Polstellen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe noch eine kurze Frage zum Tema Polstellen.
Denn im Laufe der Zeit habe ich ziemlich viele verschiedene Definitionen und Erklärungen gefunden, die mich aber aufgrund der Fülle nur verwirren, als das ich ein "System" erkenne.
Wann liegt bei mir eine Polstelle vor? Eigentlich doch nur, wenn ich eine Unbestimmtheitsstelle habe und den Grenzwert von links und rechts berechne, oder? Aber dann habe ich ja verschiedene Möglichkeiten,
der Grenzwert kann gleich sein oder unterschiedlich, unendlich oder 0.
Wie interpretiere ich diese Ergebnisse? Da gibt es ja noch Polstelen mit und ohne Vorzeichenwechsel, oder? Was heißt das?
Außerdem gibts da doch noch Erklärungen wie "und x ist senkrechte/waagerechte" Asymptote. Wie kommt man darauf und wann ist sie senkrecht, wann waagerecht?
Nun sind es leider doch mehr Fragen geworden. Aber ich hoffe, jemand kann mir das "System" nahe bringen.
Vielen Dank!
|
|
| |
|
> Wann liegt bei mir eine Polstelle vor? Eigentlich doch nur,
> wenn ich eine Unbestimmtheitsstelle habe und den Grenzwert
> von links und rechts berechne, oder? Aber dann habe ich ja
> verschiedene Möglichkeiten,
> der Grenzwert kann gleich sein oder unterschiedlich,
> unendlich oder 0.
> Wie interpretiere ich diese Ergebnisse? Da gibt es ja noch
> Polstelen mit und ohne Vorzeichenwechsel, oder? Was heißt
> das?
Hallo,
zunächst mal kommen als Polstellen überhaupt nur Definitionslücken infrage. Wenn der Grenzwert von rechts und von links jeweils gegen [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] geht, dann ist die Definitionslücke eine Polstelle.
Geht der Grenzwert auf der einen Seite gegen [mm] \infty [/mm] und auf der anderen gegen [mm] -\infty, [/mm] dann hast Du eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
Beispiel ohne VZ-Wechsel: [mm] f(x)=\bruch{1}{(x-2)^2} [/mm] hat an der Stellle x=2 eine Polstelle ohne VZ-Wechsel
Beispiel mit VZ-Wechsel: [mm] g(x)=\bruch{1}{(x-5)} [/mm] hat an der Stellle x=5 eine Polstelle mit VZ-Wechsel
>
> Außerdem gibts da doch noch Erklärungen wie "und x ist
> senkrechte/waagerechte" Asymptote. Wie kommt man darauf und
> wann ist sie senkrecht, wann waagerecht?
Die Polstelle ist eine senkrechte Asymptote.
Eine waagerechte Asymptote hat man, wenn sich für x [mm] \to \infty [/mm] oder x [mm] \to -\infty [/mm] die Funktion einem konstanten Wert nähert.
Beispiel
h(x)= [mm] \bruch{4711x^5 +1 }{x^5}=4711 [/mm] + [mm] \bruch{1}{x^5} \to [/mm] 4711 für [mm] x\to \infty. [/mm] Also ist y=4711 waagerechte Asymptote der Funktion.
Gruß v. Angela
>
> Nun sind es leider doch mehr Fragen geworden. Aber ich
> hoffe, jemand kann mir das "System" nahe bringen.
>
> Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
>
> zunächst mal kommen als Polstellen überhaupt nur
> Definitionslücken infrage. Wenn der Grenzwert von rechts
> und von links jeweils gegen [mm]\infty[/mm] oder [mm]-\infty[/mm] geht, dann
> ist die Definitionslücke eine Polstelle.
>
> Geht der Grenzwert auf der einen Seite gegen [mm]\infty[/mm] und auf
> der anderen gegen [mm]-\infty,[/mm] dann hast Du eine Polstelle mit
> Vorzeichenwechsel.
Hab ich dann nicht einen Sprung? Und das was du sagst gilt nur dann, wenn der links- und rechtsseitige Grenzwert GLEICH ist, also entweder + oder - [mm] \infty?
[/mm]
>
> Beispiel ohne VZ-Wechsel: [mm]f(x)=\bruch{1}{(x-2)^2}[/mm] hat
> an der Stellle x=2 eine Polstelle ohne VZ-Wechsel
>
> Beispiel mit VZ-Wechsel: [mm]g(x)=\bruch{1}{(x-5)}[/mm] hat an
> der Stellle x=5 eine Polstelle mit VZ-Wechsel
> >
> > Außerdem gibts da doch noch Erklärungen wie "und x ist
> > senkrechte/waagerechte" Asymptote. Wie kommt man darauf und
> > wann ist sie senkrecht, wann waagerecht?
>
> Die Polstelle ist eine senkrechte Asymptote.
>
> Eine waagerechte Asymptote hat man, wenn sich für x [mm]\to \infty[/mm]
> oder x [mm]\to -\infty[/mm] die Funktion einem konstanten Wert
> nähert.
>
> Beispiel
>
> h(x)= [mm]\bruch{4711x^5 +1 }{x^5}=4711[/mm] + [mm]\bruch{1}{x^5} \to[/mm]
> 4711 für [mm]x\to \infty.[/mm] Also ist y=4711 waagerechte
> Asymptote der Funktion.
>
> Gruß v. Angela
>
>
> >
> > Nun sind es leider doch mehr Fragen geworden. Aber ich
> > hoffe, jemand kann mir das "System" nahe bringen.
> >
> > Vielen Dank!
>
|
|
|
| |
|
>
> >
> > zunächst mal kommen als Polstellen überhaupt nur
> > Definitionslücken infrage. Wenn der Grenzwert von rechts
> > und von links jeweils gegen [mm]\infty[/mm] oder [mm]-\infty[/mm] geht, dann
> > ist die Definitionslücke eine Polstelle.
> >
> > Geht der Grenzwert auf der einen Seite gegen [mm]\infty[/mm] und auf
> > der anderen gegen [mm]-\infty,[/mm] dann hast Du eine Polstelle mit
> > Vorzeichenwechsel.
>
> Hab ich dann nicht einen Sprung?
Hallo,
nein, eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
> Und das was du sagst gilt
> nur dann, wenn der links- und rechtsseitige Grenzwert
> GLEICH ist, also entweder + oder - [mm]\infty?[/mm]
Ich sagte doch: wenn der grenzwert rechts und links beide Male [mm] \infty [/mm] oder beide male [mm] -\infty [/mm] ist, ist's eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel,
wnn's
> auf der einen Seite gegen [mm]\infty[/mm] und auf
> > der anderen gegen [mm]-\infty,[/mm] dann hast Du eine Polstelle mit
> > Vorzeichenwechsel.
Gruß v. Angela
> >
> > Beispiel ohne VZ-Wechsel: [mm]f(x)=\bruch{1}{(x-2)^2}[/mm] hat
> > an der Stellle x=2 eine Polstelle ohne VZ-Wechsel
> >
> > Beispiel mit VZ-Wechsel: [mm]g(x)=\bruch{1}{(x-5)}[/mm] hat an
> > der Stellle x=5 eine Polstelle mit VZ-Wechsel
> > >
> > > Außerdem gibts da doch noch Erklärungen wie "und x ist
> > > senkrechte/waagerechte" Asymptote. Wie kommt man darauf und
> > > wann ist sie senkrecht, wann waagerecht?
> >
> > Die Polstelle ist eine senkrechte Asymptote.
> >
> > Eine waagerechte Asymptote hat man, wenn sich für x [mm]\to \infty[/mm]
> > oder x [mm]\to -\infty[/mm] die Funktion einem konstanten Wert
> > nähert.
> >
> > Beispiel
> >
> > h(x)= [mm]\bruch{4711x^5 +1 }{x^5}=4711[/mm] + [mm]\bruch{1}{x^5} \to[/mm]
> > 4711 für [mm]x\to \infty.[/mm] Also ist y=4711 waagerechte
> > Asymptote der Funktion.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> >
> > >
> > > Nun sind es leider doch mehr Fragen geworden. Aber ich
> > > hoffe, jemand kann mir das "System" nahe bringen.
> > >
> > > Vielen Dank!
> >
>
|
|
|
| |
|
Was wäre dann ein Sprung?
|
|
|
| |
|
> Was wäre dann ein Sprung?
Wenn der Grenzwert von der einen Seite z.B. 7 wäre, und von der anderen Seite 3.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Wenn ich das also richtig verstanden habe?:
Sprung: rechts und linksseitiger Grenzwert ergeben eine unterschiedliche Zahl
Pol mit VZW: rechts- und linksseitiger GW ergeben ein Mal + und ein Mal [mm] -\infty [/mm] und x ist die senkrechte Asymptote
Pol ohne VZW: rechts- ind linksseitiger GW ergeben beide + oder [mm] -\infty
[/mm]
Was ist dann noch, wenn ich den [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow -\infty} [/mm] berechne und für beides 0 habe? Ich habe mir aufgeschrieben dann hätte ich auch einen Pol, in x=0 nämlich.
|
|
|
| |
|
> Wenn ich das also richtig verstanden habe?:
>
> Sprung: rechts und linksseitiger Grenzwert ergeben eine
> unterschiedliche Zahl
>
> Pol mit VZW: rechts- und linksseitiger GW ergeben ein Mal +
> und ein Mal [mm]-\infty[/mm] und x ist die senkrechte Asymptote
Hallo,
genau. Wenn dieser Pol an der Stelle x=5 ist, ist bei x=5 eine senkrechte Asymptote.
>
> Pol ohne VZW: rechts- ind linksseitiger GW ergeben beide +
> oder [mm]-\infty[/mm]
Ja.
>
> Was ist dann noch, wenn ich den [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> und [mm]\limes_{n\rightarrow -\infty}[/mm] berechne und für beides 0
> habe? Ich habe mir aufgeschrieben dann hätte ich auch einen
> Pol, in x=0 nämlich.
Hier müßtest Du etwas genauer werden. Welches n und den Grenzwert wovon?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> >
> > Was ist dann noch, wenn ich den [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> > und [mm]\limes_{n\rightarrow -\infty}[/mm] berechne und für beides 0
> > habe? Ich habe mir aufgeschrieben dann hätte ich auch einen
> > Pol, in x=0 nämlich.
>
> Hier müßtest Du etwas genauer werden. Welches n und den
> Grenzwert wovon?
>
Ich habe dafür im Moment kein konkretes Beispiel.. Ich dachte es gäbe evtl doch diese weitere Option für eine Polstelle?
|
|
|
| |
|
> > > Was ist dann noch, wenn ich den [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> > > und [mm]\limes_{n\rightarrow -\infty}[/mm] berechne und für beides 0
> > > habe? Ich habe mir aufgeschrieben dann hätte ich auch einen
> > > Pol, in x=0 nämlich.
> Ich habe dafür im Moment kein konkretes Beispiel.. Ich
> dachte es gäbe evtl doch diese weitere Option für eine
> Polstelle?
Du meinst wohl [mm] \limes_{x\to\infty}f(x)=0 [/mm] und [mm] \limes_{x\to -\infty}f(x)=0 [/mm] .
Dies sagt nichts über einen Pol aus, sondern es
liegt eine horizontale beidseitige Asymptote vor,
nämlich die Gerade a: y=0 (a ist nichts anderes
als die x-Achse).
Beispiele dazu etwa
$\ f(x)\ =\ [mm] \bruch{1}{x^2}$
[/mm]
$\ f(x)\ =\ [mm] 10*\,\bruch{x^2-6x-7}{x^4+5x^2+1}$
[/mm]
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Genau so etwas meine ich
zB:
[mm] f(x)=\bruch{x}{(x-1)^2}
[/mm]
Da hab ich ja [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow -\infty} [/mm] =0
Aber hier liegt der Pol bei x=1. Liegt das dann daran, dass ich das von der Unbestimmtheitsstelle ableiten kann, nämlich 1?
Warum hätte ich dann nicht den links- und rechtsseitigen Grenzzwert von 1 berechnet?
|
|
|
| |
|
> Genau so etwas meine ich
>
> zB:
>
> [mm]f(x)=\bruch{x}{(x-1)^2}[/mm]
>
> Da hab ich ja [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] und [mm]\limes_{\red{n}\rightarrow -\infty}[/mm] =0
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=0 [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0
[/mm]
Diese Gleichungen besagen nichts über einen Pol, sondern
eben darüber, dass die x-Achse links und rechts aussen
waagrechte Asymptote ist.
> Aber hier liegt der Pol bei x=1.
Warum "aber" ?
Die Kurve hat eben ausser der waagrechten auch noch
eine senkrechte Asymptote, die Polgerade x=1.
> Liegt das dann daran, dass
> ich das von der Unbestimmtheitsstelle ableiten kann,
> nämlich 1?
> Warum hätte ich dann nicht den links- und rechtsseitigen
> Grenzzwert von 1 berechnet?
Diese Grenzwerte [mm] \limes_{x\downarrow 1}f(x)=\infty [/mm] und [mm] \limes_{x\uparrow 1}f(x)=\infty
[/mm]
beschreiben das Verhalten der Funktion in der Umgebung
des Pols. In diesem Fall ist es ein Pol ohne Vorzeichenwechsel.
Gruß Al-Chw.
|
|
|
| |
|
> > [mm]f(x)=\bruch{x}{(x-1)^2}[/mm]
> Diese Grenzwerte [mm]\limes_{x\downarrow 1}f(x)=\infty[/mm] und
> [mm]\limes_{x\uparrow 1}f(x)=\infty[/mm]
> beschreiben das Verhalten
> der Funktion in der Umgebung
> des Pols. In diesem Fall ist es ein Pol ohne
> Vorzeichenwechsel.
>
Kannst du mir kurz verraten wie du auf [mm] \infty [/mm] gekommen bist?
|
|
|
| |
|
Hallo Englein89,
> > > [mm]f(x)=\bruch{x}{(x-1)^2}[/mm]
>
> > Diese Grenzwerte [mm]\limes_{x\downarrow 1}f(x)=\infty[/mm] und
> > [mm]\limes_{x\uparrow 1}f(x)=\infty[/mm]
> > beschreiben das
> Verhalten
> > der Funktion in der Umgebung
> > des Pols. In diesem Fall ist es ein Pol ohne
> > Vorzeichenwechsel.
> >
>
> Kannst du mir kurz verraten wie du auf [mm]\infty[/mm] gekommen
> bist?
[mm]\infty[/mm], deshalb, weil x>0 ist.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
>
> > > > [mm]f(x)=\bruch{x}{(x-1)^2}[/mm]
> >
> > > Diese Grenzwerte [mm]\limes_{x\downarrow 1}f(x)=\infty[/mm] und
> > > [mm]\limes_{x\uparrow 1}f(x)=\infty[/mm]
> > > beschreiben das
> > Verhalten
> > > der Funktion in der Umgebung
> > > des Pols. In diesem Fall ist es ein Pol ohne
> > > Vorzeichenwechsel.
> > >
> >
Wir haben das dann immer so gemacht, dass wir 1^+ und 1^- für x eingesetzt haben und das war dann meistens von einer Form die man gut interpretieren kann. Aber hier funktioniert das zumindest bei 1^- nicht - jedenfalls wüsste ich nicht, wie man da auf unendlich kommt.
|
|
|
| |
|
Hallo Englein89,
>
> >
> > > > > [mm]f(x)=\bruch{x}{(x-1)^2}[/mm]
> > >
> > > > Diese Grenzwerte [mm]\limes_{x\downarrow 1}f(x)=\infty[/mm] und
> > > > [mm]\limes_{x\uparrow 1}f(x)=\infty[/mm]
> > > > beschreiben
> das
> > > Verhalten
> > > > der Funktion in der Umgebung
> > > > des Pols. In diesem Fall ist es ein Pol ohne
> > > > Vorzeichenwechsel.
> > > >
> > >
>
> Wir haben das dann immer so gemacht, dass wir 1^+ und 1^-
> für x eingesetzt haben und das war dann meistens von einer
> Form die man gut interpretieren kann. Aber hier
> funktioniert das zumindest bei 1^- nicht - jedenfalls
> wüsste ich nicht, wie man da auf unendlich kommt.
Nun, für [mm]0 \le x<1[/mm] ist [mm]f\left(x\right)>0[/mm], da [mm]\left(x-1\right)^{2} > 0[/mm].
Daher gilt:
[mm]\limes_{x\rightarrow 1, x<1}f\left(x\right) = \infty[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:14 Fr 06.02.2009 | | Autor: | Englein89 |
Und wie wäre das zu erklären?
lim x-> 1^- [mm] \bruch{lnx-1}{x-1} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Wenn ich doch 1-1 rechne habe ich doch 0 oder sogar etwas Negatives für den ln (wenn ich zb 0,99999 nehme) und das ist doch absolut nicht definiert?!
|
|
|
| |
|
Hallo Englein,
ich kann die Notation nicht lesen. Welcher limes wird da gesucht? Bitte lies doch Deine Beiträge vor dem Absenden noch einmal durch, dazu gibt es ja die Funktion "Vorschau" - der Button ist direkt unter dem Eingabefenster.
lg,
reverend
|
|
|
| |
|
der [mm] \limes_{n\rightarrow 1^{-}}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo Englein,
also so?
[mm] \limes_{x\rightarrow 1_-}\bruch{\ln{x}-1}{x-1}=\infty
[/mm]
x nähert sich von links der 1. Der Zähler nähert sich 0-1=-1. Der Nenner nähert sich Null, bleibt aber negativ. Der Grenzwert ist also sozusagen [mm] \bruch{-1}{-0} [/mm] ...
Das schreibst Du natürlich alles nicht hin, sondern genau die oben angegebene Gleichung. Denken darfst Du aber so.
reverend
|
|
|
| |
|
Dann vernachlässige ich bei dem rechts- bzw linksseitigen Grenzwert bei den FUnktionen immer einfach dass sie dann nicht definiert wären?
|
|
|
| |
|
Aber Englein -
darum untersuchst Du doch den Grenzwert: genau weil die Funktion da nicht definiert ist. Und genau darum darfst Du eben auch nicht schreiben [mm] \bruch{-1}{-0}, [/mm] weil man nicht durch Null teilen "darf", und weil -0 keinen "Sinn" ergibt, außer eben bei Grenzwerten. Du kannst so denken, Du findest so auch die Lösung, aber Du musst genug darüber wissen, um zu sehen, wo die Grenzen dieses Weges sind. Er ist oft zu gehen, ja sogar meistens, aber eben nicht immer. Dann klopft z.B. Herr de l'Hospital an und räuspert sich...
Du kannst weit mehr als genug Mathe, um die Anführungszeichen im letzten Absatz zu verstehen und sogar zu erklären. Ohne Erfahrung und Intuition ist manches nicht zu lösen, aber ohne das Wissen um den korrekten Zusammenhang ist die Intuition dann niemandem zu erklären oder gar einen Beweis zu führen. Was Du denkst, ist die eine Sache, und was Du schreibst, dann die andere.
Das gilt vor allem für eine Klausur wie die, die Dir bevorsteht! Nimm genügend Schmierpapier ab (egal ob Du es abgeben musst oder nicht) und schreib, was Dir halt so einfällt, egal ob es mathematisch richtig und haltbar ist. Wenn Du eine Lösung findest, dann geh nochmal an die Aufgabe, und versuche das gleiche Ergebnis auf korrektem Weg zu ermitteln. Dann weißt Du wenigstens schon, wo Du hinwillst.
Bewertet wird nicht das Schmierpapier, sondern die regelgetreue Ausarbeitung!
Wenn alle soviel fragen würden wie Du in den letzten paar Wochen, wäre das Forum in seiner Funktion eingeschränkt. Du scheinst mir eigentlich nicht so sehr die mathematische Hilfestellung zu brauchen, als vielmehr die Gewissheit, dass Du das selber lösen kannst. Und Du kannst viel mehr, als Du uns wissen lässt. Das scheint manchmal sehr deutlich durch, aber dann wieder fragst Du allzu Elementares, von dem ich Dir einfach nicht abnehme, dass Du das nicht weißt. Was ich Dir gerne abnehme ist, dass Du es schaffst, Dich selbst so sehr zu verunsichern, dass Du sogar bei elementaren Dingen nicht mehr sicher bist, ob sie stimmen.
Denk mal drüber nach. Eigentlich brauchst Du nur ganz selten wirklich fachlichen Rat. Meistens brauchst Du nur Selbstbewusstsein: Du kannst es!
Leg doch mal vollständige Versuche vor, und nicht nur Tippelschritt um Tippelschritt. Ist doch egal, ob sie vollständig richtig sind. Kleinkram gibts immer zu finden, das geht jedem so. Hab keine Angst davor, dass jemand auf noch bestehende Fehler hinweist. Davon bist Du nicht schlechter als zuvor, und niemand mag Dich weniger, bloß weil in einem Rechengang irgendwas kraus ist.
Ich finde toll, mit welcher Beharrlichkeit Du für Deine Klausur lernst, und in welchem immensen Umfang diese Klausur(en) offenbar gestrickt ist/sind. Du hast mich dazu gebracht, meine alten Bücher über Buchhaltung zu suchen (nur zum Teil mit Erfolg gekrönt). Ich war sicher, dass ich da nie wieder reinschauen werde, mein Weg seitdem war ein anderer. Vernünftige Antworten in diesem Bereich kann ich Dir aber nicht so einfach geben.
Hier in der Mathematik geht es etwas leichter, aber Du fragst immer mal wieder das Gleiche, so als wolltest Du dich versichern, dass es aber auch ganz bestimmt und wirklich verlässlich und unfehlbar zweifelsohne richtig ist. Wozu? Du verstehst es doch. Versuch mal, hier im Forum selber Antworten zu geben. Hab auch keine Angst davor, dass sie nicht perfekt sind. Sonst korrigiert sie bestimmt jemand, und das ist nicht so peinlich, wie es sich beim ersten Mal anfühlt. Im Gegenteil: das ist die Stärke eines Forums.
Wenn Du das, was Du gelernt hast, anderen erklären kannst, dann weißt Du auch, dass Du es verstanden hast. Und dass Du es selber kannst. Ich bin wirklich davon überzeugt, dass Du dafür nicht mehr lernen musst, sondern nur ein bisschen mehr Mut brauchst.
Liebe Grüße,
reverend
|
|
|
|
