Poissonverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Aus dem matürlichen Zahlen wird eine zufällige Teilmenge A ausgewählt, deren Größe Poissonverteilt ist [mm] (\lambda [/mm] >0). Bestimmen Sie die erwartende Anzahl an k-elementige Teilmenge von A für [mm] k\ge [/mm] 0. |
Hallo,
muss man da den Erwartungswert berechnen, d.h.
[mm] E(X)=\sum_{k\ge 0}P(X=k)x=\lambda?
[/mm]
Könnt ihr mir einen Tipp geben?
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Hiho,
ich formuliere die Frage mal anders:
Als erstes wird eine zufällige Menge A gewählt, deren Größe Poisson-verteilt ist.
Nun sollst du bestimmen, wie viele k-elementige Teilmengen es gibt (zu erwarten sind) für $k>0$.
Als Beispiel: Wir tun jetzt mal so, als hätten wir die Menge $A = [mm] \{1,2,5,6,7\}$ [/mm] bekommen.
Dann gibt es exakt folgende Teilmengen für
k=1: 5 Stück, nämlich [mm] $\{1\},\{2\},\{5\},\{6\},\{7\}$
[/mm]
k=2: [mm] \vektor{5 \\ 2} [/mm] = 10 2-elementige Teilmengen
k=3: 10 3-elementige Teilmengen
k=4 : 5 4-elementige Teilmengen
k=5: eine 5-elementige Teilmenge
k>0: 0 k-elementige Teilmengen
Besseres Verständnis nun?
Gruß,
Gono
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Hallo,
vielen Dank für deine Erklärung. Soweit ich es verstanden habe wäre es dann
[mm] \vert A\vert [/mm] <k, dann haben wir 0 k-elementige Teilmenge
Falls [mm] \vert A\vert \ge [/mm] k, dann bekommt man [mm] \vektor{\vert A\vert \\ k} [/mm] k-elementige Teilmengen
Sei [mm] \vert A\vert=m [/mm] mit [mm] m\ge [/mm] k, dann ist also
[mm] E(A)=\sum_{k=0}^m\vektor{m \\ k}\bruch{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
[/mm]
Stimmt das soweit? vielen Dank!
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Hiho,
> [mm]\vert A\vert[/mm] <k, dann haben wir 0 k-elementige Teilmenge
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Falls [mm]\vert A\vert \ge[/mm] k, dann bekommt man [mm]\vektor{\vert A\vert \\ k}[/mm]
> k-elementige Teilmengen
> Sei [mm]\vert A\vert=m[/mm] mit [mm]m\ge[/mm] k, dann ist also
>
> [mm]E(A)=\sum_{k=0}^m\vektor{m \\ k}\bruch{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}[/mm]
das stimmt nicht.
Erstmal: A ist ja eine Menge, da kannst du keinen Erwartungswert von nehmen, da wissen wir nämlich nichts drüber.
Was wir aber wissen, ist, dass |A| poissonverteilt ist zum Parameter [mm] $\lambda$, [/mm] damit gilt also $E[|A|] = [mm] \lambda$, [/mm] das bringt dir aber nix.
Was wir aber auch wissen, ist: $P[|A| = k] = [mm] {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,{\mathrm {e}}^{{-\lambda }}$
[/mm]
Wir haben bereits, dass [mm]\vektor{\vert A\vert \\ k}[/mm] die Anzahl an $k$-elementigen Teilmengen ist zu gegebenem |A|. Wir wollen nun aber die erwartete Anzahl haben… also gilt es
[mm] $E\left[ \vektor{\vert A\vert \\ k} \right]$
[/mm]
zu berechnen.
Na dann mal los!
Gruß,
Gono
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D.h. k ist fest und für jede Menge A mit [mm] \vert A\vert \ge [/mm] k erhalte ich [mm] \vektor{\vert A\vert\\ k} [/mm] k-elementige Teilmengen. Also
[mm] E\left[ \vektor{\vert A\vert \\ k} \right] =\sum_{m\ge k}\vektor{m \\ k}P(\vert A\vert=m)=\sum_{m\ge k}\vektor{m \\ k}\bruch{\lambda^m}{m!}e^{-\lambda}
[/mm]
Stimmt das? Wenn ja, kann ich die Summe weiterzusammenfassen oder wäre das schon die Lösung? (ich könnte höchsten [mm] e^{-\lambda} [/mm] vor der Summe ziehen, aber weiterbringen tut es mir nicht)
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Hiho,
> [mm]E\left[ \vektor{\vert A\vert \\ k} \right] =\sum_{m\ge k}\vektor{m \\ k}P(\vert A\vert=m)=\sum_{m\ge k}\vektor{m \\ k}\bruch{\lambda^m}{m!}e^{-\lambda}[/mm]
> Stimmt das? Wenn ja, kann ich die Summe
> weiterzusammenfassen oder wäre das schon die Lösung?
Na was hast du denn versucht?
Wie wäre es mit: Kürzen, alles aus der Summe ziehen, was nicht vom Laufindex abhängt, Indexverschiebung…
Gruß,
Gono
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ich habe nun folgendes erhalten
[mm] E\left[ \vektor{\vert A\vert \\ k} \right] =\sum_{m\ge k}\vektor{m \\ k}P(\vert A\vert=m)=\sum_{m\ge k}\vektor{m \\ k}\bruch{\lambda^m}{m!}e^{-\lambda} =e^{-\lambda}\sum_{m\ge k}\vektor{m \\ k}\bruch{\lambda^m}{m!} =e^{-\lambda}\sum_{m-k\ge 0}\vektor{m-k \\ k}\bruch{\lambda^{m-k}}{(m-k)!}=e^{-\lambda}\sum_{m-k\ge 0}\bruch{(m-k)!}{(m-2k)!}\bruch{\lambda^{m-k}}{(m-k)!}=e^{-\lambda}\sum_{m-k\ge 0}\bruch{\lambda^{m-k}}{(m-2k)!}
[/mm]
Wäre es damit fertig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Do 25.10.2018 | | Autor: | fred97 |
> ich habe nun folgendes erhalten
>
> [mm]E\left[ \vektor{\vert A\vert \\ k} \right] =\sum_{m\ge k}\vektor{m \\ k}P(\vert A\vert=m)=\sum_{m\ge k}\vektor{m \\ k}\bruch{\lambda^m}{m!}e^{-\lambda} =e^{-\lambda}\sum_{m\ge k}\vektor{m \\ k}\bruch{\lambda^m}{m!} =e^{-\lambda}\sum_{m-k\ge 0}\vektor{m-k \\ k}\bruch{\lambda^{m-k}}{(m-k)!}=e^{-\lambda}\sum_{m-k\ge 0}\bruch{(m-k)!}{(m-2k)!}\bruch{\lambda^{m-k}}{(m-k)!}=e^{-\lambda}\sum_{m-k\ge 0}\bruch{\lambda^{m-k}}{(m-2k)!}[/mm]
>
> Wäre es damit fertig?
nein, weil es nicht stimmt. Deinen Umformungen kann ich nicht folgen !
Es ist
[mm] $\vektor{m \\ k} \frac{\lambda^m}{m!}=\frac{\lambda^k}{k!}\frac{\lambda^{m-k}}{(m-k)!}$
[/mm]
Also
[mm] $\sum_{m\ge k}\vektor{m \\ k} \frac{\lambda^m}{m!}= \frac{\lambda^k}{k!} \sum_{m\ge k}\frac{\lambda^{m-k}}{(m-k)!}=\frac{\lambda^k}{k!} e^{\lambda}$
[/mm]
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