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| Aufgabe | Die Zufallsgrößen [mm] $\tau_n$ [/mm] und [mm] $T_n$ [/mm] seinen wie im 0. Kapitel der Vorlesung definiert. Das Ereignis [mm] $\left\{\displaystyle\sup_{n=0,1,\ldots}\tau_n<\infty\right\}$ [/mm] heißt Explosion (Warum?).
(a)
Es sei [mm] $(\alpha_n)_{n=1,2,\ldots}$ [/mm] eine Folge positiver reeller Zahlen. Die Zeitspannen [mm] $T_n$ $(n=1,2,\ldots)$ [/mm] zwischen zwei aufeinander folgenden Schäden seinen unabhängige Zufallsgrößen, die Exponentialverteilungen mit dem Parameter [mm] $\alpha_n$ [/mm] genügen.
Man zeige: Wenn [mm] $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\alpha_n}=+\infty$ [/mm] gilt, dann ist die Wahrscheinlichkeit einer Explosion Null.
(b)
Explodiert der Poissonprozess? |
Hallo Forum,
obige Aufgabe bereitet mir Probleme. Es geht um Risikotheorie und speziell um die Modellierung der Schadenanzahl mit Poissonprozessen. Soviel zur Einordnung. Die erwähnten Defs. sehen wie folgt aus:
[mm] $\tau_n$ [/mm] : Zeitpunkt, in dem der [mm] $\var{n}$-te [/mm] Schaden eintritt [mm] $(n=1,2,\ldots)$
[/mm]
Vereinbarung: [mm] $\tau_0=0$ [/mm] , [mm] $0=\tau_0\leq\tau_1\leq\tau_2\leq\ldots$
[/mm]
[mm] $T_n:=\tau_n-\tau_{n-1}$ $(n=1,2,\ldots)$ [/mm] : Zeitspanne zwischen zwei aufeinander folgenden Schäden.
Warum nun Explosion? Sei [mm] $\var{N(t)}$ [/mm] die Schadenanzahl bis zum Zeitpunkt [mm] $\var{t}$. [/mm] Das obige Ereignis beschreibt irgendwie einen größten endlichen Zeitpunkt indem die Schadenanzahl [mm] $\var{N(t)}$ [/mm] ins Unendliche wächst, oder so ähnlich?
Und (a) ist mir vom Verständnis und Ansatz her noch nicht so wirklich klar. Für den (homogenen) Poissonprozess gilt also nach Aufgabenstellung für die Dichte von [mm] $T_n$:
[/mm]
[mm] \[f_{T_n}(x)=\alpha_n\cdot e^{-\alpha_n x}\]
[/mm]
Wie kann ich daraus nun [mm] $P\left\{\displaystyle\sup_{n=0,1,\ldots}\tau_n<\infty\right\}=0$ [/mm] zeigen?
Für Anregungen und Tipps wäre ich euch dankbar.
Vielen Dank im Voraus.
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Komm ich vielleicht in folgende Richtung weiter?:
[mm] \[P\big\{\sup_{n=0,1,\ldots}\tau_n<\infty\big\}=P\big\{\lim_{n\to\infty}T_1+\ldots+T_n<\infty\big\}\]
[/mm]
Also es treten unendlich Schäden in einem endlichen Zeitintervall auf. Wie die [mm] $\var{T_n}$ [/mm] verteilt sind, ist gegeben und jetzt vielleicht irgendwie die Dichte der Summe von [mm] $\var{n}$ [/mm] unabhängig exponentialverteilten Zufallsgrößen ausrechen?
Ich habe aber nicht das Gefühl, dass mich das weiterbringt?
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Klar ist, dass man b) aus a) folgern kann, denn für den Poisson-Prozess sind die Zuwächse exponentialverteilt mit dem Parameter [mm] a_i=a_1 [/mm] für alle i.
Bleibt die a): Ich glaube dein Ansatz ist nicht verkehrt. Vielleicht kann man die Eigenschaften der Exponentialverteilung (der bestimmende Parameter [mm] \lambda [/mm] taucht im Median und Erwartungswert wieder auf und zwar als [mm]\bruch{\ln2}{\lambda}[/mm] bzw. [mm]\bruch{1}{\lambda}[/mm]) nutzen, um eine Abschätzung der Partialsummen über [mm] T_i [/mm] vorzunehmen?
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Hallo,
und Danke für deine Antwort. Also ich habe mir jetzt folgendes überlegt, was ganz gut aussieht, falsch ist aber ... gut aussieht. 
[mm] \[\mathbb{E}\left[\lim_{n\to\infty}T_1+\ldots T_n\right]=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\alpha_n}=\infty\]
[/mm]
und daraus muss nun mehr oder weniger direkt folgen, dass:
[mm] \[P\big\{\lim_{n\to\infty}T_1+\ldots+T_n<\infty\big\}=0=[P\big\{\sup_{n=0,1,\ldots}\tau_n<\infty\big\}\]
[/mm]
Da der Erwartungswert im Unendlichen liegt, ist also irgendwie die Wahrscheinlichkeit für was Endliches gleich 0. Gegenbeispiel ist allerdings die Cauchy-Verteilung auf [mm] $(0,\infty)$, [/mm] aber was solls, irgendwie so muss es gehen... ???
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mi 28.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:22 Mi 28.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mi 28.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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