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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 So 25.07.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zu einer bereits gelösten Aufgabe:
Gegeben sei eine Zufallsvariable X, die poissonverteilt ist mit Parameter [mm]\lambda[/mm].
Gesucht war ein k aus den natürlichen Zahlen, so dass P(X=k) maximal!
Als Hinweis sollte man P(X=k+1)/P(X=k) betrachten.
Das ist ja gerade [mm]\bruch{\lambda}{k+1}[/mm].
Anschießend haben wir zwei Fälle unterschieden:
1. Fall: [mm]\lambda[/mm] ist nicht aus den natürlichen Zahlen
Dann gilt für 0<k<[mm]\lambda[/mm]-1: [mm]\bruch{\lambda}{k+1}[/mm]>1
Und für k>[mm]\lambda -1[/mm]: [mm]\bruch{\lambda}{k+1}[/mm]<1
Dann ist P(X=[ [mm]\lambda -1[/mm] ]+1)>P(X=k),
2. Fall: [mm]\lambda[/mm] ist aus den natürlichen Zahlen
Dann gilt für 0<k<[mm]\lambda[/mm]: [mm]\bruch{\lambda}{k+1}[/mm]>1,
für k=[mm]\lambda -1[/mm]: [mm]\bruch{\lambda}{k+1}[/mm]=1,
für [mm]\lambda[/mm]<k: [mm]\bruch{\lambda}{k+1}[/mm]<1.
Dann ist P(X=k) maximal für k=[mm]\lambda -1[/mm] und für k= =[mm]\lambda[/mm].
Die Abschätzungen sind nach dem Hinweis völlig klar.
NUr wie kann ich dann schließen, das sich um MAximalstellen handelt!
Vielleicht kann mir da jemand helfen!
Gruss,
Wurzelpi!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:32 So 25.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo [mm] $\wurzel{\pi}$!
[/mm]
> Gegeben sei eine Zufallsvariable X, die poissonverteilt ist
> mit Parameter [mm]\lambda[/mm].
> Gesucht war ein k aus den natürlichen Zahlen, so dass
> P(X=k) maximal!
>
> Als Hinweis sollte man P(X=k+1)/P(X=k) betrachten.
> Das ist ja gerade [mm]\bruch{\lambda}{k+1}[/mm].
>
> Anschießend haben wir zwei Fälle unterschieden:
>
> 1. Fall: [mm]\lambda[/mm] ist nicht aus den natürlichen Zahlen
> Dann gilt für 0<k<[mm]\lambda[/mm]-1: [mm]\bruch{\lambda}{k+1}[/mm]>1
>
> Und für k>[mm]\lambda -1[/mm]: [mm]\bruch{\lambda}{k+1}[/mm]<1
>
> Dann ist P(X=[ [mm]\lambda -1[/mm] ]+1)>P(X=k),
>
>
> 2. Fall: [mm]\lambda[/mm] ist aus den natürlichen Zahlen
>
> Dann gilt für 0<k<[mm]\lambda[/mm]: [mm]\bruch{\lambda}{k+1}[/mm]>1,
> für k=[mm]\lambda -1[/mm]: [mm]\bruch{\lambda}{k+1}[/mm]=1,
> für [mm]\lambda[/mm]<k: [mm]\bruch{\lambda}{k+1}[/mm]<1.
>
> Dann ist P(X=k) maximal für k=[mm]\lambda -1[/mm] und für k=
> =[mm]\lambda[/mm].
>
> Die Abschätzungen sind nach dem Hinweis völlig klar.
> NUr wie kann ich dann schließen, das sich um
> MAximalstellen handelt!
Im ersten Fall hast du doch herausgefunden, dass
[mm] $\bruch{\lambda}{k+1}>1$ [/mm] für [mm] $0
[mm] $\bruch{\lambda}{k+1}<1$ [/mm] für [mm] $k>\lambda-1$
[/mm]
Das bedeutet aber --da [mm] $\bruch{\lambda}{k+1}=\bruch{P(X=k+1)}{P(X=k)}$:
[/mm]
[mm] $\bruch{P(X=k+1)}{P(X=k)}>1\ \gdw\ [/mm] P(X=k+1)>P(X=k)$ für [mm] $0
[mm] $\bruch{P(X=k+1)}{P(X=k)}<1\ \gdw\ [/mm] P(X=k+1)<P(X=k)$ für [mm] $k>\lambda-1$
[/mm]
Dies wiederum heißt, dass P(X=x) monoton steigt bis x=k und danach wieder fällt -- ein Maximum bei x=k.
Korrektur: Ich beantworte die Frage lieber noch mal neu 
Im zweiten Fall kann man genauso argumentieren.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Mo 26.07.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Marc!
Irgendwie stehe ich kräftig au dem Schlauch!
> Hallo [mm]\wurzel{\pi}[/mm]!
>
> > Gegeben sei eine Zufallsvariable X, die poissonverteilt
> ist
> > mit Parameter [mm]\lambda[/mm].
> > Gesucht war ein k aus den natürlichen Zahlen, so dass
>
> > P(X=k) maximal!
> >
> > Als Hinweis sollte man P(X=k+1)/P(X=k) betrachten.
> > Das ist ja gerade [mm]\bruch{\lambda}{k+1}[/mm].
> >
> > Anschießend haben wir zwei Fälle unterschieden:
> >
> > 1. Fall: [mm]\lambda[/mm] ist nicht aus den natürlichen Zahlen
> > Dann gilt für 0<k<[mm]\lambda[/mm]-1: [mm]\bruch{\lambda}{k+1}[/mm]>1
> >
> > Und für k>[mm]\lambda -1[/mm]: [mm]\bruch{\lambda}{k+1}[/mm]<1
> >
> > Dann ist P(X=[ [mm]\lambda -1[/mm] ]+1)>P(X=k),
> >
> >
> > 2. Fall: [mm]\lambda[/mm] ist aus den natürlichen Zahlen
> >
> > Dann gilt für 0<k<[mm]\lambda[/mm]: [mm]\bruch{\lambda}{k+1}[/mm]>1,
> > für k=[mm]\lambda -1[/mm]: [mm]\bruch{\lambda}{k+1}[/mm]=1,
> > für [mm]\lambda[/mm]<k: [mm]\bruch{\lambda}{k+1}[/mm]<1.
> >
> > Dann ist P(X=k) maximal für k=[mm]\lambda -1[/mm] und für k=
> > =[mm]\lambda[/mm].
> >
> > Die Abschätzungen sind nach dem Hinweis völlig klar.
> > NUr wie kann ich dann schließen, das sich um
> > MAximalstellen handelt!
>
> Im ersten Fall hast du doch herausgefunden, dass
>
> [mm]\bruch{\lambda}{k+1}>1[/mm] für [mm]0
>
> [mm]\bruch{\lambda}{k+1}<1[/mm] für [mm]k>\lambda-1[/mm]
>
> Das bedeutet aber --da
> [mm]\bruch{\lambda}{k+1}=\bruch{P(X=k+1)}{P(X=k)}[/mm]:
>
> [mm]\bruch{P(X=k+1)}{P(X=k)}>1\ \gdw\ P(X=k+1)>P(X=k)[/mm] für
> [mm]0
> [mm]\bruch{P(X=k+1)}{P(X=k)}<1\ \gdw\ P(X=k+1)
> [mm]k>\lambda-1[/mm]
Die Umformungen sind klar; das sind die bisherigen Ergebnisse nur noch einmal anders aufgeschreiben.
> Dies wiederum heißt, dass P(X=x) monoton steigt bis x=k und
> danach wieder fällt -- ein Maximum bei x=k.
Dem kann ich nicht folgen.
Ich versthe sowohl im ersten als auch im zweiten Fall nicht, warum das die Maximalstellen sein sollen! Die Fallunterscheidungen sind ja auch klar und auch für welche k diese Abschätzungen das gilt.
Aber ich bekomme den Zusammenhang zwischen den beiden oder drei Bedingungen nicht auf die Reihe!
Da musst Du mir noch einmal auf die Sprünge helfen, am besten ausführlich!
Gruss, Wurzelpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:31 Mo 26.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Wurzelpi!
ich beatworte die ursprüngliche Frage noch mal neu, da ich mich dort vertan hatte.
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:13 Mo 26.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Wurzelpi!
> Gegeben sei eine Zufallsvariable X, die poissonverteilt ist
> mit Parameter [mm]\lambda[/mm].
> Gesucht war ein k aus den natürlichen Zahlen, so dass
> P(X=k) maximal!
>
> Als Hinweis sollte man P(X=k+1)/P(X=k) betrachten.
> Das ist ja gerade [mm]\bruch{\lambda}{k+1}[/mm].
>
> Anschießend haben wir zwei Fälle unterschieden:
>
> 1. Fall: [mm]\lambda[/mm] ist nicht aus den natürlichen Zahlen
> Dann gilt für 0<k<[mm]\lambda[/mm]-1: [mm]\bruch{\lambda}{k+1}[/mm]>1
>
> Und für k>[mm]\lambda -1[/mm]: [mm]\bruch{\lambda}{k+1}[/mm]<1
>
> Dann ist P(X=[ [mm]\lambda -1[/mm] ]+1)>P(X=k),
Bei meiner ersten Antwort hatte ich nicht beachtet, dass [mm] \lambda [/mm] nicht natürlich-zahlig war.
Um es uns einfacher zu machen, sei m eine natürliche Zahl, so dass [mm] $m<\lambda-1
Wir haben dann:
[mm] $\bruch{\lambda}{k+1}>1$ [/mm] für [mm] $0
[mm] $\bruch{\lambda}{k+1}<1$ [/mm] für [mm] $k>\lambda-1$ [/mm] (also [mm] $k\ge [/mm] m+1$)
Das bedeutet aber --da [mm] $\bruch{\lambda}{k+1}=\bruch{P(X=k+1)}{P(X=k)}$:
[/mm]
[mm] $\bruch{P(X=k+1)}{P(X=k)}>1\ \gdw\ [/mm] P(X=k+1)>P(X=k)$ für [mm] $0
[mm] $\bruch{P(X=k+1)}{P(X=k)}<1\ \gdw\ [/mm] P(X=k+1)$ für [mm] $k\ge [/mm] m+1$
Beachte, dass aus der ersten Ungleichung auch folgt: $P(X=m+1)>P(X=m)$.
Setzt man in P(X=k) nacheinander Werte für k ein, so erhält man doch eine Folge von Zahlen (hier W'keiten):
$P(X=0), P(X=1), P(X=2), [mm] \ldots, [/mm] P(X=m), [mm] \blue{P(X=m+1)}, [/mm] P(X=m+2), [mm] \ldots$
[/mm]
Wir haben oben herausgefunden, dass die Folge dieser Zahlen bis zum blauen Wert steigt (denn P(X=k+1)>P(X=k)) und ab dem blauen Wert wieder fällt -- das macht den blauen Wert zu dem größten Wert in dieser Folge, es gilt also:
[mm] $\blue{P(X=m+1)}>P(X=k)$ [/mm] für alle [mm] $k\not=m+1$
[/mm]
Ich hoffe, dass ich es jetzt deutlicher erklärt habe, ansonsten frage bitte noch mal nach.
> 2. Fall: [mm]\lambda[/mm] ist aus den natürlichen Zahlen
>
> Dann gilt für 0<k<[mm]\lambda[/mm]: [mm]\bruch{\lambda}{k+1}[/mm]>1,
> für k=[mm]\lambda -1[/mm]: [mm]\bruch{\lambda}{k+1}[/mm]=1,
> für [mm]\lambda[/mm]<k: [mm]\bruch{\lambda}{k+1}[/mm]<1.
>
> Dann ist P(X=k) maximal für k=[mm]\lambda -1[/mm] und für k=
> =[mm]\lambda[/mm].
>
> Die Abschätzungen sind nach dem Hinweis völlig klar.
> NUr wie kann ich dann schließen, das sich um
> MAximalstellen handelt!
Kommst du nun für den zweiten Fall alleine zurecht?
Viele Grüße,
Marc
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