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Polarkoordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:17 Sa 19.07.2014
Autor: arbeitsamt

Aufgabe
ich habe eine trivale frage

ich will 3i in Polarkoordinaten umformen

[mm] 3i=3e^{i*\bruch{\pi}{2}} [/mm]

mein tutor hat als anmerkung geschrieben

[mm] 3i=3e^{i*\bruch{\pi}{2}+2\pi*k} [/mm] dazu hat er als anmerkung noch geschrieben "fürs wurzel ziehen"

ich verstehe das nicht ganz. ich weiß das sich der WInkel nicht ändert, wenn ich es mit [mm] 2\pi*k [/mm] addiere, aber wozu brauch ich das?

ich kann doch auch bei [mm] 3e^{i*\bruch{\pi}{2}} [/mm] die wurzel ziehen? wieso muss ich den exponennten mit [mm] 2\pi*k [/mm] addieren?

was wollte mein tutor mir damit sagen?

        
Bezug
Polarkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:28 Sa 19.07.2014
Autor: MaslanyFanclub

Hallo,

> ich habe eine trivale frage
>  
> ich will 3i in Polarkoordinaten umformen
>  [mm]3i=3e^{i*\bruch{\pi}{2}}[/mm]
>  
> mein tutor hat als anmerkung geschrieben
>  
> [mm]3i=3e^{i*\bruch{\pi}{2}+2\pi*k}[/mm] dazu hat er als anmerkung
> noch geschrieben "fürs wurzel ziehen"
>  
> ich verstehe das nicht ganz. ich weiß das sich der WInkel
> nicht ändert, wenn ich es mit [mm]2\pi*k[/mm] addiere, aber wozu
> brauch ich das?

Meiner Meinung nach ist die Antwort des Tutors falsch und deine richtig.
Die Polarkoordianten einer Zahl ungleich 0 ist ein Paar $(r, [mm] \varphi)$ [/mm] mit $r [mm] \in \mathbb [/mm] R^+$ und [mm] $\varphi \in [0,2\pi)$ [/mm] (alternativ [mm] $\varphi \in [-\pi [/mm] , [mm] \pi [/mm] [$).). Die Polarkoordinatendarstellung ist dann $r [mm] e^{i \varphi}$ [/mm] und damit eindeutig.

> ich kann doch auch bei [mm]3e^{i*\bruch{\pi}{2}}[/mm] die wurzel
> ziehen? wieso muss ich den exponennten mit [mm]2\pi*k[/mm]
> addieren?

Ich sehe nicht, was das mit Wurzelziehen zu tun hat.

> was wollte mein tutor mir damit sagen?

Das solltest du den Tutor wohl selber fragen.

Die Anmerkung beziehen sich auf die Aufgabenstellung wie im Eingangspost wiedergegeben. Je nach exakter Aufgabenstellung können die umstände natürlich anders sein.

Bezug
        
Bezug
Polarkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:49 Sa 19.07.2014
Autor: rmix22


> ich habe eine trivale frage
>  
> ich will 3i in Polarkoordinaten umformen
>  [mm]3i=3e^{i*\bruch{\pi}{2}}[/mm]
>  
> mein tutor hat als anmerkung geschrieben
>  
> [mm]3i=3e^{i*\bruch{\pi}{2}+2\pi*k}[/mm] dazu hat er als anmerkung
> noch geschrieben "fürs wurzel ziehen"
>  
> ich verstehe das nicht ganz. ich weiß das sich der WInkel
> nicht ändert, wenn ich es mit [mm]2\pi*k[/mm] addiere, aber wozu
> brauch ich das?
>  
> ich kann doch auch bei [mm]3e^{i*\bruch{\pi}{2}}[/mm] die wurzel
> ziehen? wieso muss ich den exponennten mit [mm]2\pi*k[/mm]
> addieren?
>  
> was wollte mein tutor mir damit sagen?

Nun, die Darstellung einer komplexen Zahl in Exponentialform ist nicht eindeutig. Meist verwendet man aus Bequemlichkeit die Einschränkung [mm] $\phi\in]-\pi;\;pi]$, [/mm] manchmal auch wie von meinem Vorredner angemerkt [mm] $\phi\in[0;\;pi]$. [/mm]

Alle Darstellungen erhältst du, wie dein Dozent angemerkt hat (du hast da eine Klammer vergessen) mit
     [mm] $3*i=3*e^{i*\left(\frac{\pi}{2}+k*2*\pi\right)}$ [/mm]  mit [mm] $k\in\IZ$. [/mm]

Der Winkel/das Argument ändert sich übrigens sehr wohl bei Addition von [mm] 2\pi, [/mm] die zugehörige komplexe Zahl ändert sich aber nicht. Andererseits kann man über die Definition des Begriffs Winkel auch herrlich lang diskutieren ohne zu einem befriedigenden Ergebnis zu kommen ;-)

Ob es nun sinnvoll oder notwendig ist, die vollständige Darstellung zu verwenden hängt davon ab, was du mir der Zahl nun vorhast. Dein Dozent wollte offenbar auf den Satz von Moivre hinaus.
Wenn du die Aufgabe hättest, aus deiner Zahl zB die dritte Wurzel zu ziehen, müsstest du aus dem Betrag (3) die dritte Wurzel ziehen um den Betrag deiner Lösung(en) zu erhalten, das Argument ("den Winkel") aber durch 3 dividieren. Und jetzt macht es einen Unterschied, ob du [mm] $\frac{\pi}{2}+0*2\pi$ [/mm] drittelst, oder [mm] $\frac{\pi}{2}+1*2\pi$ [/mm] oder [mm] $\frac{\pi}{2}+2*2\pi$. [/mm] Es gibt also drei komplexe Zahlen, die zur dritten Potenz genommen 3i ergeben. Für $k=3$ erhältst du dann wieder die gleiche Zahl wie für $k=0$.

Gruß RMix




Bezug
                
Bezug
Polarkoordinaten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:44 Sa 19.07.2014
Autor: arbeitsamt

das heißt also bei

[mm] x^3= 3e^{i*(\bruch{\pi}{2}+2\pi*k)} [/mm]

wären alle Lösung folgende:

[mm] x_1=\wurzel{3}e^{i*(\bruch{\pi+4\pi}{6}+*0)} [/mm]

[mm] x_2=\wurzel{3}e^{i*(\bruch{\pi+4\pi}{6}+*1)} [/mm]

[mm] x_3=\wurzel{3}e^{i*(\bruch{\pi+4\pi}{6}+*2)} [/mm]

das wäre so richtig oder?

angenommen ich habe die gleichung

[mm] x^3=1 [/mm]

kann ich die 1 in polarkoordinaten umformen und dann wie oben alle lösungen bestimmen?

[mm] x^3=e^{i(0+2\pi*k)} [/mm]

[mm] x_1=e^{i(0+\bruch{2\pi}{3}*0)} [/mm]


[mm] x_1=e^{i(0+\bruch{2\pi}{3}*1)} [/mm]


[mm] x_1=e^{i(0+\bruch{2\pi}{3}*2)} [/mm]

kann man das so machen?

Bezug
                        
Bezug
Polarkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:20 Sa 19.07.2014
Autor: Valerie20


> das heißt also bei

>

> [mm]x^3= 3e^{i*(\bruch{\pi}{2}+2\pi*k)}[/mm]

>

> wären alle Lösung folgende:

>

> [mm]x_1=\wurzel{3}e^{i*(\bruch{\pi+4\pi}{6}+*0)}[/mm]

>

> [mm]x_2=\wurzel{3}e^{i*(\bruch{\pi+4\pi}{6}+*1)}[/mm]

>

> [mm]x_3=\wurzel{3}e^{i*(\bruch{\pi+4\pi}{6}+*2)}[/mm]

>

> das wäre so richtig oder?

[notok] Wie kommst du denn jeweils auf die [mm] $4\pi$? [/mm] Der Rest passt.

> angenommen ich habe die gleichung

>

> [mm]x^3=1[/mm]

>

> kann ich die 1 in polarkoordinaten umformen und dann wie
> oben alle lösungen bestimmen?

>

> [mm]x^3=e^{i(0+2\pi*k)}[/mm]

Ja, so kannst du das machen.

Die Zahl 1 in Eulerdarstellung lautet einfach:

[mm] $1=e^{i\cdot 0}$ [/mm]

oder die zweite Möglichkeit wäre:

[mm] $1=e^{i\cdot 2\pi}$ [/mm]

Die Zahl $-1$ kannst du übrigens auch auf zwei Arten Darstellen:

[mm] $x^3=e^{i\cdot \pi}$ [/mm] und

[mm] $x^3=e^{-i\cdot \pi}$ [/mm]

> [mm]x_1=e^{i(0+\bruch{2\pi}{3}*0)}[/mm]

>
>

> [mm]x_1=e^{i(0+\bruch{2\pi}{3}*1)}[/mm]

>
>

> [mm]x_1=e^{i(0+\bruch{2\pi}{3}*2)}[/mm]

>

> kann man das so machen?

[ok] Allerdings solltest du den Lösungen unterschiedliche Namen geben. Nicht immer [mm] $x_1$ [/mm] ;).
Am besten fängst du auch mit [mm] $x_0$ [/mm] an anstatt mit [mm] $x_1$. [/mm] Ich finde das immer schöner. Dann hat man gleich den Bezug zur Zahl, die du eingesetzt hast.

Bezug
                                
Bezug
Polarkoordinaten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:58 So 20.07.2014
Autor: rmix22


> > das heißt also bei
>  >
>  > [mm]x^3= 3e^{i*(\bruch{\pi}{2}+2\pi*k)}[/mm]

>  >
>  > wären alle Lösung folgende:

>  >
>  > [mm]x_1=\wurzel{3}e^{i*(\bruch{\pi+4\pi}{6}+*0)}[/mm]

>  >
>  > [mm]x_2=\wurzel{3}e^{i*(\bruch{\pi+4\pi}{6}+*1)}[/mm]

>  >
>  > [mm]x_3=\wurzel{3}e^{i*(\bruch{\pi+4\pi}{6}+*2)}[/mm]

>  >
>  > das wäre so richtig oder?

>  
> [notok] Wie kommst du denn jeweils auf die [mm]4\pi[/mm]? Der Rest
> passt.

Nein, genau umgekehrt (siehe meine Antwort). Die [mm] $4*\pi$ [/mm] sind schon OK wenn man [mm] $\frac{\pi}{2}+2*\pi*k$ [/mm] in einen Bruch umformt.

> Die Zahl [mm]-1[/mm] kannst du übrigens auch auf zwei Arten
> Darstellen:
>  
> [mm]x^3=e^{i\cdot \pi}[/mm] und
>  
> [mm]x^3=e^{-i\cdot \pi}[/mm]
>  

Nicht nur auf zwei Arten. Jede komplexe Zahl lässt sich auf unendlich viele Arten in der Exponentialform darstellen - darum geht's bei der Frage hier hier ja gerade. Auch
     [mm]-1=e^{-123*\pi}[/mm]
wäre zB möglich und korrekt - über die Sinnhaftigkeit lässt sich natürlich diskutieren.

Gerade die dritte Wurzel aus -1 ist ein nettes Beispiel, weil man hier auf eine scheinbare Diskrepanz bei Verwendung mancher CAS stößt, wenn diese standardmäßig auf [mm] \IC [/mm] operiert.
Das Ergebnis von [mm] $(-1)^\frac{1}{3}$ [/mm] ist dort nicht $-1$ sondern [mm] $\frac{1}{2}+i*\frac{\wurzel{3}}{2}$, [/mm] weil das eben der Hauptwert ist (= jenes Ergbnis mit dem kleinsten Argument).

Gruß RMix


Bezug
                        
Bezug
Polarkoordinaten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:32 So 20.07.2014
Autor: rmix22


> das heißt also bei
>
> [mm]x^3= 3e^{i*(\bruch{\pi}{2}+2\pi*k)}[/mm]
>  
> wären alle Lösung folgende:
>  
> [mm]x_1=\wurzel{3}e^{i*(\bruch{\pi+4\pi}{6}+*0)}[/mm]
>  
> [mm]x_2=\wurzel{3}e^{i*(\bruch{\pi+4\pi}{6}+*1)}[/mm]
>  
> [mm]x_3=\wurzel{3}e^{i*(\bruch{\pi+4\pi}{6}+*2)}[/mm]
>  
> das wäre so richtig oder?

Nein! Da sind einige Fehler drin. Das $+$ vor den Faktoren $0,1,2$ ist falsch und gehört ersatzlos gestrichen. Die Faktoren stehen an der falschen Stelle - sie gehören nur zum Ausdruck [mm] $4*\pi$. [/mm] Und zu guter Letzt darf es keine Quadratwurzel sein sondern es muss sich um eine dritte Wurzel handeln. Vielleicht ist das alles nur beim Formelsetzen passiert, aber falsch ist falsch und bekanntlich ist ja "gut gemeint" oft das Gegenteil von "gut ;-)
Richtig müsste es lauten
     [mm]x_1=\wurzel[3]{3}*e^{i*(\bruch{\pi+4\pi*0}{6})}[/mm]
     [mm]x_2=\wurzel[3]{3}*e^{i*(\bruch{\pi+4\pi*1}{6})}[/mm]
     [mm]x_3=\wurzel[3]{3}*e^{i*(\bruch{\pi+4\pi*2}{6})}[/mm]
Die Endpunkte der entsprechenden drei Zeiger im Arganddiagramm (Gaußebene) bilden ein gleichseitiges Dreieck.

Ich würde die Nummerierung der Lösungen auch bei Null weglaufen lassen und nicht bei Eins, aber das ist wohl Geschmacksache.

>  
> angenommen ich habe die gleichung
>  
> [mm]x^3=1[/mm]
>  
> kann ich die 1 in polarkoordinaten umformen und dann wie
> oben alle lösungen bestimmen?
>  
> [mm]x^3=e^{i(0+2\pi*k)}[/mm]
>  
> [mm]x_1=e^{i(0+\bruch{2\pi}{3}*0)}[/mm]
>  
>
> [mm]x_1=e^{i(0+\bruch{2\pi}{3}*1)}[/mm]
>  
>
> [mm]x_1=e^{i(0+\bruch{2\pi}{3}*2)}[/mm]
>  
> kann man das so machen?

[ok] Ja, das stimmt - abgesehen davon, dass nicht alle Lösungen die gleiche Nummer bekommen sollten.

Gruß RMix

Bezug
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