Poisson-Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Fr 16.03.2007 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Eine Signalquelle sendet pro Zeiteinheit eine zufällige Anzahl S von Signalen aus, die gemäß einer Poissonverteilung zu dem Paramter [mm] \lambda [/mm] >0 verteilt ist. Ein Zähler registriert jedes dieser Signale unabhängig voneinander mit der Wahrscheinlichkeit p=0,8. Es bezeichne Z die Anzahl der registrierten Signale pro Zeiteinheit. Welche Verteilung besitzt Z ? |
Hallo,
hab nochmal eine Frage zur Poisson-Verteilung.
Für die ZVe S (Anzahl der gesendeten Signale) gilt ja: P(S=k)= [mm] \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}
[/mm]
und für Z ( Anzahl der empfangenen Signale):
P(Z=l | S=k) = [mm] \vektor{k\\l} p^l (1-p)^{k-1} [/mm] , wobei l [mm] \leq [/mm] k sein muss, da ja nur signale empfangen werden können die auch gesendet wurden.
Für die Verteilung von Z muss ich P(Z=l) bestimmen, kann ich das mit der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit machen, also so:
P(Z=l) = [mm] \summe_{k \in I}^{} [/mm] P(Z=l|S=k) P(S=k) = [mm] \summe_{k \in I}^{} \vektor{k\\l} p^l (1-p)^{k-1} \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} [/mm] ...??
ist das der richtige weg?
Viele Grüße
riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Fr 16.03.2007 | | Autor: | wauwau |
Vollkommen richtig und das ist, wenn du die summe ausrechnest nichts anderes als eine Poisson Verteilung mit dem Parameter [mm] \lambda*p
[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:50 Sa 17.03.2007 | | Autor: | Riley |
cool, danke. ich häng aber grad noch dran die summe weiter zu vereinfachen:
hab alles was nicht von k abhängt aus der summe raus und den binomialkoeff. ausgeschrieben.
dann komm ich auf das hier:
...= [mm] \frac{1}{l!} p^l e^{-\lambda} \summe_{k \in I} \frac{\lambda^k (1-p)^{k-l}}{(k-l)!}
[/mm]
wie kann ich das weitervereinfach bzw umformen um auf die poisson-verteilung zu kommen wie du geschrieben hast?
Viele Grüße
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:06 Sa 17.03.2007 | | Autor: | Riley |
Frage hat sich erledigt, habs raus!
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