Picard-Lindelöf, AWP < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Di 21.10.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei [mm] $X:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ [/mm] ein stetig differenzierbares Vektorfeld mit [mm] $||X(p)||\leq [/mm] C$ für ein $C>0$ und alle [mm] $p\in\mathbb{R}^n$. [/mm] Es bezeichne [mm] $x_p$ [/mm] die maximale Lösung des Anfangswertproblems
x [mm] '_p(t)=X(x_p(t))
[/mm]
[mm] x_p(0)=p
[/mm]
Zeigen Sie:
a) Die Lösung [mm] $x_p$ [/mm] ist auf ganz [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] definiert und eindeutig.
b) Es gilt [mm] $x_{x_p(s)}(t)=x_p(s+t)$ [/mm] |
Hi,
ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe.
Besonders bei Aufgabenteil b)
Für den Aufgabenteil a) würde ich den Satz von Picard Lindelöf verwenden wollen. Dazu müsste ich zeigen, dass die Funktion X einer lokalen Lipschitzbedingung genügt und stetig ist.
Die Stetigkeit von X ist klar, da sie differenzierbar ist.
Ist auch die Lipschitzbedingung klar, da ja
[mm] $||X(p)||\leq [/mm] C$ für alle p gilt?
Ansonsten könnte man hier auch zwei verschiedene p-Werte nehmen und die Norm betrachten. Das müsste sich dann mittels Dreiecksungleichung abschätzen lassen, dass ich eine Lipschitzbedingung erhalte.
Bei der b) weiß ich eigentlich überhaupt nicht was ich tun soll.
Ich weiß schon nicht was
[mm] $x_{x_p(s)}(t)$ [/mm]
bedeutet...
Danke.
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:53 Di 21.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Bedeutet
[mm] $x_{x_p(s)}(t)$, [/mm] dass ich nun den Anfangswert
[mm] $x_p(s)=...$
[/mm]
betrachte und nicht mehr [mm] $x_p(0)$ [/mm] und hier soll ich zeigen, dass
[mm] $x_p(s+t)$
[/mm]
das Anfangswertproblem löst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 23.10.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:29 Mi 22.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]X:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n[/mm] ein stetig
> differenzierbares Vektorfeld mit [mm]||X(p)||\leq C[/mm] für ein
> [mm]C>0[/mm] und alle [mm]p\in\mathbb{R}^n[/mm]. Es bezeichne [mm]x_p[/mm] die
> maximale Lösung des Anfangswertproblems
>
> x [mm]'_p(t)=X(x_p(t))[/mm]
>
> [mm]x_p(0)=p[/mm]
>
> Zeigen Sie:
>
> a) Die Lösung [mm]x_p[/mm] ist auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm] definiert und
> eindeutig.
>
> b) Es gilt [mm]x_{x_p(s)}(t)=x_p(s+t)[/mm]
> Hi,
>
> ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe.
> Besonders bei Aufgabenteil b)
>
> Für den Aufgabenteil a) würde ich den Satz von Picard
> Lindelöf verwenden wollen. Dazu müsste ich zeigen, dass
> die Funktion X einer lokalen Lipschitzbedingung genügt und
> stetig ist.
> Die Stetigkeit von X ist klar, da sie differenzierbar
> ist.
> Ist auch die Lipschitzbedingung klar, da ja
>
> [mm]||X(p)||\leq C[/mm] für alle p gilt?
Nein. Daraus folgt das nicht.
Die lokale Lipschitzbedingung folgt aus der Vor. , dass X stetig differenzierbar ist !
Die Vor. [mm]||X(p)||\leq C[/mm] für alle p sorgt dafür, dass $ [mm] x_p [/mm] $ ist auf ganz $ [mm] \mathbb{R} [/mm] $ definiert ist.
>
> Ansonsten könnte man hier auch zwei verschiedene p-Werte
> nehmen und die Norm betrachten. Das müsste sich dann
> mittels Dreiecksungleichung abschätzen lassen, dass ich
> eine Lipschitzbedingung erhalte.
>
> Bei der b) weiß ich eigentlich überhaupt nicht was ich
> tun soll.
> Ich weiß schon nicht was
>
> [mm]x_{x_p(s)}(t)[/mm]
>
> bedeutet...
Sei p [mm] \in \IR^n, [/mm] sei s [mm] \in \IR, [/mm] setze [mm] q:=x_p(s) [/mm] und sei [mm] x_q [/mm] die nicht fortsetzbare Lösung des AWPs
x'(t)=X(x(t))
x(0)=q.
Zeigen sollst Du: [mm] x_q(t)=x_p(s+t) [/mm] für alle t [mm] \in \IR.
[/mm]
FRED
>
> Danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Mi 22.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ok, was ich jedoch nicht verstehe ist wieso
[mm] $||X(p)||\leq [/mm] C $
dafür sorgt, dass die Lösung auf ganz [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] definiert ist.
Was würde denn passieren, wenn die Norm unbeschränkt wäre.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Mi 22.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ok, was ich jedoch nicht verstehe ist wieso
>
> [mm]||X(p)||\leq C[/mm]
>
> dafür sorgt, dass die Lösung auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm]
> definiert ist.
Mann, das sollst Du doch unter anderem in Teil a) zeigen !
Nachdenken, tüfteln und ausprobieren tut nicht weh !
> Was würde denn passieren, wenn die Norm unbeschränkt
> wäre.
Da kann alles passieren. Lösungen, die auf ganz [mm] \IR [/mm] existieren oder auch nicht.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Do 23.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich habe leider überhaupt keine Idee wie ich hier über die Beschränktheit der Norm die Eindeutigkeit zeigen kann.
Wie könnte man hier ansetzen?
Über einen Tipp würde ich mich sehr freuen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:51 Do 23.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
schwer hier ein Tipp abzugeben, wenn man nicht genau weiß, welche Sätze in der Vorlesung behandelt wurden.
Ueblicherweise wird nach den klassischen Existenz -und Eindeutigskeitssätzen etwas zur Fortsetzbarkeit der Lösungen gesagt. Schau mal nach, ob sich da ein schöner Satz finden lässt.
Ferner kannst du dir überlegen, was die Beschränktheit des Vektorfeldes für die Norm der Lösung bedeutet.
Im Uebrigen ist die Eindeutigkeit, wie auch schon fred sagte, klar und hat mit der Beschränktheit des Vektorfeldes nichts zu tun.
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Do 23.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Das letzte was wir zu Differentialgleichungen gemacht haben war der Satz von Picard Lindelöf. Zur Fortsetzung haben wir keinen einzigen Satz.
Wir hatten innerhalb der Vorlesung nicht einmal ein Vektorfeld definiert....
Das Thema Differentialgleichungen war nur sehr knapp, wir haben da nur etwa 4 Sätze und die Lösungsmethoden eingeführt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Do 23.10.2014 | | Autor: | andyv |
Wäre interessant zu wissen, wie ihr Picard-Lindelöf formuliert habt.
Nach einer Version des Satzes existiert eine eindeutige maximale Lösung auf (a,b). Dann kann man [mm] $b<\infty$ [/mm] annehmen und das zu einem Widerspruch führen.
Liebe Grüße
|
|
|
|
