Picard-Lindelöf < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Mi 26.11.2008 | | Autor: | alexwie |
| Aufgabe | | Schreibe das Anfangswertproblem y′′ = −y, y(0) = 0, y′ (0) = 1 in ein System um und dies in eine Fixpunktgleichung. Berechne induktiv die nte Picarditeration und mit deren Hilfe die Lösung des Anfangswertproblems. |
Hallo!
Da ich leider nicht in der Vorlesung war und aus meinem skriptum nicht schlau werde möchte ich ein paar Fragen dazu stellen:
Ich weiß wie man das in ein system umschreibt aber leider habe ich keine Ahnung was eine Fixpunktgleichung ist. Das einzige was ich weiß ist dass man bei einer Kontraktion eines metrischen raumes den banachschen fixpunktsatz anwenden kann. ich weiß aber nicht welche Kontraktion dafür in Frage kommt.
Wäre um jede Hilfe dankbar.
Denn wenn ich die Kontraktion kenne dann weiß ich schon wie man näherungsweise den Grenzwert berechnen kann.
lg alex
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:51 Do 27.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Schreibe das Anfangswertproblem y′′ =
> −y, y(0) = 0, y′ (0) = 1 in ein System um und
> dies in eine Fixpunktgleichung. Berechne induktiv die nte
> Picarditeration und mit deren Hilfe die Lösung des
> Anfangswertproblems.
> Hallo!
> Da ich leider nicht in der Vorlesung war und aus meinem
> skriptum nicht schlau werde möchte ich ein paar Fragen dazu
> stellen:
> Ich weiß wie man das in ein system umschreibt
Dann mach das mal und wir sehen weiter.
FRED
> aber leider
> habe ich keine Ahnung was eine Fixpunktgleichung ist. Das
> einzige was ich weiß ist dass man bei einer Kontraktion
> eines metrischen raumes den banachschen fixpunktsatz
> anwenden kann. ich weiß aber nicht welche Kontraktion dafür
> in Frage kommt.
> Wäre um jede Hilfe dankbar.
> Denn wenn ich die Kontraktion kenne dann weiß ich schon
> wie man näherungsweise den Grenzwert berechnen kann.
> lg alex
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Do 27.11.2008 | | Autor: | alexwie |
Nun ja das zugehörige system ist ja ganz einfach:
$ v' = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }*v$
[/mm]
und wie kann ich das jetzt als fixpunktproblem auffassen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Do 27.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Nun ja das zugehörige system ist ja ganz einfach:
> [mm]v' = \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }*v[/mm]
> und wie kann ich das
> jetzt als fixpunktproblem auffassen?
Es fehlen noch die Anfangsbedingungen: sei A = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }
[/mm]
dann hast Du also das Anfangswerproblem
v' = Av, v(0) = [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
Setze (Tv)(x) = [mm] \vektor{0 \\ 1}+ \integral_{0}^{x}{Av(t) dt}
[/mm]
Dann gilt: v ist eine Lösung des AWPs [mm] \gdw [/mm] der Operator T hat den Fixpunkt v (also Tv=v)
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:26 Do 27.11.2008 | | Autor: | alexwie |
Danke vielmals!
Also wenn ich das nun in eigenen worten fassen kann ist also T meine Kontraktion für den Banachschen Fixpunktsatz.
Ich hab nur noch ein Problem nämlich das Integral würde ja nämlich im ersten Iterationsschritt folgendermaßen aussehen:
[mm] $\integral_{0}^{x}{ \pmat{y'(t) \\ -y(t)} dt} [/mm] $
Oder liege ich da falsch. ich will doch aber eine Lösung in x und nicht in y haben.
und das hängt doch wieder von y ab?
Bezeiehungweise ist meine eigentliche frage wie ich das integral auffassen soll.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Sa 29.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
