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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Varianz der Poissonverteilung. |
Könnt ihr mir dabei helfen, diese Aufgabe zu lösen?
Die Poissonverteilung ist ja gegeben durch [mm] \bruch{ \lambda^n}{n!}e^{- \lambda}
[/mm]
Könnt ihr mir sagen, wie ich den Erwartungswert dadurch berechnen kann, denn das ist ja notwendig für die Varianz.
Vielen Dank und einen schönen Abend noch.
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X ~ [mm] \mathcal{P}( \lambda)
[/mm]
E(X) = [mm] \lambda
[/mm]
Varianz (X) = [mm] \lambda
[/mm]
E(X) = [mm] \summe_{i=0}^{ \infty} [/mm] i [mm] e^{- \lambda} \bruch{\lambda^{i}}{i!} [/mm] = [mm] \lambda e^{- \lambda} \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{\lambda^{i - 1}}{(i - 1)!} [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
Varianz (X) = E (X²) - (EX)² = E(X(X - 1)) + EX - (EX)² = [mm] \lambda² [/mm] + [mm] \lambda [/mm] - [mm] \lambda² [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
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Vielen Dank für die Beantwortung meiner Frage.
Ich wollte nur nochmal wissen, ob man den Erwartungswert der Poissonverteilung auch mit dem Integral berechnen kann.
Wir hatten nämlich einen Satz in der Vorlesung, der wie folgt lautet:
Es sei [mm] \Omega \subset \IR^n [/mm] eine genügend einfache Teilmenge, f: [mm] \Omega [/mm] --> [0, infty) eine genügend gutartige Dichtefunktion und X: [mm] \Omega [/mm] --> [mm] \IR [/mm] eine genügend gutartige Zufallsvariable. Dann definieren wir E(X) als [mm] \integral_{\Omega}^{}{f(x)X(x) dx} [/mm] , sofern das Integral existiert.
Wenn ja, kann mir einer zeigen, wie ich es damit machen kann?
Vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 So 12.02.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Sternchen,
> Vielen Dank für die Beantwortung meiner Frage.
> Ich wollte nur nochmal wissen, ob man den Erwartungswert
> der Poissonverteilung auch mit dem Integral berechnen
> kann.
Nein, kann man nicht. Nur für stetig verteilte Zufallsvariablen, die eine Dichte besitzen, ist der Erwartungswert über das Integral definiert. Die Poisonverteilung ist eine diskrete Zufallsvariable.
Für stetig verteilte Zufallsvariablen mit Dichte f gilt:
[mm]EX=\int_{-\infty}^{\infty}x \cdot f(x) \,dx \mbox{\qquad falls } \int_{-\infty}^{\infty}\mid x \mid \cdot f(x) \,dx < \infty [/mm]
Für diskret verteilte Zufallsvariablen gilt:
[mm]EX=\sum_{k=0}^{\infty}x_k \cdot P(X=x_k) \mbox{\qquad falls } \sum_{k=0}^{\infty}\mid x_k \mid \cdot P(X=x_k) \mbox{ konvergiert} [/mm]
Viele Grüße
Astrid
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Wie schon Astrid sagte...........
Bei stetigen Zufallsvariablen wie zum Beispiel eine exponentialverteilte oder gleichverteile Zufallsvariable wird über minus-unendlich und plus-unendlich integriert, für diskrete Zufallsvariablen wie die Poisson-verteilte wird die Summe von 0 bis unendlich gebildet 
Habe zum Glück Stochastik seit Freitag hinter mir..............juhuuuuuuuuu :D
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