Picard-Lindelöff < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 Do 25.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
| Aufgabe | Untersuchen Sie das folgende Anfangswertproblem auf Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen.
u'(t)=u(t)*tan(t)+cos(t), [mm] u(0)=u_0 [/mm] |
Hallo. Also mich würde mal interessieren, wie ich die Aufgabe "ordentlich" löse.
f(t,u)=u*tan(t)+cos(t)
ist ja für [mm] u\in\IR [/mm] und [mm] t\in\left(-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}\right) [/mm] stetig.
Jetzt müsste ich quasi die Lipschitz-Stetigkeit in u zeigen?!
[mm] \bruch{|f(t,u)-f(t,v)|}{|u-v|} [/mm] ergibt ungeformt |tan(t)|, d.h. es ist Lipschitz-stetig in u.
Reicht das jetzt als Begründung dafür, dass eine eindeutige Lösung existieren muss?
Danke schonmal,
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:02 Fr 26.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du solltest schon ein Intervall um 0 angeben und darin ne Lipschitzkonstante.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Fr 26.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei D := { (t,u): [mm] t\in\left(-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}\right) [/mm] , u [mm] \in \IR [/mm] }
Für (t,u) [mm] \in [/mm] D ist dann:
$|f(t,u)-f(t,v)| = |tan(t)|*|u-v|$
Ist nun I ein kompaktes Teilinterval von [mm] $\left(-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}\right) [/mm] $ so ist $tan(t)$ auf I beschränkt.
Also genügt f auf D einer lokalen Lipschitzbedingung bezüglich u. Nun besagt eine Version des Existenz - und Eindeutigkeitssatzes, dass Dein AWP eine nichtfortsetzbare und eindeutig bestimmte Lösung [mm] \phi [/mm] besitzt, d.h., ist [mm] \psi [/mm] eine Lösung des AWPs, so ist [mm] \psi [/mm] Restriktion von [mm] \phi.
[/mm]
P.S. Lindelöf und nicht Lindelöff
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:30 Fr 26.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
Könnte ich dann also als Antwort (nachdem ich Lipschitzstetigkeit etc. gezeigt habe) schreiben:
"Das AWP hat auf jedem kompakten Teilintervall [mm] I\subset(-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2}) [/mm] mit [mm] 0\in [/mm] I eine eindeutig bestimmte Lösung."
?
Und nochwas: Gilt der Satz von Picard-Lindelöf eigentlich auch verneint? Also, wenn nicht Lipschitz-stetig, dann auch entweder keine Lösung oder keine eindeutige?!
Übrigens: Ich wollte sogar erst Lindelöf schreiben, war mir dann aber nicht sicher. Da hab ich extra nochmal in mein Tafelwerk geschaut, und da stand Lindelöff. Die trauen sich was... ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Fr 26.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> "Das AWP hat auf jedem kompakten Teilintervall
> [mm]I\subset(-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2})[/mm] mit [mm]0\in[/mm] I eine
> eindeutig bestimmte Lösung."
>
> ?
Ja. Aus Eindeutigkeit folgt nun aber, dass die Funktion auf [m]-\bruch{\pi}{2},\bruch{\pi}{2})[/m] eine eindeutige Lösung hat. Diese muss maximal sein, da die AWP für die Randpunkte nicht defineirt ist.
> Und nochwas: Gilt der Satz von Picard-Lindelöf eigentlich
> auch verneint? Also, wenn nicht Lipschitz-stetig, dann auch
> entweder keine Lösung oder keine eindeutige?!
Es gibt ![[]](/images/popup.gif) einen Existenzsatz von Peano mit schwächeren Vorraussetzungen. Die Eindeutigkeit geht dabei i.a. verloren. Ich nehme aber nicht an, dass es bei Eindeutigkeit immer Lipschitz sein muss. Weiß das jemand?
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 02.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
