Picard-Lindelöf < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass das AWP y′ = [mm] ln(e^{(5y-t)} [/mm] + [mm] t^{2}), [/mm] y(0) = 1 genau eine
Lösung besitzt. |
Es gilt doch mit der Lipschitz bedingung
[mm] |\bruch{\partial}{\partial y} f(t,y)|\le [/mm] L
also:
[mm] |\bruch{\partial}{\partial y} ln(e^{(5y-t)}+t^{2})| \le \bruch{1}{e^{(5y-t)}+t^{2}}* 5e^{(5y-t)}
[/mm]
die rechte Seite ist doch L = [mm] max|\bruch{\partial}{\partial y}ln(e^{(5y-t)}+t^{2})| [/mm] oder?
jetzt steht in der Lösung weiter [mm] \le \bruch{5e^{(5y-t)} + 5t^{2}}{e^{(5y-t)}+t^{2}}
[/mm]
woher kommt das [mm] 5t^{2} [/mm] im Zähler?
wenn man jetzt y(0)=1 einsetzt erhält man 5
[mm] \bruch{5e^{(5y-t)} + 5t^{2}}{e^{(5y-t)}+t^{2}}\le [/mm] 5
"Somit ist nach dem Schrankensatz die Funktion lipschitz-stetig mit 5 als Lipschitz Konstante"
heißt das jetzt wenn ich zum Beispiel eine Fkt habe ohne angegebenes Intervall oder Anfangswert bedeutet das für L = [mm] max|\bruch{\partial}{\partial y} [/mm] f(t,y)| immer [mm] \to \infty [/mm] und ist deshalb nicht lipschitz-stetig?
und beudeutet das einsetzen des anfangswertes y(0)=1 dass die Fkt nur an dieser Stelle lipschitz-stetig ist?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:01 Di 11.08.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass das AWP y′ = [mm]ln(e^{(5y-t)}[/mm] + [mm]t^{2}),[/mm]
> y(0) = 1 genau eine
> Lösung besitzt.
> Es gilt doch mit der Lipschitz bedingung
> [mm]|\bruch{\partial}{\partial y} f(t,y)|\le[/mm] L
>
> also:
> [mm]|\bruch{\partial}{\partial y} ln(e^{(5y-t)}+t^{2})| \le \bruch{1}{e^{(5y-t)}+t^{2}}* 5e^{(5y-t)}[/mm]
>
> die rechte Seite ist doch L = [mm]max|\bruch{\partial}{\partial y}ln(e^{(5y-t)}+t^{2})|[/mm]
> oder?
>
> jetzt steht in der Lösung weiter [mm]\le \bruch{5e^{(5y-t)} + 5t^{2}}{e^{(5y-t)}+t^{2}}[/mm]
>
> woher kommt das [mm]5t^{2}[/mm] im Zähler?
Da hat der Aufgabensteller geschickt nach oben abgeschätzt. Man bekommt:
(*) [mm] $|\bruch{\partial}{\partial y} ln(e^{(5y-t)}+t^{2})| \le \bruch{5e^{(5y-t)} + 5t^{2}}{e^{(5y-t)}+t^{2}}=5$ [/mm] für alle (t,y) [mm] \in \IR^2
[/mm]
>
> wenn man jetzt y(0)=1 einsetzt erhält man 5
Wozu ??? (*) gilt für alle (t,y) [mm] \in \IR^2, [/mm] also auch für (0,1).
>
> [mm]\bruch{5e^{(5y-t)} + 5t^{2}}{e^{(5y-t)}+t^{2}}\le[/mm] 5
>
> "Somit ist nach dem Schrankensatz die Funktion
> lipschitz-stetig mit 5 als Lipschitz Konstante"
>
> heißt das jetzt wenn ich zum Beispiel eine Fkt habe ohne
> angegebenes Intervall oder Anfangswert bedeutet das für L
> = [mm]max|\bruch{\partial}{\partial y}[/mm] f(t,y)| immer [mm]\to \infty[/mm]
Diesen "Schwurbelsatz" verstehe ich nicht !
> und ist deshalb nicht lipschitz-stetig?
>
> und beudeutet das einsetzen des anfangswertes y(0)=1 dass
> die Fkt nur an dieser Stelle lipschitz-stetig ist?
"Lipschitzstetig an einer Stelle" ist völlig sinnlos !
FRED
|
|
|
|
