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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Katrin89 |
| Aufgabe 1 | [mm] y'=x^2+x*y^2, [/mm] AWP y(0)=0
Picard-Iteration allg:
[mm] y_0=0
[/mm]
$ [mm] y_{n+1}(x)= y_0+ \integral_{0}^{x}{f(t,y_n(t))dt} [/mm] $
Berechne die ersten drei Picard-Iterationen.
Wieso konvergiert im Intervall [-1/2,1/2] das Verfahren? |
| Aufgabe 2 | x= [mm] \pmat{ -x1*x2 \\ x2*x3 \\2 }*x
[/mm]
x(0)=(1,1,0)
Frage: Konvergiert die Iteration? Begründe deine Antwort. |
zur Aufgabe 1:
Ich bekomme für [mm] y_3:
[/mm]
[mm] 1/3*x^3+1/48*x^8+2/1872*x^13+1/41472*x^18
[/mm]
Zur Aufgabe 2:
[mm] y_1= [/mm] = [mm] \pmat{t+1 \\ 1 \\ 2*t}
[/mm]
[mm] y_2= \pmat {-1/2*t^2-t+1 \\ t^2+1 \\ 2t}
[/mm]
Stimmt das soweit? Habe Picard auf Systeme noch nicht angewendet!
Nun ist in der Funktion kein t enthalten, also habe ich immer noch die drei x-Werte [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] in die Funktion eingesetzt und integriert.Habe ich das richtig verstanden?
Nun zur Konvergenz:
Ich weiß, dass die Funktionenfolge in einem Intervall um x0=0 gleichmäßig gegen die eindeutig bestimmte Lösung y konvergiert. Habe aber keine Ahnung, wie ich da ne Begrüdung schreiben soll.
Jemand eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Mi 10.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]y'=x^2+x/y^2,[/mm] y(0)=0
Das kann nicht sein. Hier wird durch 0 dividiert !
Wie lautet das AWP korrekt ?
>
> Picard-Iteration allg:
> y0=0
> yn+1= + + int (f(t,yn)dt
Nicht so schlampig ! [mm] y_{n+1}(x)= y_0+ \integral_{0}^{x}{f(t,y_n(t))dt}
[/mm]
>
> Berechne die ersten drei Picard-Iterationen.
>
> Wieso konvergiert im Intervall [-1/2,1/2] das Verfahren?
> x= [mm]\pmat{ -x1*x2 \\ x2*x3 \\2 }*x[/mm]
>
> x(0)=(1,1,0)
>
> Frage: Konvergiert die Iteration? Begründe deine Antwort.
> zur Aufgabe 1:
> Ich bekomme für y3
> [mm]1/3*x^3+1/48*x^8+2/1872*x^13+1/41472*x^18[/mm]
Abgesehen davon, dass man obiges nicht lesen kann, solltest Du Deine Rechnungen hier reinstellen
FRED
>
> 2) y1= [mm]\pmat{t+1 \\ 1 \\ 2*t}[/mm]
> y2= [mm]\pmat {-1/2*t^2-t+1 \\ t^2+1 \\ 2t}[/mm]
>
> Stimmt das soweit? Habe Picard auf Systeme noch nicht
> angewendet!
>
> Nun zur Konvergenz:
> Ich weiß, dass die Funktionenfolge in einem Intervall um
> x0=0 gleichmäßig gegen die eindeutig bestimmte Lösung y
> konvergiert. Habe aber keine Ahnung, wie ich da ne
> Begrüdung schreiben soll.
> Jemand eine Idee?
>
>
>
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Hallo Fred,
sorry, du hast Recht, sah übel aus. Habe es etwas abgeändert.
Zusätzliche Infos:
Ich werde mal meine Vorgehensweise aufschreiben:
zur Aufgabe 2 (interessiert mich mehr wg. den Vektoren).
Integral von f(t,x als Vektor)
Zur Konvergenz habe ich mir auch etwas überlegt:
Durch meine y-Werte kann ich (hoffentl.) eine Regel erkennen und eine Reihe bilden, diese dann durch vollt. Induktion beweisen und zeigen, dass der Limes dieser Reihe gegen das AWP konvergiert oder? Damit habe ich dann gezeigt, dass die Reihe auch wirklich eine Lösung des AWP ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:59 Do 11.02.2010 | | Autor: | Katrin89 |
Solche Aufgaben sind ziemlich oft in den Klausuren gekommen 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mi 17.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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