Pipeline zu minimalen Kosten < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:06 Fr 12.06.2009 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Drei Ölförderstellen in der Wüste sind je 80 km voneinander entfernt. Sie liegen auf einer Geraden. Die Leitungen von den einzelnen Quellen sollen in einem Punkt P zusammentreffen und von dort soll das Öl durch eine Hauptleitung zum Hafen H gepumpt werden.
A
!
!
B-----------------P----------------------H
!
!
C
(Es kommen selbstverständlich die Leitungen von A zu P und C zu P hinzu)
Ferner beträgt die Strecke von B zu H 500 km.
Wie weit muss P vom Hafen entfernt sein, wenn 2 km Hauptleitung so viel kosten wie 3 km Einzelleitung und die Kosten möglichst gering sein sollen? |
Moin,
[mm] \overline{AB} [/mm] = 80
[mm] \overline{BC} [/mm] = 80
[mm] \overline{BP} [/mm] = x
[mm] \overline{AP} [/mm] = [mm] \overline{CP} [/mm] = y
[mm] \overline{PH} [/mm] = 500 - x
Zielgröße
Länge insgesamt
L = y + x + y + (500-x)
Kosten insgesamt
K = 2y + x + [mm] \bruch{3}{2}(500 [/mm] -x)
Nebenbedingung
[mm] y^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] 80^2
[/mm]
y = [mm] \wurzel{x^2 +6400}
[/mm]
Zielfunktion
K(x) = [mm] 2*\wurzel{x^2 +6400} [/mm] +x + [mm] \bruch{3}{2}(500 [/mm] -x)
K(x) = [mm] 2*\wurzel{x^2 +6400} [/mm] + 750 - [mm] \bruch{1}{2}x
[/mm]
Ableitungen
K ' (x) = [mm] 2x*2*\bruch{1}{2}*(x^2 +6400)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
K ' (x) = [mm] 2x*(x^2 +6400)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
K '' (x) = [mm] 2*(x^2 +6400)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] + 2x*(- [mm] \bruch{1}{2}((x^2 +6400)^{-\bruch{3}{2}})*2x
[/mm]
K '' (x) = [mm] 2*(x^2 +6400)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] - [mm] 2x^2*(x^2 +6400)^{-\bruch{3}{2}}
[/mm]
Extremwerte
0 = [mm] 2x*(x^2 +6400)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] 2x*(x^2 +6400)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] / [mm] ()^2
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4} [/mm] = [mm] 4x^2*(x^2 +6400)^{-1}
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] +6400 [mm] =16x^2
[/mm]
x [mm] \approx [/mm] 20,66
=> P muss also 479,34 km vom Hafen entfernt sein.
Das Ergebnis ist merkwürdig, da die Strecke PH ja teurer ist als y bzw. x.
Ist das so richtig?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:34 Fr 12.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Drei Ölförderstellen in der Wüste sind je 80 km voneinander
> entfernt. Sie liegen auf einer Geraden. Die Leitungen von
> den einzelnen Quellen sollen in einem Punkt P
> zusammentreffen und von dort soll das Öl durch eine
> Hauptleitung zum Hafen H gepumpt werden.
>
> A
> !
> !
> B-----------------P----------------------H
> !
> !
> C
>
> (Es kommen selbstverständlich die Leitungen von A zu P und
> C zu P hinzu)
>
> Ferner beträgt die Strecke von B zu H 500 km.
>
> Wie weit muss P vom Hafen entfernt sein, wenn 2 km
> Hauptleitung so viel kosten wie 3 km Einzelleitung und die
> Kosten möglichst gering sein sollen?
> Moin,
>
> [mm]\overline{AB}[/mm] = 80
>
> [mm]\overline{BC}[/mm] = 80
>
> [mm]\overline{BP}[/mm] = x
>
> [mm]\overline{AP}[/mm] = [mm]\overline{CP}[/mm] = y
>
> [mm]\overline{PH}[/mm] = 500 - x
>
>
> Zielgröße
>
> Länge insgesamt
> L = y + x + y + (500-x)
Ohne das einzelne x, also L= y+x+y+(500-x)
>
> Kosten insgesamt
> K = 2y + x + [mm]\bruch{3}{2}(500[/mm] -x)
>
> Nebenbedingung
> [mm]y^2[/mm] = [mm]x^2[/mm] + [mm]80^2[/mm]
>
> y = [mm]\wurzel{x^2 +6400}[/mm]
>
> Zielfunktion
> K(x) = [mm]2*\wurzel{x^2 +6400}[/mm] +x + [mm]\bruch{3}{2}(500[/mm] -x)
Korrekt, ausser das einzelne x (siehe oben)
[mm] K(x)=2*\wurzel{x^2 +6400}+\not{x}+\bruch{3}{2}(500-x)
[/mm]
[mm] =2*\wurzel{x^2 +6400}+750-\bruch{3}{2}x
[/mm]
>
> K(x) = [mm]2*\wurzel{x^2 +6400}[/mm] + 750 - [mm]\bruch{1}{2}x[/mm]
>
>
> => P muss also 479,34 km vom Hafen entfernt sein.
>
> Das Ergebnis ist merkwürdig, da die Strecke PH ja teurer
> ist als y bzw. x.
Du hast das eine x mitgeschleppt, das war dein Fehler.
>
> Ist das so richtig?
>
Marius
|
|
|
| |
|
Hallo Marius,
das von Dir kritisierte x ist völlig am richtigen Platze.
Es gibt die drei Leitungen von A nach P, von B nach P, von C nach P, und dann noch die Hauptleitung von p nach H.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> x [mm]\approx[/mm] 20,66
>
> => P muss also 479,34 km vom Hafen entfernt sein.
>
> Das Ergebnis ist merkwürdig, da die Strecke PH ja teurer
> ist als y bzw. x.
>
> Ist das so richtig?
Hallo,
ich entdecke in Deiner Rechnung keinen Fehler.
Du mußt auch dies bedenken:
solange die Leitungen getrennt laufen, hast Du eine Nebenstreckenlänge von mehr als 3x zu bezahlen, um das Öl zum Punkt P zu befördern.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
