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| Aufgabe | Sei $ I:=[a,b] $, $ [mm] G\subset\mathbb{R}^n [/mm] $ zusammenhängend und offen.
$ [mm] y_0\in [/mm] G $ und sei $ [mm] f\in C^0(S,\mathbb{R}^n) [/mm] $ mit $ [mm] S:=I\times [/mm] G $.
Zusätzilich erfülle $f$ die Bedingung
[mm] $||f(x,y)||\leq [/mm] M, M>0$ für alle [mm] $(x,y)\in [/mm] S$ sowie die Lipschitz-Bedingung
[mm] $||f(x,y)-f(x,z)||\leq [/mm] L||y-z||$ für alle $(x,y), [mm] (x,z)\in [/mm] S$.
Sei [mm] $y_0\in [/mm] G$ gegeben so, dass für ein [mm] $\sigma\geq [/mm] M(b-a)$ gilt [mm] $T:=\{y\in\mathbb{R}^n:||y-y_0||<\sigma\}\subset [/mm] G$.
Zeigen Sie, dass dann gilt:
a) Das Anfangswertproblem hat auf $I$ genau eine Lösung [mm] $y^{\sim}$.
[/mm]
b) Für alle [mm] $x\in [/mm] I$ gilt:
$(x, [mm] y^{\sim}(x))\in K_M(a,y_0)\cap [/mm] S$, wobei [mm] $K_M(a,y_0):=\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n:||y-y_0|| |
Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit dieser Aufgabe.
Erstmal zu a)
Hier muss ich die globale Version des Satzes von Picard-Lindelöf zeigen.
Die lokale Version haben wir bereits bewiesen.
Die Voraussetzungen für den Satz sind auch erfüllt. Das heißt es existiert ein $epsilon>0$ und ein eindeutiges [mm] $y^{\sim}\in C^1([a,a+\epsilon],\mathbb{R}^n)$ [/mm] welches das Anfangswertproblem löst.
Nun muss ich dieses Intervall irgendwie auf $[a,b]$ erweitern.
Leider habe ich keine wirkliche Idee wie ich hier nun anfangen könnte.
Über einen Hinweis würde ich mich daher sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 26.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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