Picarditeration und Konvergenz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Betrachte Anfangswertproblem
[mm] x'(t)=6t*\wurzel{x(t)}-t^{3}
[/mm]
x(0)=0
Aufgabe 1
Zeigen sie, dass die Picard-Iteration mit [mm] x_{0}(t)=0 [/mm] keine Lösung liefert. |
| Aufgabe 2 | Aufgabe 2
Zeigen sie, dass { [mm] x_{n} [/mm] } [mm] _{n\in\IN} [/mm] mit [mm] x_{0}(t)=2t^{4} [/mm] und
[mm] x_{n+1}(t)= \integral_{0}^{t}{6s*\wurzel{x_{n}(s)}-s^{3} ds}
[/mm]
konvergiert. Ist der Limes eine Lösung des Anfangswertproblems?
Ist diese Lösung eindeutig? |
Hallo zusammen,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
zu Aufgabe 1
reicht da als Antwort:
[mm] x_{1}(t)= x_{0}(t) +\integral_{0}^{t}{6s*\wurzel{x_{0}(s)}-s^{3} ds}=-\bruch{1}{4}x^{4}
[/mm]
[mm] x_{2}(t)= x_{0}(t) +\integral_{0}^{t}{6s*\wurzel{x_{2}(s)}-s^{3} ds}=\integral_{0}^{t}{6s*\wurzel{-\bruch{1}{4}s^{4}}-s^{3} ds}
[/mm]
unter der Wurzel habe ich ja jetzt was negatives. Folglich ist dies nicht lösbar.
zu Aufgabe 2
hier bin ich mir ziemlich unsicher was ich machen muss.
habe mal [mm] x_{1} [/mm] ausgerechnet aber das bringt mich mMn auch nicht direkt weiter. es soll ja
[mm] n\rightarrow\infty [/mm] laufen? oder muss ich hier die Konvergenz für eine Folge betrachten?
Wäre super wenn ihr mir da nen Anstoß geben könntet.
Gruß Thomas
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Hallo Thomas0086,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Betrachte Anfangswertproblem
> [mm]x'(t)=6t*\wurzel{x(t)}-t^{3}[/mm]
> x(0)=0
>
> Aufgabe 1
> Zeigen sie, dass die Picard-Iteration mit [mm]x_{0}(t)=0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
keine
> Lösung liefert.
> Aufgabe 2
> Zeigen sie, dass { [mm]x_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]x_{0}(t)=2t^{4}[/mm]
> und
> [mm]x_{n+1}(t)= \integral_{0}^{t}{6s*\wurzel{x_{n}(s)}-s^{3} ds}[/mm]
>
> konvergiert. Ist der Limes eine Lösung des
> Anfangswertproblems?
> Ist diese Lösung eindeutig?
> Hallo zusammen,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> zu Aufgabe 1
> reicht da als Antwort:
> [mm]x_{1}(t)= x_{0}(t) +\integral_{0}^{t}{6s*\wurzel{x_{0}(s)}-s^{3} ds}=-\bruch{1}{4}x^{4}[/mm]
>
> [mm]x_{2}(t)= x_{0}(t) +\integral_{0}^{t}{6s*\wurzel{x_{2}(s)}-s^{3} ds}=\integral_{0}^{t}{6s*\wurzel{-\bruch{1}{4}s^{4}}-s^{3} ds}[/mm]
>
> unter der Wurzel habe ich ja jetzt was negatives. Folglich
> ist dies nicht lösbar.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
>
> zu Aufgabe 2
> hier bin ich mir ziemlich unsicher was ich machen muss.
> habe mal [mm]x_{1}[/mm] ausgerechnet aber das bringt mich mMn auch
> nicht direkt weiter. es soll ja
> [mm]n\rightarrow\infty[/mm] laufen? oder muss ich hier die
> Konvergenz für eine Folge betrachten?
> Wäre super wenn ihr mir da nen Anstoß geben könntet.
>
Rechne noch ein paar weitere Folgenglieder aus.
Dann kannst Du hoffentlich eine Folge erkennen.
Von dieser Folge ist zu zeigen, daß sie konvergiert.
> Gruß Thomas
Gruss
MathePower
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habe mir das mal angeguckt und für mich kommt da dann raus:
[mm] x^{3}(3*\wurzel{3\wurzel{6\wurzel{2}-1}-1}-1)
[/mm]
also [mm] x_{n+1}=3*\wurzel{x_{n}}-1
[/mm]
für mich ist jetzt die frage gegen welche zahl das konvergiert?
komme da auf keine sinnvollen ergebnisse.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Mi 21.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> habe mir das mal angeguckt und für mich kommt da dann
> raus:
>
> [mm]x^{3}(3*\wurzel{3\wurzel{6\wurzel{2}-1}-1}-1)[/mm]
> also [mm]x_{n+1}=3*\wurzel{x_{n}}-1[/mm]
Das ist doch Murks. Was hast Du da gerechnet ?
Für [mm] x_1(t) [/mm] bekommst Du etwas von der Form
[mm] x_1(t)=ct^4.
[/mm]
FRED
>
> für mich ist jetzt die frage gegen welche zahl das
> konvergiert?
> komme da auf keine sinnvollen ergebnisse.
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habe hier gerechnet:
[mm] x_{n+1}(t)= \integral_{0}^{t}{6s\cdot{}\wurzel{x_{n}(s)}-s^{3} ds} [/mm]
für
[mm] x_{1}(t)= \integral_{0}^{t}{6s\cdot{}\wurzel{x_{0}(s)}-s^{3} ds} [/mm]
=
[mm] x_{1}(t)= \integral_{0}^{t}{6s\cdot{}\wurzel{2s^{4}}-s^{3} ds}
[/mm]
=
[mm] x_{1}(t)= \integral_{0}^{t}{6s^{3}\cdot{}\wurzel{2}-s^{3} ds}
[/mm]
=
[mm] x_{1}(t)= \integral_{0}^{t}{s^{3}\cdot{}(6*\wurzel{2}-1) ds}
[/mm]
=
[mm] x_{1}(t)=\bruch{1}{4}t^{4}\cdot{}(6*\wurzel{2}-1)
[/mm]
wenn ich jetzt
[mm] c=\bruch{1}{4}\cdot{}(6*\wurzel{2}-1) [/mm] setzte komme ich auf das gleiche ergebnis.
hatte mich oben vertan mit dem Exponenten.
Kann ich also einfach sagen es konvergiert gegen [mm] c*t^{4}?
[/mm]
oder ist hier c expizit auszurechnen?
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Hallo Thomas0086,
> habe hier gerechnet:
>
> [mm]x_{n+1}(t)= \integral_{0}^{t}{6s\cdot{}\wurzel{x_{n}(s)}-s^{3} ds}[/mm]
> für
> [mm]x_{1}(t)= \integral_{0}^{t}{6s\cdot{}\wurzel{x_{0}(s)}-s^{3} ds}[/mm]
> =
> [mm]x_{1}(t)= \integral_{0}^{t}{6s\cdot{}\wurzel{2s^{4}}-s^{3} ds}[/mm]
>
> =
> [mm]x_{1}(t)= \integral_{0}^{t}{6s^{3}\cdot{}\wurzel{2}-s^{3} ds}[/mm]
>
> =
> [mm]x_{1}(t)= \integral_{0}^{t}{s^{3}\cdot{}(6*\wurzel{2}-1) ds}[/mm]
>
> =
> [mm]x_{1}(t)=\bruch{1}{4}t^{4}\cdot{}(6*\wurzel{2}-1)[/mm]
>
> wenn ich jetzt
> [mm]c=\bruch{1}{4}\cdot{}(6*\wurzel{2}-1)[/mm] setzte komme ich auf
> das gleiche ergebnis.
>
> hatte mich oben vertan mit dem Exponenten.
> Kann ich also einfach sagen es konvergiert gegen [mm]c*t^{4}?[/mm]
> oder ist hier c expizit auszurechnen?
>
Laut Aufgabe ist c explizit auszurechnen.
Gruss
MathePower
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also wie du schon gesagt hattest habe ich mir ein paar glieder angeschaut und mir ist folgendes auf gefallen:
[mm] (3\cdot{}\wurzel{3\wurzel{6\wurzel{2}-1}-1}-1)
[/mm]
also wird aus der vorherigen Konstanten die Wurzel gezogen, mit 3 multipliziert und anschließend 1 abgezogen.
ich habe die ersten 3 ausgerechnet und bekam folgendes:
[mm] x_{1}\approx [/mm] 1.87123
[mm] x_{2}\approx [/mm] 1,80194
[mm] x_{3}\approx [/mm] 1,76355
ich würde jetzt behaupten es konvergiert gegen [mm] \wurzel{3}, [/mm] kann dafür aber nicht den formellen Beweis liefern.
auch wenn ich das jetzt in die AG einsetzt:
[mm] x'(t)=6t\cdot{}\wurzel{x(t)}-t^{3}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4}*\wurzel{3}*t^{3}=6t*\wurzel{\wurzel{3}*t^{4}}-t^{3}
[/mm]
hätte ich dann da ja
[mm] \bruch{1}{4}*\wurzel{3}=6\wurzel{\wurzel{3}}-1
[/mm]
stehen.
Das ist für mich keine Lösung des AWP.
Wo liegt mein Fehler?
Gruß
Thomas
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Hallo Thimas0086,
> also wie du schon gesagt hattest habe ich mir ein paar
> glieder angeschaut und mir ist folgendes auf gefallen:
> [mm](3\cdot{}\wurzel{3\wurzel{6\wurzel{2}-1}-1}-1)[/mm]
> also wird aus der vorherigen Konstanten die Wurzel
> gezogen, mit 3 multipliziert und anschließend 1
> abgezogen.
> ich habe die ersten 3 ausgerechnet und bekam folgendes:
> [mm]x_{1}\approx[/mm] 1.87123
> [mm]x_{2}\approx[/mm] 1,80194
> [mm]x_{3}\approx[/mm] 1,76355
>
> ich würde jetzt behaupten es konvergiert gegen [mm]\wurzel{3},[/mm]
> kann dafür aber nicht den formellen Beweis liefern.
>
> auch wenn ich das jetzt in die AG einsetzt:
> [mm]x'(t)=6t\cdot{}\wurzel{x(t)}-t^{3}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{4}*\wurzel{3}*t^{3}=6t*\wurzel{\wurzel{3}*t^{4}}-t^{3}[/mm]
> hätte ich dann da ja
> [mm]\bruch{1}{4}*\wurzel{3}=6\wurzel{\wurzel{3}}-1[/mm]
> stehen.
> Das ist für mich keine Lösung des AWP.
> Wo liegt mein Fehler?
>
Der Fehler liegt in der Behauptung.
Die Glieder ergeben sich doch rekursiv gemäß:
[mm]y_{n+1}=\bruch{6*\wurzel{y_{n}}-1}{4}, \ n \in \IN_{0}[/mm]
mit [mm]y_{0}=2[/mm]
Zeige, daß diese Folge konvergiert.
> Gruß
> Thomas
Gruss
MathePower
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also die beschränktheit schaffe ich zu zeigen.
unter der annahme [mm] 1\le y_{n}\le2.
[/mm]
dann
[mm] \bruch{6\cdot{}\wurzel{y_{n}}-1}{4}\le\bruch{6\cdot{}\wurzel{2}-1}{4}<2
[/mm]
nur bei der monotonie happerts:
zzg ist ja [mm] y_{n+1}\le y_{n}
[/mm]
Es gilt [mm] y_{1}\le y_{2}.
[/mm]
also [mm] y_{n+1}=\bruch{6\cdot{}\wurzel{y_{n}}-1}{4}
[/mm]
ist das der richtige weg? muss ich da weiter abschätzen und umformen?
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Hallo Thomas0086,
> also die beschränktheit schaffe ich zu zeigen.
> unter der annahme [mm]1\le y_{n}\le2.[/mm]
>
> dann
> [mm]\bruch{6\cdot{}\wurzel{y_{n}}-1}{4}\le\bruch{6\cdot{}\wurzel{2}-1}{4}<2[/mm]
>
> nur bei der monotonie happerts:
> zzg ist ja [mm]y_{n+1}\le y_{n}[/mm]
> Es gilt [mm]y_{1}\le y_{2}.[/mm]
> also
> [mm]y_{n+1}=\bruch{6\cdot{}\wurzel{y_{n}}-1}{4}[/mm]
Zu zeigen ist doch:
[mm]y_{n+1}=\bruch{6\cdot{}\wurzel{y_{n}}-1}{4}\le y_{n}[/mm]
Das ist entsprechend umzuformen.
> ist das der richtige weg? muss ich da weiter abschätzen
> und umformen?
Gruss
MathePower
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ja das dachte ich mir.
komme aber einfach nicht weiter hier.
danke trotzdem für deine mühen und hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 23.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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