Pi^s irrational < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Abend,
ich wollte mal fragen, warum eigentlich [mm] \pi^{s} [/mm] für [mm] s\in\IN [/mm] irrational ist. Ich weiß das [mm] \pi [/mm] und [mm] \pi^2 [/mm] irrational sind. Ich frage dies im Zusammenhang mit der Eulerschen Formel für die Riemannsche Zetafunktion also
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2k}}=\frac{(-1)^{k-1}2^{2k-1}B_{2k}}{(2k)!}\pi^{2k}$. [/mm] Nun steht bei mir ich Buch drin, dass [mm] \pi^s [/mm] auch irrational ist für $s [mm] \ge [/mm] 3$. Es gilt ja leider nicht, das irrationale Zahl mal irrational zahl wieder irrational ist.
Es würde ja reichen, wenn [mm] \pi^{s} [/mm] transzendent ist. Hat jemand einen Hinweis.
Einen schönen Abend und danke für die Hilfe
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Hallo blascowitz,
die Tomatenzeit naht, und vielleicht sehe ich nur nicht, warum es nicht reicht, dass [mm] \pi [/mm] transzendent ist. Wie soll dann ein [mm] \pi^s, s\in\IN [/mm] rational werden?
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Mi 15.04.2009 | | Autor: | blascowitz |
Alles klar, meine Tomatenzeit ist vorbei, manchmal brauche ich ein bisschen^^.
Angenommen, [mm] \pi^{s}=\frac{a}{b}. [/mm] Betrachte [mm] p(x)=x^s-\pi^s. [/mm] Dieses Polynom hat [mm] \pi [/mm] als nullstelle, aber [mm] \pi [/mm] ist transzendent, also Widerspruch. möp ende aus
Danke für die Hilfe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:20 Do 16.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> Alles klar, meine Tomatenzeit ist vorbei, manchmal brauche
> ich ein bisschen^^.
Kommt vor, geht mir auch ab und an so 
> Angenommen, [mm]\pi^{s}=\frac{a}{b}.[/mm] Betrachte [mm]p(x)=x^s-\pi^s.[/mm]
> Dieses Polynom hat [mm]\pi[/mm] als nullstelle, aber [mm]\pi[/mm] ist
> transzendent, also Widerspruch. möp ende aus
Das zeigt sogar dass [mm] $\pi^s$ [/mm] transzendent ist: wenn es algebraisch waer, dann waer [mm] $\pi$ [/mm] dank $p(x)$ algebraisch ueber einer algebraischen Erweiterung von [mm] $\IQ$, [/mm] also ebenfalls algebraisch ueber [mm] $\IQ$.
[/mm]
Die gleiche Idee kann man uebrigens auch fuer rationales $s [mm] \in \IQ^\ast$ [/mm] erweitern: ist $s = [mm] \frac{c}{d}$ [/mm] mit $c, d [mm] \in \IZ$, [/mm] $c, d [mm] \neq [/mm] 0$, so ist [mm] $\pi$ [/mm] eine Nullstelle von gilt $p(x) := [mm] x^c [/mm] - [mm] (\pi^s)^d$: [/mm] waere also [mm] $\pi^s$ [/mm] algebraisch, so ebenfalls [mm] $\pi$, [/mm] ein Widerspruch.
LG Felix
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