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| Aufgabe | Diese Aufgabe habe ich weder in diesem noch in einem anderen Forum gestellt.
Es soll folgendes Gleichungssystem gelöst werden; allerdings nicht durch das Eliminationsverfahren, sondern durch Pivotisieren
[mm] \pmat{1 & 4 & 3\\2 & 5 & -3 \\1 & -3 & -2 } *\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} [/mm] |
Da ich nur ansatzweisen eine Vorstellung, davon habe, wie der Allgorithmus funktioniert, möchte ich die Forumsteilnehmer bitten, mir den Lösungsansatz beginnend ab der Stelle fortzusetzen, ab der ich Schwierigkeiten habe.
[mm] \pmat{1 & 4 & 3 & 1\\2 & 5 & -3 & -3\\1 & -3 & -2 & -1}
[/mm]
Lösung:
1. Schritt:
[mm] 5-\bruch{4}{1} [/mm] *2=-3 ->geht in 2 Zeile,2 Spalte
[mm] 4-\bruch{3}{1} [/mm] *2=-2 ->geht in 2 Zeile,3 Spalte
[mm] 4-\bruch{1}{1} [/mm] *2=+2 ->geht in 2 Zeile,4 Spalte
2. Schritt:
[mm] -3-\bruch{4}{1} [/mm] *1=-7 ->geht in 3 Zeile,2 Spalte
[mm] -2-\bruch{3}{1} [/mm] *1=-5 ->geht in 3 Zeile,3 Spalte
[mm] 5-\bruch{1}{1} [/mm] *1=+4 ->geht in 3 Zeile,4 Spalte
Damit ergibt sich folgende Matrix
[mm] \pmat{1 & 4 & 3 & 1\\2 & -3 & -2 & +2\\1 & -7 & -5 & +4}
[/mm]
3. Schritt:
[mm] -5-\bruch{-2}{-3} *1=\bruch{-1}{3} [/mm] ->geht in 3 Zeile,3 Spalte
[mm] 4-\bruch{2}{-3} *-7=\bruch{-2}{3} [/mm] ->geht in 3 Zeile,4 Spalte
Damit ergibt sich folgende Matrix
[mm] \pmat{1 & 4 & 3 & 1\\2 & -3 & -2 & +2\\1 & -7 & \bruch{-1}{3} &\bruch{-2}{3}}
[/mm]
Wenn ich es richtig verstanden habe, werden in der ersten Pivotspalte unter der ersten Zahl alle anderen Zahlen gleich null gesetzt, so dass man folgenden Spaltenvektor erhält:
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Im nächsten Schritt wird die zweite Zeile durch (-3) dividiert, um in der zweiten Zeile und Spalte auch eine 1 sehen zu haben-> zweiter Spaltenvektor
[mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Ich komme damit zum Zwischenergebnis:
[mm] \pmat{1 & 0 & 3\\0 & 1 & \bruch{2}{3} \\0 & 0 &\bruch{-1}{3}}=\begin{pmatrix} 1 \\ \bruch{-2}{3}\\ \bruch{-2}{3} \end{pmatrix}
[/mm]
Nach der mir vorliegenden Musterlösung hätte nach drei Pivotschritten folgende Matrix rauskommen müssen:
[mm] \pmat{1 & 0 & \bruch{1}{3}\\0 & 1 & \bruch{2}{3} \\0 & 0 &\bruch{-1}{3}}=\begin{pmatrix}\bruch{11}{3} \\ \bruch{-2}{3}\\ \bruch{-2}{3} \end{pmatrix}
[/mm]
Also ist was schiefgelaufen . Gibt es zu diesem Thema verständliche Lehrbücher, die es mit Hilfe von Lösungshinweisen erlauben, die Thematik zu üben?
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> Es soll folgendes Gleichungssystem gelöst werden;
> allerdings nicht durch das Eliminationsverfahren, sondern
> durch Pivotisieren
>
> [mm]\pmat{1 & 4 & 3\\2 & 5 & -3 \\1 & -3 & -2 } *\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}[/mm]
Pivotisierung ist gar nicht eine Alternative zum Elimi-
nationsverfahren, sondern eine Variante davon.
Ferner gibt es verschiedene Methoden der Pivot-Wahl
(z.B. nacheinander in jeder Spalte das absolut größte
Element oder gar bei jedem Schritt das absolut größte
Element der Restmatrix). Für die Rechnung von Hand
ist es günstig, jeweils möglichst eine 1 oder -1 als
Pivotelement zu wählen, um Brüche zu vermeiden.
Welche Regel zur Pivot-Wahl willst du also anwenden ?
Grundsätzlich sind aber solche Methoden überhaupt
zur Implementation auf einem Rechner gedacht.
Rechnungen von Hand dienen nur dem grundsätzlichen
Verständnis der Methoden.
> [mm]\pmat{1 & 4 & 3 & 1\\2 & 5 & -3 & -3\\1 & -3 & -2 & -1}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Die Konstantenkolonne dieser Matrix entspricht nicht
dem oben angegebenen Vektor !
> Lösung:
>
> 1. Schritt:
>
> [mm]5-\bruch{4}{1}[/mm] *2=-3 ->geht in 2 Zeile,2 Spalte
> [mm]4-\bruch{3}{1}[/mm] *2=-2 ->geht in 2 Zeile,3 Spalte
> [mm]4-\bruch{1}{1}[/mm] *2=+2 ->geht in 2 Zeile,4 Spalte
>
> 2. Schritt:
> [mm]-3-\bruch{4}{1}[/mm] *1=-7 ->geht in 3 Zeile,2 Spalte
> [mm]-2-\bruch{3}{1}[/mm] *1=-5 ->geht in 3 Zeile,3 Spalte
> [mm]5-\bruch{1}{1}[/mm] *1=+4 ->geht in 3 Zeile,4 Spalte
>
> Damit ergibt sich folgende Matrix
>
> [mm]\pmat{1 & 4 & 3 & 1\\2 & -3 & -2 & +2\\1 & -7 & -5 & +4}[/mm]
>
> 3. Schritt:
> [mm]-5-\bruch{-2}{-3} *1=\bruch{-1}{3}[/mm] ->geht in 3 Zeile,3
> Spalte
> [mm]4-\bruch{2}{-3} *-7=\bruch{-2}{3}[/mm] ->geht in 3 Zeile,4
> Spalte
>
> Damit ergibt sich folgende Matrix
>
> [mm]\pmat{1 & 4 & 3 & 1\\2 & -3 & -2 & +2\\1 & -7 & \bruch{-1}{3} &\bruch{-2}{3}}[/mm]
>
> Wenn ich es richtig verstanden habe, werden in der ersten
> Pivotspalte unter der ersten Zahl alle anderen Zahlen
> gleich null gesetzt, so dass man folgenden Spaltenvektor
> erhält:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Im nächsten Schritt wird die zweite Zeile durch (-3)
> dividiert, um in der zweiten Zeile und Spalte auch eine 1
> sehen zu haben-> zweiter Spaltenvektor
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Ich komme damit zum Zwischenergebnis:
> [mm]\pmat{1 & 0 & 3\\0 & 1 & \bruch{2}{3} \\0 & 0 &\bruch{-1}{3}}=\begin{pmatrix} 1 \\ \bruch{-2}{3}\\ \bruch{-2}{3} \end{pmatrix}[/mm]
>
> Nach der mir vorliegenden Musterlösung hätte nach drei
> Pivotschritten folgende Matrix rauskommen müssen:
> [mm]\pmat{1 & 0 & \bruch{1}{3}\\0 & 1 & \bruch{2}{3} \\0 & 0 &\bruch{-1}{3}}=\begin{pmatrix}\bruch{11}{3} \\ \bruch{-2}{3}\\ \bruch{-2}{3} \end{pmatrix}[/mm]
>
> Also ist was schiefgelaufen .
Allerdings. Ich habe deine Rechnungen nicht im
Detail durchgesehen. Doch mein CAS-Rechner
liefert praktisch für alle deine verschiedenen
Matrizen unterschiedliche Lösungen ...
> Gibt es zu diesem Thema
> verständliche Lehrbücher, die es mit Hilfe von
> Lösungshinweisen erlauben, die Thematik zu üben?
da kann ich im Moment leider nicht weiterhelfen
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 22.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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