Polstellen < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Eine genaue Aufgabe gibt es nicht. |
Hallo zusammen,
also wir schreiben in 2 Wochen malwieder eine Matheklausur aber ich habe noch einige Probleme. Das Thema ist gebrochenrationale Funktionen (Kurvendiskussion)
1. Ich verstehe nicht wie man Polstellen bestimmt :( Kann mir das bitte jemand erklären ?
2. Ist eine senkrechte Asymptote daselbe wie eine Polstelle?
3. Wie bestimmt man eine senkrechte Asymptote?
4. Ich verstehe nicht was eine hebbare Definitionslücke ist und wie man sie bestimmt :(
5. Stimmt es das man waagerechte und schiefe Asymptoten durch die Polynomdivision bestimmt?
Sorry für die vielen Fragen ^^
lg Kimi-Maus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Di 02.03.2010 | | Autor: | gfm |
> 1. Ich verstehe nicht wie man Polstellen bestimmt :( Kann
> mir das bitte jemand erklären ?
Ein ganzrationale Funktion f(x) ist i.A. der Quotient aus zwei Polynomen Z (Zähler) und N (Nenner):
[mm] f(x)=\frac{Z(x)}{N(x)} [/mm]
Ein Polynom ist eine Linearkombination von Potenzen, d.h. Z und N sehen so aus:
[mm] Z(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1 [/mm] x + [mm] a_0
[/mm]
[mm] N(x)=b_n x^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_1 [/mm] x + [mm] b_0
[/mm]
Beispiel:
[mm] a_3=3, a_2=2, a_1=0, a_0=1
[/mm]
[mm] Z(x)=3x^3+2x^2+1
[/mm]
[mm] b_2=1, b_1=1, b_0=0
[/mm]
[mm] N(x)=x^2+x
[/mm]
d.h. die Funktion f hat die Gestalt [mm] f(x)=\frac{3x^3+2x^2+1}{x^2+x}
[/mm]
Der Grad eines Polynoms ist die höchste auftauchende Potenz. In unserem Beispiel ist der Grad von Z 3 und der von N 2.
Probleme gibt es immer dann, wenn der Nenner verschwindet, also wenn N(x)=0 wird, denn die Division durch Null ist nicht definiert.
Also bestimme als erstes die Nullstellenmenge [mm] \mathcal{N} [/mm] des Nenners:
[mm] \mathcal{N}=\{x\in\IR|N(x)=0\} [/mm] und gib den Definitionsbereich mit [mm] D=\IR\backslash\mathcal{N} [/mm] an.
In dem Beispiel mußt Du also N(x)=0 lösen:
[mm] x^2+x=0\gdw x(x+1)=0\gdw [/mm] (x=0 oder x=-1) also [mm] \mathcal{N}=\{-1,0\} [/mm] und damit [mm] D=\IR\backslash\{-1,0\}
[/mm]
Schreibe den Nenner mithilfe dieser Nullstellen [mm] \mathcal{N}=\{x_1,x_2,x_3,...,x_k\} [/mm] faktorisiert auf:
[mm] N(x)=(x-x_1)^{v_1}(x-x_2)^{v_2}...(x-x_k)^{v_k}
[/mm]
Das brauchst Du gleich. Die v's sind die Vielfachheiten der Nullstellen,z.b. ist [mm] x^3+2x^2+x=x(x^2+2x+1)=x(x+1)^2. [/mm] Dieses Polynom hat die u.a. die Nullstelle x=-1 mit der Vielfachheit 2. Die Vielfachheit muss Du beachten, denn Zähler und Nenner können gleiche Nullstellen haben und dann ist es wichtig zu sehen, welche Vielfachheiten vorliegen, da man u.U. kürzen kann, um so zu entscheiden, ob ein Pol oder nicht vorliegt und wie die neue Funktion nach Beseitigung der hebbaren Def.-Lücke aussieht.
In unserem Fall notieren wir den Nenner mit
N(x)=x(x+1)
Die Nullstellen des Nenners können nun sogenannte Pole oder stetig hebbare Definitionslücken sein. Um das herauszufinden bestimme die Nullstellenmenge des [mm] \mathcal{Z} [/mm] Zählers [mm] \mathcal{Z}=\{x\in\IR|Z(x)=0\}
[/mm]
Im Beispiel beduedet das:
[mm] 3x^3+2x^2+1=0
[/mm]
Eine Nullstelle können wir raten: x=-1. (-3+2+1=0). Also enthält unser Zähler den Linearfaktor (x+1):
[mm] 3x^3+2x^2+1=(x+1)P(x) [/mm] mit einem noch zustimmenden Polynom P(x).
Mit Polynomdivision bestimmen wir P(x).
[mm] (3x^3+2x^2+1):(x+1)=3x^2-x+1=P(x)
[/mm]
[mm] 3x^2+3x^2
[/mm]
[mm] ...........-x^2+1
[/mm]
[mm] ...........-x^2-x
[/mm]
..................x+1
Probe: [mm] (3x^2-x+1)(x+1)=3x^3+2x^2+1, [/mm] passt!
Jetzt gehts weiter mit der Nullstellenbestimmung von P(x):
[mm] P(x)=3x^2+2x^2+1=0\gdw x^2+2/3 x^2 [/mm] +1/3=0
Diese quadratische Gleichung hat im reellen keine Lösung (in derp-q-Formel steht was Negatives unter der Wurzel). Damit haben wir alle reellen Nullstellen gefunden.
Jetzt schreibst Du Zähler faktorisiert auf (habe jetzt y w und l genommen, um sie von denen von N zu unterscheiden):
[mm] Z(x)=(x-y_1)^{w_1}(x-y_2)^{w_2}...(x-y_k)^{w_l}
[/mm]
In unserem Beipiel:
[mm] Z(x)=(3x^2-x+1)(x+1)
[/mm]
Schreib nun die Ausgangsfunktion so auf:
[mm] f(x)=\frac{(x-y_1)^{w_1}(x-y_2)^{w_2}...(x-y_k)^{w_l}}{(x-x_1)^{v_1}(x-x_2)^{v_2}...(x-x_k)^{v_k}}
[/mm]
Das ist immer noch äquivalent zur Ausgangsfunktion mit allen möglichen Polen und hebaren Lücken. Nun kürze gleiche Faktoren im Zähler und Nenner raus. Dannach kannst Du sehen, was echte Pole und was hebare Lücken sind. Wenn im Nenner nach dem Kürzen ein [mm] (x-x_i)^{j} [/mm] überbleibt, ist [mm] x=x_i [/mm] ein Pol j-ter Ordnung.
Das war eben auch schon die Gleichung für eine senkrechte Asymptote!
Was ist eine Asymptote? Anschaulich eine (einfachere) Kurve, an die sich das Bild der Funktion beliebig nahe annähert, wenn man immer weiter nach unendlich schaut. Und wenn nun im Nenner dieser Faktor [mm] (x-x_i)^{j} [/mm] überbleibt, bedeutet das, dass die Werte der Funktion, wenn x ganz nahe bei [mm] x_i [/mm] ist, sehr groß werden, und für jedes kleine bischen noch näher an [mm] x_i [/mm] heran, schießt die Funktion weiter nach oben oder unten. Denn nach dem Kürzen wird der Zähler bei [mm] x_i [/mm] nicht null und im Endeffekt läuft es auf "Wert"/"beliebig kleinen Wert" hinaus, wenn x ganz nahe an [mm] x_i [/mm] herankommt.
Im Beipiel heißt das
[mm] f(x)=\frac{(3x^2-x+1)(x+1)}{x(x+1)}=\frac{3x^2-x+1}{x}
[/mm]
Wie Du siehst verschwindet der Faktor (x+1) aus dem Zähler und Nenner. x=-1 war also eine hebbare Definitionslücke! Das gleiche wäre auch der Fall gewesen, wenn im Zähler der Faktor übriggeblieben wäre, den für die Hebarkeit ist es nur entscheidend, das der Faktor aus dem Nenner herausgekürzt werden kann.
Der Faktor x mit seiner Nullestelle x=0 ist jedoch geblieben und bildet einen Pol. Die Gleichung der daraus resultierenden senkrechten Asymptote lautet
x=0
Zur bestimmung der nicht senkrechten Asymptote versuchts Du f(x) in einen "ganzen" Anteil und gebrochenen Anteil zur zerlegen, genauso wie man 23:5 als 4 + 3/5 schreiben kann nur eben in Polynomen. Das machst Du mit der Polynomdivision, aber bitte mit der "gekürzten" Version der Funktion um Rechenzeit zu sparen:
Gesucht: [mm] f(x)=\frac{3x^2-x+1}{x}=G(x)+R(x) [/mm] mit G(X) = (ganzes) Polynom und gebrochene Funktion R(X) mit Nennergrad>Zählergrad:
[mm] (3x^2-x+1):(x)=3x-1+1/x
[/mm]
[mm] 3x^2
[/mm]
.........-x+1
.........-x
.............1
Also G(X)=3x-1 und R(x)=1/x
Das G(x) ist die nicht senkrechte Asymptote, also in diesem Fall eine "schiefe" Asymptote.
Da hätte man hier auch gleich hinschreiben können, da ":(x)" sehr einfach auszuführen ist (, es kann aber auch mal so etwas wie [mm] ":(x^2-1)" [/mm] werden).
Schließlich kannst Du die Funktion so schreiben
f(x)=3x-1 + [mm] \frac{1}{x}
[/mm]
und Du siehst, dass wenn [mm] x\to\pm\infty [/mm] die Funktion dem Verlauf von 3x-1 immer näherkommt.
In der Nähe des Pols x=0 (die y-Achse ist also senkrechte Asymptote) gibt [mm] \frac{1}{x} [/mm] den "Ton" an, denn 3x-1 ist in der Nähe von -1, wenn x nahe bei null, aber 1/x wächst ja bei Annäherung an Null über alle Grenzen.
Das Bild dieser Funktion sind also zwei Zweige. Einer rechts der y-Achse einer Links der y-Achse. Rechts kommt die Funktion bei x=0 aus dem Unendlichen herunter, wird dann vor der x-Achse abgebremst, bekommt die Kurve und läuft dann oberhalb der Geraden y=3x-1 auf diese immer weiter zu jeweiter man rechts geht. Links verläuft das Bild entsprechend nur kommt die Funktion links der y-Achse aus dem unendlichen hoch macht eine Linkskurve und schmiegt isch dan von unterhalb immer weiter an die obige Gerade an.
Für die anschließende Kurvendiskussion wird hier schon klar, das es jeweils ein lokales Minimum und Maximum geben muss aber keine Wendestellen, da die Funktion auf den beiden Zweigen nur eine "Kurvenrichtung" hat (wenn man in der richtung von [mm] -\infty [/mm] bis \ [mm] +\infty [/mm] "fährt", auf dem linken Ast eine Rechtskurve und auf dem rechten Ast eine Linkskurve)
Die Nullstellen von f(x) (bzw. der "behobenen" Funktion) sind im übrigen die [mm] x_j, [/mm] deren Linearfaktoren nach dem Kürzen im Zähler überbleiben.
Wenn nun die Kurvendiskussion ansteht, nimm bitte die gekürzte Version mit der Asymptote f(x)=G(x)+R(X) und bilde davon die Ableitungen:
f(x)=3x-1 + [mm] \frac{1}{x}
[/mm]
[mm] f'(x)=3-\frac{1}{x^2} [/mm] (man sieht schon die beden Nullstellen [mm] \pm\frac{\wurzel{3}}{3})
[/mm]
[mm] f''(x)=\frac{2}{x^3} [/mm] (Vorzeichen aus den Nullstellen der 1. Ableitung bleibt erhalten ->Maximum/Minimum, f'' selber hat keine -> keine Wendestellen)
Das ist ein bischen einfacher als [mm] \frac{3x^3+2x^2+1}{x^2+x} [/mm] zu differenzieren.
LG
gfm
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hier mal prüfen was du verstanden hast. so mach ich das bei meiner kleinen schwester und wenn ich nicht seh dass sie es verstanden hat gehts nicht weiter :)
sei eine funktion
[mm] y=f(x)=\bruch{(x^3+x)}{(1-x)}
[/mm]
im nenner, also oben im bruch, was man da untersuchen kann ist, ob die funktion nullstellen hat, dh. ob sie mit der X Achse schneidet oder berührt.
das ist der fall wenn die funktion also y den wert null annimmt also null wird.
du fragst also wann wird meine funktion null.
setze daher den zähler null.
[mm] (x^3+x)=0
[/mm]
für welche x ist das der fall?
so Polstellen heißt, wann ist der Nenner nicht definiert. in der schule sagt man, man kann nicht durch null teilen. nehmen wir das mal an.
was du dich fragst, für welche werte teile ich durch null. deine funktion ist ein bruch. d.h. du teilst durch etwas.
wann also wird (1-x) null, dein nenner?
dazu sagst du
1-x = 0 und löst nach x auf. sags mir :)
das ist jedenfalls deine polstelle. = definitionslücke
so ist dies hebbar?
dazu musst du Grenzwertbetrachtung kennen, den "limes"
dazu gehst du beliebig nah an deine polstelle heran und guckst was deine funktion denn da für einen wert annimmt. ist das nicht [mm] \pm [/mm] unendlich, dann ist sie hebbar d.h. die funktion geht mehr oder weniger weiter hat aber eine lücke die ihr bild aber nicht sonderlich stört.
also sags mir, ist sie hier hebbar? :D
hilfe gibts dazu erst wenn du oben gelöst hast sonst verrat ich es ;)
lg Dome
(es ist bald 3uhr und ich hoff es macht alles sinn ^^ -_-)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:04 Mi 03.03.2010 | | Autor: | gfm |
> hier mal prüfen was du verstanden hast. so mach ich das
> bei meiner kleinen schwester und wenn ich nicht seh dass
> sie es verstanden hat gehts nicht weiter :)
>
> sei eine funktion
>
> [mm]y=f(x)=\bruch{(x^3+x)}{(1-x)}[/mm]
>
> im nenner, also oben im bruch, was man da untersuchen kann
Im Zähler
> ist, ob die funktion nullstellen hat, dh. ob sie mit der X
> Achse schneidet oder berührt.
>
> das ist der fall wenn die funktion also y den wert null
> annimmt also null wird.
>
> du fragst also wann wird meine funktion null.
>
> setze daher den zähler null.
>
> [mm](x^3+x)=0[/mm]
>
> für welche x ist das der fall?
>
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> so Polstellen heißt, wann ist der Nenner nicht definiert.
> in der schule sagt man, man kann nicht durch null teilen.
> nehmen wir das mal an.
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> was du dich fragst, für welche werte teile ich durch null.
> deine funktion ist ein bruch. d.h. du teilst durch etwas.
>
> wann also wird (1-x) null, dein nenner?
>
> dazu sagst du
>
> 1-x = 0 und löst nach x auf. sags mir :)
>
> das ist jedenfalls deine polstelle. = definitionslücke
>
> so ist dies hebbar?
>
> dazu musst du Grenzwertbetrachtung kennen, den "limes"
>
Nullstellen, Polstellen und hebbare Definitionslücken erschließen bei einer ganzrationalen Funktion durch die gleichzeitige Betrachtung der Nullstellen des Zählers und Nenners. Eine Nullstelle des Zähers muss nicht Nullstelle der Funktionen sein. Denn wenn der Nenner dort auch eine Nullstelle hat entscheiden die Vielfachheiten, ob ein Pol, eine Nullstelle und/oder hebbare Def.-Lücke vorliegt. Das Faktorisierung von Zähelr und Nenner liefert sofortige Ergebnis, spart Zeit und vermeidet Fehler.
Dann braucht man auch keine Grenzwertbetrachtung mehr zur Entscheidung, welche Art von Singularitäten vorliegen.
Die Grenzwertbetrachtung sollte man sich also für später aufheben, wenn gemeinsame Nullstellen von Zähler und Nenner herausgekürzt sind und die Funktion in ganzen und gebrochenen Teil zerlegt ist.
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 Mi 03.03.2010 | | Autor: | domerich |
man lernt nie aus :)
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