h. also irgendeine bekannte Summe finden, die irgendwie in meiner Summe drin steckt um den limes zu berechnen um eine konkrete Lösung für y zu bekommen.
Wär super, wenn mir da jemand einen Denkanstoß bzw. Tipp geben könnte!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Do 19.11.2009 | | Autor: | cmueller |
Vielen Dank schonmal euch beiden für die Hilfe.
Ja auf die FUnktionen danach bin ich prinzipiell auch gekommen, aber könnt ihr mir noch erklären, warum ich die Konstanten weglassen kann?
Ansonsten noch eine Frage an Fred. Wo war der Unterschied zwischen deiner und meiner Picard-Lindelöf-Iteration, ich hab meinen Fehler nicht gefunden?
Was genau muss ich denn, wenn ich die explizite Formel erkannt habt, noch per Induktion beweisen? das meine formel gilt für alle n oder?
lg cmueller
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Do 19.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank schonmal euch beiden für die Hilfe.
> Ja auf die FUnktionen danach bin ich prinzipiell auch
> gekommen, aber könnt ihr mir noch erklären, warum ich die
> Konstanten weglassen kann?
Du mußt sie weglassen !
[mm] \integral_{0}^{x}{f(t,y_{n}(t)) dt} [/mm] ist ein bestimmtes Integral und kein unbestimmtes
>
> Ansonsten noch eine Frage an Fred. Wo war der Unterschied
> zwischen deiner und meiner Picard-Lindelöf-Iteration, ich
> hab meinen Fehler nicht gefunden?
Du hattest geschrieben:
$ [mm] y_{n+1} [/mm] = [mm] \eta \integral_{\xi}^{x}{f(t,y_{n}(t)) dt} [/mm] $
Es muß aber lauten:
$ [mm] y_{n+1} [/mm] = [mm] \eta +\integral_{\xi}^{x}{f(t,y_{n}(t)) dt} [/mm] $
>
> Was genau muss ich denn, wenn ich die explizite Formel
> erkannt habt, noch per Induktion beweisen?
Ja
FRED
das meine formel
> gilt für alle n oder?
>
> lg cmueller
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Do 19.11.2009 | | Autor: | cmueller |
ah alles klar :) danke schön jez hab ichs auch entdeckt, allerdings wieder erst beim 5.hinschauen :D
danke sehr =)
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Hallo Orso,
> Hallo!
> Ich arbeite an derselben Aufgabe und bin etwas weiter!
>
> y1=x habe ich genauso.
>
> dann geht es weiter mit:
>
> y2= [mm]\bruch{1}{3}x^3+x[/mm]
> y3= [mm]\bruch{1}{15}x^5+\bruch{1}{3}x^3+x[/mm]
>
> (An cmueller, setze die anfangs berechneten Werte in die
> oben genannte Formal für die Integrale ein und du wirst
> sehen, wie sich das ergibt)
>
> Habe mir dann überlegt, wie man diese Formel weiter
> verallgemeinern kann und folgende Formel herausbekommen:
>
> [mm]yn=x+\summe_{i=0}^{n-1}\bruch{xhoch(2i+3)}{(2i+3)*(2i+1)}[/mm]
>
> Meine Frage wäre jetzt, ob meine Formel, bzw. meine
> Indizes i=1 bis n-1 korrekt sind und weiter, wie ich das
> per Induktion beweisen kann.
Berechne hier doch noch ein paar weitere Picard-Iterationen,
um zu sehen, wie das weiter geht.
> Außerdem muss ich die Summe ja noch für [mm]n\to\infty[/mm]
> berechnen, d.h. also irgendeine bekannte Summe finden, die
> irgendwie in meiner Summe drin steckt um den limes zu
> berechnen um eine konkrete Lösung für y zu bekommen.
> Wär super, wenn mir da jemand einen Denkanstoß bzw. Tipp
> geben könnte!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Fr 20.11.2009 | | Autor: | cmueller |
Hallo,
also ich kann die FOrmel eigentlich gut nachvollziehen, frage mich jetzt aber:
wenn ich [mm] y_{n} [/mm] beweisen will mitvollständiger induktion, und nehme n=1 für den Induktionsanfang, habe ich doch nach der Formel von Orso
[mm]yn=x+\summe_{i=0}^{n-1}\bruch{x^{(2i+3)}}{(2i+3)*(2i+1)}[/mm]
für $ [mm] y_{1}= x+\bruch{1}{3}x^{3}$
[/mm]
demnach würde ich sagen, die Formel stimmt nich, oder macht man für die summe nichts, wenn sie von 0 bis 0 läuft?
edit: an Orso:die Formel kann auf keinen Fall stimmen, weil du im Nenner einproblem bekommst, wenn i 2 oder mehr is, bis dahin klappt das ja mit 1*3 und 3*5 aber danach hast du 5*7 und das ist leider nicht 105^^
kann es sein, dass die Formel stimmt:
[mm]yn=\summe_{i=0}^{n-1}\bruch{x^{(2i+1)}}{(1*3*5*...*(2i+1)}[/mm]
?
lg chrissi
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Hallo cmueller,
> Hallo,
>
> also ich kann die FOrmel eigentlich gut nachvollziehen,
> frage mich jetzt aber:
>
> wenn ich [mm]y_{n}[/mm] beweisen will mitvollständiger induktion,
> und nehme n=1 für den Induktionsanfang, habe ich doch
> nach der Formel von Orso
> [mm]yn=x+\summe_{i=0}^{n-1}\bruch{x^{(2i+3)}}{(2i+3)*(2i+1)}[/mm]
>
> für [mm]y_{1}= x+\bruch{1}{3}x^{3}[/mm]
>
> demnach würde ich sagen, die Formel stimmt nich, oder
> macht man für die summe nichts, wenn sie von 0 bis 0
> läuft?
Die Formel stimmt nur für die ersten 3 Picard-Iterationen.
>
> edit: an Orso:die Formel kann auf keinen Fall stimmen, weil
> du im Nenner einproblem bekommst, wenn i 2 oder mehr is,
> bis dahin klappt das ja mit 1*3 und 3*5 aber danach hast du
> 5*7 und das ist leider nicht 105^^
>
> kann es sein, dass die Formel stimmt:
>
> [mm]yn=\summe_{i=0}^{n-1}\bruch{x^{(2i+1)}}{(1*3*5*...*(2i+1)}[/mm]
> ?
Mit Hilfe des Potenzreihenansatzes kommt auch diese Reihe heraus.
>
> lg chrissi
Gruss
MathePower
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