Polstellen mit/ohne VZW < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Jenz |
Man unterscheidet zw. 2 Fällen:
- Polstellen mit VZW : Nennernullstelle (also Polstelle) tritt einfach/dreifach/ ... auf
- Polstelle ohne VZW : Nennernullstelle (also Polstelle) tritt zweifach/vierfach/ ... auf
Doch wie muss ich mir das einfach/zweifach/dreifach/vierfach/ ... Auftreten vorstellen?
Wird dann der gesamte Nenner potenziert oder nur die Variable?
Also etwa x/(x+1)² oder x/(x²+1)?
Ich denke, dass die erste Variante gemeint ist, oder?
Heißt das dann automatisch, dass man bei der zweiten Variante von einer einfachen Nullstelle spricht, obwohl ein Quadrat drin vorkommt (aber es wird eben nicht der gesamte Nenner, sondern nur die Variable quadriert)?
Ich habe diese Frage nur in dieses Forum gestellt.
Ich hoffe ich habe mich verständlich ausgedrückt.
|
|
| |
|
Hallo!
> Man unterscheidet zw. 2 Fällen:
>
> - Polstellen mit VZW : Nennernullstelle (also Polstelle)
> tritt einfach/dreifach/ ... auf
> - Polstelle ohne VZW : Nennernullstelle (also Polstelle)
> tritt zweifach/vierfach/ ... auf
>
> Doch wie muss ich mir das
> einfach/zweifach/dreifach/vierfach/ ... Auftreten
> vorstellen?
Siehe unten.
> Wird dann der gesamte Nenner potenziert oder nur die
> Variable?
>
> Also etwa x/(x+1)² oder x/(x²+1)?
Der erste Nenner hat eine zweifache Nullstelle bei x = -1; der zweite von dir angegebene Nenner hat keine Nullstellen.
> Ich denke, dass die erste Variante gemeint ist, oder?
Wahrscheinlich ja.
> Heißt das dann automatisch, dass man bei der zweiten
> Variante von einer einfachen Nullstelle spricht, obwohl ein
> Quadrat drin vorkommt (aber es wird eben nicht der gesamte
> Nenner, sondern nur die Variable quadriert)?
Die zweit Variante hat gar keine Nullstelle.
Eine Nullstelle einer Funktion ist eine bestimmte Zahl, die eingesetzt in die Funktion eine 0 als Funktionswert erzeugt. Polynome (das sind Terme der Form [mm] x^{2}+2x [/mm] oder [mm] x-2+x^{3} [/mm] etc.) kann man oft in ein Produkt aus Linearfaktoren (das sind Faktoren der Form (x-1) oder (x+3) ) zerlegen. Hat ein Polynom die Nullstelle [mm] x_{0}, [/mm] so hat das Polynom garantiert den Linearfaktor [mm] (x-x_{0}) [/mm] enthalten. Bestes Beispiel sind die binomischen Formeln:
[mm]x^{2} + 2x + 1 = (x+1)^{2} = (x+1)*(x+1)[/mm]
[mm]x^{2} - 6x+9 = (x-3)^{2} = (x-3)*(x-3)[/mm]
[mm]x^{2} - 4 = (x-2)*(x+2)[/mm]
Diese Zerlegung in Linearfaktoren gibt letztendlich an, wie oft eine Nullstelle vorhanden ist. Beim ersten Beispiel-Term kann man sehen: Die umgeformte rechte Seite wird praktisch für x = -1 "zweimal 0", denn beide Linearfaktoren werden 0. Dann haben wir es mit einer zweifachen Nullstelle zu tun. Bei dem zweiten Beispiel wird für x = 3 der umgeformte Term zweimal 0 - wir haben es wieder mit einer zweifachen Nullstelle zu tun.
Der dritte Term wird einmal für x = 2 und einmal für x = -2 Null - wir haben zwei einfache Nullstellen vorliegen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Jenz |
> Die zweit Variante hat gar keine Nullstelle.
Da hast du natürlich Recht. Habe mir beim Schreiben schnell irgendwas aus den Finger gesogen und gar nicht auf die Nullstellen geachtet.
> - wir haben zwei einfache Nullstellen vorliegen.
D.h. wir hätten einen VZW, wenn es sich um eine gebrochenrationale Funktion handeln würde!?
Vielen Dank für die Erklärungen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 So 08.06.2008 | | Autor: | Jenz |
>
> > - wir haben zwei einfache Nullstellen vorliegen.
>
> D.h. wir hätten einen VZW, wenn es sich um eine
> gebrochenrationale Funktion handeln würde!?
>
> Vielen Dank für die Erklärungen.
>
Leider habe ich zu spät erkannt, dass ich nur eine Mitteilung geschrieben habe. Folglich haben wir dann doch bei 2 unterschiedlichen Nullstellen auch 2 Polstellen. Und auf der einen Seite schmiegt sich der Graph ins - infty und auf der anderen Seite ins +nfty, weil, wie beschrieben, nur 2 _einfache_ Nullstellen vorliegen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:57 So 08.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
wir haben einen VZW bei einer Polstelle einer gebr. rat. Fkt., wenn in der Linearfaktorzerlegung des Nenners derjenige Linearfaktor, der für die Def.-Lücke verantwortlich ist, in ungerader Potenz auftritt. Wichtig: Falls der betreffende Lin-Faktor mit einem Lin-Faktor aus dem Zähler gekürzt werden kann, dann muß dieses Kürzen ZUVOR ausgeführt worden sein.
Beispiel:
$f(x) = [mm] \frac{x^2 - 3x + 2}{(x-1)^2 * (x - 5)^2 * (x - 2)}$
[/mm]
hat eine Polstelle mit VZW bei 1, ohne VZW bei 5 und eine hebbare Lücke bei 2.
LG
Will
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 So 08.06.2008 | | Autor: | Jenz |
Erstmal vielen Dank für das Beispiel. Ich habe dieses mal berechnet und poste es hier für andere Leute, die eventuell nach solchen Themen suchen.
Außerdem stelle ich es als Frage und nicht als Mitteilung, weil ich eventuell noch Fehler gemacht haben könnte oder Kommentare von anderen sinnvoll wären und ein Beitrag, der als Frage gestellt worden ist, wohl mehr Aufmerksamkeit bekommt.
> Beispiel:
>
> [mm]f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{(x-1)^2 * (x - 5)^2 * (x - 2)}[/mm]
>
> hat eine Polstelle mit VZW bei 1, ohne VZW bei 5 und eine
> hebbare Lücke bei 2.
Zunächst bestimme ich die Nullstellen des Zählers und des Nenners, weil man dadurch zwischen verschiedenen Fällen unterscheiden kann:
[mm] x^2 [/mm] - 3x + 2 hat die Nullstellen 1 und 2
[mm] (x-1)^2 [/mm] * (x - [mm] 5)^2 [/mm] * (x - 2) hat die Nullstellen 1, 5 und 2
Man sieht, dass es gemeinsame Nullstellen gibt (1 und 2). Folglich kann man 2 Linearterme wegkürzen. Doch zunächst forme ich die Funktion um:
f(x) = [mm] \frac{x^2 - 3x + 2}{(x-1) * (x-1) * (x - 5)^2 * (x - 2)}
[/mm]
f(x) = [mm] \frac{x^2 - 3x + 2}{(x-1) * (x-2) * (x - 5)^2 * (x - 1)} [/mm] (vertauscht, da Multiplikation)
f(x) = [mm] \frac{x^2 - 3x + 2}{(x^2 - 3x + 2) * (x - 5)^2 * (x - 1)} [/mm] Man kann kürzen!
f(x) = [mm] \frac{1}{((x - 5)^2 * (x - 1)} [/mm]
f(x) = [mm] \frac{1}{((x - 5) * (x - 5) * (x - 1)} [/mm]
Die Nullstelle bei 5 kommt also zweifach vor. Also liegt ein Pol an dieser Stelle ohne VZW vor. Die Nullstelle 1 kommt nur einfach vor; folglich Pol mit VZW.
Die Nullstelle 2 ist nach dem Kürzen keine Polstelle mehr! Jedoch muss der ursprüngliche Definitionsbereich beibehalten werden. Also liegt bei x=2 eine hebbare Lücke bzw. ein Loch im Graphen vor.
So müsste es stimmen.
Vielen Dank und schönen Gruß. Und auf einen Sieg heute gegen Polen :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 So 08.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
[mm]f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{(x-1)^2 * (x - 5)^2 * (x - 2)}[/mm]
> > hat eine Polstelle mit VZW bei 1, ohne VZW bei 5 und eine
> > hebbare Lücke bei 2.
>
> Zunächst bestimme ich die Nullstellen des Zählers und des
> Nenners, weil man dadurch zwischen verschiedenen Fällen
> unterscheiden kann:
>
> [mm]x^2[/mm] - 3x + 2 hat die Nullstellen 1 und 2
> [mm](x-1)^2[/mm] * (x - [mm]5)^2[/mm] * (x - 2) hat die Nullstellen 1, 5 und 2
>
> Man sieht, dass es gemeinsame Nullstellen gibt (1 und 2).
> Folglich kann man 2 Linearterme wegkürzen. Doch zunächst
> forme ich die Funktion um:
>
> f(x) = [mm]\frac{x^2 - 3x + 2}{(x-1) * (x-1) * (x - 5)^2 * (x - 2)}[/mm]
>
> f(x) = [mm]\frac{x^2 - 3x + 2}{(x-1) * (x-2) * (x - 5)^2 * (x - 1)}[/mm]
> (vertauscht, da Multiplikation)
>
> f(x) = [mm]\frac{x^2 - 3x + 2}{(x^2 - 3x + 2) * (x - 5)^2 * (x - 1)}[/mm]
> Man kann kürzen!
>
> f(x) = [mm]\frac{1}{((x - 5)^2 * (x - 1)}[/mm]
> f(x) = [mm]\frac{1}{((x - 5) * (x - 5) * (x - 1)}[/mm]
>
> Die Nullstelle bei 5 kommt also zweifach vor. Also liegt
> ein Pol an dieser Stelle ohne VZW vor. Die Nullstelle 1
> kommt nur einfach vor; folglich Pol mit VZW.
> Die Nullstelle 2 ist nach dem Kürzen keine Polstelle mehr!
> Jedoch muss der ursprüngliche Definitionsbereich
> beibehalten werden. Also liegt bei x=2 eine hebbare Lücke
> bzw. ein Loch im Graphen vor.
>
> So müsste es stimmen.
Im Prinzip ja. Aber die Umformung erscheint etwas umständlich.
Klarer und kürzer wäre es sicher, den Zähler in Linearfaktoren zu zerlegen und dann zu kürzen.
Beim Kürzen sollte man den Definitionsbereich explizit dazu schreiben, sobald man einen Linearfaktor aus dem Nenner komplett eliminiert hat, damit die hebbare Lücke stets ersichtlich ist.
> Vielen Dank und schönen Gruß. Und auf einen Sieg heute gegen Polen :)
In Spielen gibt es nur Sieger. Die einen gewinnen Bestätigung, die anderen gewinnen an Erfahrung und werden auf ihre Schwächen aufmerksam gemacht 
In Kriegen gibt es dagegen nur Verlierer und das ist für intelligente Menschen (wie z.B. Barack Obama) offensichtlich, aber leider wohl noch nicht für alle Menschen :-(
LG
Will
|
|
|
|
