Polstelle bei Gebr.-ratio. Fkt < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Di 07.02.2006 | | Autor: | ILM |
| Aufgabe | | [mm] f(x)=\bruch{x²}{4x} [/mm] |
hallo allerseits
hab eine frage zum thema polstelle bei gebrochenrationalen Funktionen.
es geht um den Spezialfall das der Nenner und der Zähler 0 wird.
sprich: es geht um die Regel, dass u(x) nur 0 werden darf wenn v(x) ungleich 0 wird und umgekehrt.
ich möchte gerne wissen warum dies nicht sein kann, warum man entweder eine Nullstelle oder eine Polstelle bekommt aber nicht beides zugleich.
hab mir überlegt das wenn beides 0 wird, dann wäre die funktion nicht definiert aber das reicht mir nicht.
danke für eure hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Di 07.02.2006 | | Autor: | Seppel |
Hallo ILM!
In welchem Bezug steht die Frage zu der angeführten Aufgabe?
Bei dieser Aufgabe brauchst du dich ja eigentlich nicht mit gebrochenrationalen Funktionen beschäftigen, da sich das x einfach wegkürzt. Und wenn wir uns diese Aufgabe anschauen: Wieso ist, im Falle von $u(x)=0$ und $v(x)=0$, die Funktion nicht definiert?
Liebe Grüße
Seppel
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Hallo!
Für [mm] $f(x)=\bruch{u(x)}{v(x)}$ [/mm] gilt grundsätzlich:
1. Ist für [mm] $x_0\in [/mm] D$ ($D$ ist der Definitionsbereich) [mm] $u(x_0)=0,\ v(x_0)\ne [/mm] 0$, dann ist [mm] $f(x_0)=\bruch 0{v(x_0)}=0$. [/mm] Man hat also eine Nullstelle bei [mm] $x_0$.
[/mm]
2. Ist [mm] $u(x_0)\ne [/mm] 0$, [mm] $v(x_0)=0$, [/mm] dann liegt bei [mm] $x_0$ [/mm] eine Polstelle vor. [mm] $x_0$ [/mm] ist dann nicht im Definitionsbereich enthalten, weil man durch $0$ nicht teilen kann.
3. Ist [mm] $u(x_0)=v(x_0)=0$, [/mm] dann ist wieder [mm] $x_0$ [/mm] nicht im Definitionsbereich enthalten, weil man nicht durch $0$ teilen kann. Man spricht dann von einer Definitionslücke. Trotzdem kann hier eine Polstelle vorliegen. Betrachte z.B. [mm] $f(x)=\bruch{x}{x^2}$. [/mm] Du kannst $x$ kürzen, dann erhältst du die Funktion [mm] $\tilde f(x)=\bruch [/mm] 1x$. Diese hat bei $0$ eine Polstelle. Also hat auch $f$ dort eine Polstelle.
Eine Nullstelle kann aber in keinem Fall vorliegen, weil [mm] $x_0$ [/mm] nicht im Definitionsbereich liegt.
Beantwortet das deine Frage?
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 Di 07.02.2006 | | Autor: | ILM |
als banachella deine antwort löst denke ich mal die frage.
es geht darum dass meine freundin nen mathevortrage gehalten hat und dabei halt auf das thema Nullstellen und Polstellen bei gebrochenrationalen funktionen zu sprechen kam. am ende stellte halt der lehrer die frage wie das denn ist wenn durch das einsetzen eines wertes für x sowohl der nenner als auch der zähler dadurch 0 werden würde.
meine freundin wusste darauf keine antwort, im grundkurs hat man das auch nicht. da hat sie halt mich gefragt, leistungskursler, aber auch ich konnte ihr nicht beantworten warum entweder u(x) oder v(x) 0 sein darf aber nicht beide gleichzeitig.
also ich geb ihr die antwort mal durch denke das müsste den mathelehre zu frieden stimmen, thx
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