Polstellenberechnung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Do 26.06.2014 | | Autor: | Wertzu |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Polstellen des folgenden Polynoms:
[mm] \bruch{z^2+2z+1}{z2-1,74z+0,775} [/mm] |
Die Lösung ist: [mm] p_{1,2} [/mm] = 0,8736 [mm] \pm [/mm] j0,112
Mein Frage: Wie kommt man zu diesem Ergebnis?
Mein Vorgehen:
1. Nullstellen finden
Hier tritt schon mein erstes Problem auf, da die Wurzel negativ ist. Habe deshalb den Inhalt mit -1 multipliziert.
[mm] N_{1,2} [/mm] = 0,87 [mm] \pm [/mm] j0,13
2. Das Quadratische Polynom der Nullstellen bilden
[mm] (x-i)*(x-\overline{i}) [/mm] = 0,759 [mm] \pm [/mm] j0,0169
3. Hier komme ich nicht mehr weiter.
|
|
| |
|
Hallo,
> Berechnen Sie die Polstellen des folgenden Polynoms:
>
> [mm]\bruch{z^2+2z+1}{z2-1,74z+0,775}[/mm]
> Die Lösung ist: [mm]p_{1,2}[/mm] = 0,8736 [mm]\pm[/mm] j0,112
>
> Mein Frage: Wie kommt man zu diesem Ergebnis?
>
> Mein Vorgehen:
> 1. Nullstellen finden
> Hier tritt schon mein erstes Problem auf, da die Wurzel
> negativ ist. Habe deshalb den Inhalt mit -1 multipliziert.
Welchen Inhalt und wieso darfst du das überhaupt ohne das Ergebnis zu verändern?
Was ist an Wurzeln aus negativen Zahlen schlimm? Du bewegst dich doch in [mm]\IC[/mm]?
Was bedeutet denn zB. [mm]\sqrt{-1}[/mm]
Das solltest du dir zuallererst mal klarmachen ...
> [mm]N_{1,2}[/mm] = 0,87 [mm]\pm[/mm] j0,13
>
> 2. Das Quadratische Polynom der Nullstellen bilden
Das was?
> [mm](x-i)*(x-\overline{i})[/mm] = 0,759 [mm]\pm[/mm] j0,0169
Wohin ist x verschwunden und was soll das sein?
Was soll hier [mm]x,i[/mm] und [mm]\bar i[/mm] sein?
Sollst du nicht [mm](z-N_1)(z-N_2)[/mm] bilden?
Obwohl: was sollte da (bei Verwendung der richtigen Nullstellen wohl rauskommen) ?
>
> 3. Hier komme ich nicht mehr weiter.
Nun, Nullstellen des Zählers sind klar, für die komplexen des Nenners siehe meine Bem. oben
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Do 26.06.2014 | | Autor: | Wertzu |
Danke erstmal für die schnelle Antwort.
> > Mein Vorgehen:
> > 1. Nullstellen finden
> > Hier tritt schon mein erstes Problem auf, da die Wurzel
> > negativ ist. Habe deshalb den Inhalt mit -1
> multipliziert.
>
> Welchen Inhalt und wieso darfst du das überhaupt ohne das
> Ergebnis zu verändern?
Weil mein Taschenrechner keine negativen Wureln ziehen kann, habe ich einfach das Vorzeichen in der Wurzelfunktion mit -1 multipliziert.
> Was ist an Wurzeln aus negativen Zahlen schlimm? Du bewegst
> dich doch in [mm]\IC[/mm]?
>
> Was bedeutet denn zB. [mm]\sqrt{-1}[/mm]
> Das solltest du dir zuallererst mal klarmachen ...
Ok, das habe ich getan. [mm]\sqrt{-1}[/mm] = i
Jetzt verstehe ich auch den Kommentar, danke für den Hinweiß.
> > [mm]N_{1,2}[/mm] = 0,87 [mm]\pm[/mm] j0,13
> >
> > 2. Das Quadratische Polynom der Nullstellen bilden
>
> Das was?
Damit meine ich, ich habe die beiden Nullstellen miteinander multipliziert.
> > [mm](x-i)*(x-\overline{i})[/mm] = 0,759 [mm]\pm[/mm] j0,0169
>
> Wohin ist x verschwunden und was soll das sein?
>
> Was soll hier [mm]x,i[/mm] und [mm]\bar i[/mm] sein?
>
> Sollst du nicht [mm](z-N_1)(z-N_2)[/mm] bilden?
Ihre Darstellung ist besser als die meine, genau das wollte ich darstellen.
>
> Obwohl: was sollte da (bei Verwendung der richtigen
> Nullstellen wohl rauskommen) ?
Ich dachte ich brauch Sie um die Polstellen zu finden.
> >
> > 3. Hier komme ich nicht mehr weiter.
>
> Nun, Nullstellen des Zählers sind klar
Für mich noch nicht. was muss ich da machen?
, für die komplexen
> des Nenners siehe meine Bem. oben
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Gruß Wertzu
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 Do 26.06.2014 | | Autor: | fred97 |
Wir haben:
$ [mm] \bruch{z^2+2z+1}{z^2-1,74z+0,775} [/mm] $
Die Nullstellen des Zählers bekommt man, indem man die Lösungen der quadratischen Gleichung [mm] z^2+2z+1=0 [/mm] berechnet.
Welche Lösungen hat diese Gleichung ?
Die Nullstellen des Nenners bekommt man, indem man die Lösungen der quadratischen Gleichung [mm] z^2-1,74z+0,775=0 [/mm] berechnet.
Das hast Du getan. Die Lösungen hast Du mit [mm] N_1 [/mm] und [mm] N_2 [/mm] bezeichnet.
Da weder [mm] N_1 [/mm] noch [mm] N_2 [/mm] eine Nullstelle des Zählers ist, kannst Du sicher sein, dass [mm] N_1 [/mm] und [mm] N_2 [/mm] die Polstellen obiger rationalen Funktion sind.
Mach Dir, ohne Rechnung, so umgehend wie geschwind klar, dass
$ [mm] (z-N_1)(z-N_2)= z^2-1,74z+0,775$
[/mm]
ist
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Do 26.06.2014 | | Autor: | Wertzu |
Danke für die Antwort
> Wir haben:
>
> [mm]\bruch{z^2+2z+1}{z^2-1,74z+0,775}[/mm]
>
> Die Nullstellen des Zählers bekommt man, indem man die
> Lösungen der quadratischen Gleichung [mm]z^2+2z+1=0[/mm]
> berechnet.
>
> Welche Lösungen hat diese Gleichung ?
Die Lösung beträgt -1
> Die Nullstellen des Nenners bekommt man, indem man die
> Lösungen der quadratischen Gleichung [mm]z^2-1,74z+0,775=0[/mm]
> berechnet.
>
> Das hast Du getan. Die Lösungen hast Du mit [mm]N_1[/mm] und [mm]N_2[/mm]
> bezeichnet.
>
> Da weder [mm]N_1[/mm] noch [mm]N_2[/mm] eine Nullstelle des Zählers ist,
> kannst Du sicher sein, dass [mm]N_1[/mm] und [mm]N_2[/mm] die Polstellen
> obiger rationalen Funktion sind.
Das verstehe ich nicht. Warum sind die Nullstellen des Nenners, die Polstellen des Zählers?
Gilt das auch umgekehrt?
$ [mm] N_{1,2} [/mm] $ = 0,87 $ [mm] \pm [/mm] $ j0,13 ist aber nicht das gleiche wie $ [mm] p_{1,2} [/mm] $ = 0,8736 $ [mm] \pm [/mm] $ j0,112
> Mach Dir, ohne Rechnung, so umgehend wie geschwind klar,
> dass
>
> [mm](z-N_1)(z-N_2)= z^2-1,74z+0,775[/mm]
>
> ist
Ok, ich berechne das jetzt mal nach.
[mm] N_{1} [/mm] = [mm] \wurzel[2]{0,87^2+i0,13^2} \approx [/mm] 0,8602
[mm] N_{2} [/mm] = [mm] \wurzel[2]{0,87^2-i0,13^2} \approx [/mm] 0,8797
Dann müsste [mm] N_1 [/mm] * [mm] N_2 [/mm] = 0,775 ergeben
jedoch kommt bei 0,8602*0,8602 [mm] \approx [/mm] 0,7567 raus
Habe ich da was falsch vertstanden?
Und wie bekomme ich dadurch die Lösung $ [mm] p_{1,2} [/mm] $ = 0,8736 $ [mm] \pm [/mm] $ j0,112 raus?
> FRED
>
Gruß Wertzu
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Do 26.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Antwort
>
> > Wir haben:
> >
> > [mm]\bruch{z^2+2z+1}{z^2-1,74z+0,775}[/mm]
> >
> > Die Nullstellen des Zählers bekommt man, indem man die
> > Lösungen der quadratischen Gleichung [mm]z^2+2z+1=0[/mm]
> > berechnet.
> >
> > Welche Lösungen hat diese Gleichung ?
>
> Die Lösung beträgt -1
>
> > Die Nullstellen des Nenners bekommt man, indem man die
> > Lösungen der quadratischen Gleichung [mm]z^2-1,74z+0,775=0[/mm]
> > berechnet.
> >
> > Das hast Du getan. Die Lösungen hast Du mit [mm]N_1[/mm] und [mm]N_2[/mm]
> > bezeichnet.
> >
> > Da weder [mm]N_1[/mm] noch [mm]N_2[/mm] eine Nullstelle des Zählers ist,
> > kannst Du sicher sein, dass [mm]N_1[/mm] und [mm]N_2[/mm] die Polstellen
> > obiger rationalen Funktion sind.
>
> Das verstehe ich nicht. Warum sind die Nullstellen des
> Nenners, die Polstellen des Zählers?
Das hat doch kein Mensch gesagt !!!!
> Gilt das auch umgekehrt?
> [mm]N_{1,2}[/mm] = 0,87 [mm]\pm[/mm] j0,13 ist aber nicht das gleiche wie
> [mm]p_{1,2}[/mm] = 0,8736 [mm]\pm[/mm] j0,112
>
> > Mach Dir, ohne Rechnung, so umgehend wie geschwind klar,
> > dass
> >
> > [mm](z-N_1)(z-N_2)= z^2-1,74z+0,775[/mm]
> >
> > ist
>
> Ok, ich berechne das jetzt mal nach.
>
> [mm]N_{1}[/mm] = [mm]\wurzel[2]{0,87^2+i0,13^2} \approx[/mm] 0,8602
> [mm]N_{2}[/mm] = [mm]\wurzel[2]{0,87^2-i0,13^2} \approx[/mm] 0,8797
Was Du hier treibst ist mir absolut schleierhaft !!!
>
> Dann müsste [mm]N_1[/mm] * [mm]N_2[/mm] = 0,775 ergeben
> jedoch kommt bei 0,8602*0,8602 [mm]\approx[/mm] 0,7567 raus
>
> Habe ich da was falsch vertstanden?
Offenbar, aber was ..., keine Ahnung.
>
> Und wie bekomme ich dadurch die Lösung [mm]p_{1,2}[/mm] = 0,8736
> [mm]\pm[/mm] j0,112 raus?
Hä, wie oft noch ? Löse die Gleichung [mm]z^2-1,74z+0,775=0[/mm]
FRED
>
> > FRED
> >
>
> Gruß Wertzu
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Do 26.06.2014 | | Autor: | Wertzu |
Danke für die Antwort
> > > Die Nullstellen des Nenners bekommt man, indem man die
> > > Lösungen der quadratischen Gleichung [mm]z^2-1,74z+0,775=0[/mm]
> > > berechnet.
> > >
> > > Das hast Du getan. Die Lösungen hast Du mit [mm]N_1[/mm] und [mm]N_2[/mm]
> > > bezeichnet.
> > >
> > > Da weder [mm]N_1[/mm] noch [mm]N_2[/mm] eine Nullstelle des Zählers ist,
> > > kannst Du sicher sein, dass [mm]N_1[/mm] und [mm]N_2[/mm] die Polstellen
> > > obiger rationalen Funktion sind.
Welche Polstellen wurden jetzt berechnet? Ich verstehe das so.
Die Polstellen gehören nicht zum Zähler und Nenner, sondern zu der ganzen Funktion.
> > > Mach Dir, ohne Rechnung, so umgehend wie geschwind klar,
> > > dass
> > >
> > > [mm](z-N_1)(z-N_2)= z^2-1,74z+0,775[/mm]
> > >
> > > ist
> >
> > Ok, ich berechne das jetzt mal nach.
> >
> > [mm]N_{1}[/mm] = [mm]\wurzel[2]{0,87^2+i0,13^2} \approx[/mm] 0,8602
> > [mm]N_{2}[/mm] = [mm]\wurzel[2]{0,87^2-i0,13^2} \approx[/mm] 0,8797
>
> Was Du hier treibst ist mir absolut schleierhaft !!!
Ich habe hier die Nullstellen als Zahlen dargestellt, um später leichter damit zu rechen.
> >
> > Dann müsste [mm]N_1[/mm] * [mm]N_2[/mm] = 0,775 ergeben
> > jedoch kommt bei 0,8602*0,8602 [mm]\approx[/mm] 0,7567 raus
> >
Ich habe [mm] N_1 [/mm] und [mm] N_2 [/mm] in die Formel [mm] (z-N_1)(z-N_2) [/mm] eingefügt und überprüft ob die Nullstellen korrekt sind.
Jedoch habe ich nicht [mm] z^2-1,74z+0,775[/mm] [/mm] rausbekommen.
[mm] (z-N_1)(z-N_2) [/mm] = z*z + [mm] z*(-N_2) [/mm] + [mm] (-N_1)*z [/mm] + [mm] (-N_1)*(-N_2) [/mm] = [mm] z^2-1,74z+0,775
[/mm]
daher ist
[mm] (-N_1)*(-N_2) [/mm] = 0,775
Ich habe aber 0,7567 raus
> > Und wie bekomme ich dadurch die Lösung [mm]p_{1,2}[/mm] = 0,8736
> > [mm]\pm[/mm] j0,112 raus?
>
> Hä, wie oft noch ? Löse die Gleichung [mm]z^2-1,74z+0,775=0[/mm]
>
> FRED
Ok, mache ich:
[mm]z^2-1,74z+0,775=0[/mm]
[mm] -\bruch{-1,74}{2} [/mm] = 0,87
[mm] \wurzel[2]{(\bruch{1,74}{2})^2-0,775} [/mm] = [mm] \wurzel[2]{-0,0181} [/mm] = j0,134
also ist [mm]p_{1,2}[/mm] = 0,87 [mm] \pm [/mm] j0,134
Die Lösung wurde aber vorgegeben mit
$ [mm] p_{1,2} [/mm] $ = 0,8736 $ [mm] \pm [/mm] $ j0,112
Demnach ist mindestens eine Lösung hier falsch, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Do 26.06.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
...
>
> Welche Polstellen wurden jetzt berechnet? Ich verstehe das
> so.
> Die Polstellen gehören nicht zum Zähler und Nenner,
> sondern zu der ganzen Funktion.
Ja, Polstellen gehören zur ganzen Funktion.
Polstellen sind aber die Nullstellen des Nenners, sofern sie nicht auch
Nullstelle des Zählers sind. Ist eine Nullstelle, sowohl Nullstelle des
Nenners wie auch des Zählers, ist es eine hebbare Singularität.
>
> > > > Mach Dir, ohne Rechnung, so umgehend wie geschwind klar,
> > > > dass
> > > >
> > > > [mm](z-N_1)(z-N_2)= z^2-1,74z+0,775[/mm]
> > > >
> > > > ist
> > >
> > > Ok, ich berechne das jetzt mal nach.
> > >
> > > [mm]N_{1}[/mm] = [mm]\wurzel[2]{0,87^2+i0,13^2} \approx[/mm] 0,8602
> > > [mm]N_{2}[/mm] = [mm]\wurzel[2]{0,87^2-i0,13^2} \approx[/mm] 0,8797
> >
> > Was Du hier treibst ist mir absolut schleierhaft !!!
>
> Ich habe hier die Nullstellen als Zahlen dargestellt, um
> später leichter damit zu rechen.
Das ist ziemlicher Quatsch. Du hast den Betrag, der jeweiligen Zahl
berechnet. Dann müsste aber für beide Nullstellen dasselbe rauskommen.
>
> > >
> > > Dann müsste [mm]N_1[/mm] * [mm]N_2[/mm] = 0,775 ergeben
> > > jedoch kommt bei 0,8602*0,8602 [mm]\approx[/mm] 0,7567
> raus
> > >
>
> Ich habe [mm]N_1[/mm] und [mm]N_2[/mm] in die Formel [mm](z-N_1)(z-N_2)[/mm]
> eingefügt und überprüft ob die Nullstellen korrekt
> sind.
> Jedoch habe ich nicht [mm]z^2-1,74z+0,775[/mm][/mm] rausbekommen.
> [mm](z-N_1)(z-N_2)[/mm] = z*z + [mm]z*(-N_2)[/mm] + [mm](-N_1)*z[/mm] + [mm](-N_1)*(-N_2)[/mm]
> = [mm]z^2-1,74z+0,775[/mm]
> daher ist
> [mm](-N_1)*(-N_2)[/mm] = 0,775
> Ich habe aber 0,7567 raus
Da hast du dich wohl verrechnet.
Mit den unten angegebenen Lösungen, gibt es 0,774856.
>
>
> > > Und wie bekomme ich dadurch die Lösung [mm]p_{1,2}[/mm] = 0,8736
> > > [mm]\pm[/mm] j0,112 raus?
> >
> > Hä, wie oft noch ? Löse die Gleichung [mm]z^2-1,74z+0,775=0[/mm]
> >
> > FRED
>
> Ok, mache ich:
>
> [mm]z^2-1,74z+0,775=0[/mm]
>
> [mm]-\bruch{-1,74}{2}[/mm] = 0,87
>
> [mm]\wurzel[2]{(\bruch{1,74}{2})^2-0,775}[/mm] = [mm]\wurzel[2]{-0,0181}[/mm]
> = j0,134
>
> also ist [mm]p_{1,2}[/mm] = 0,87 [mm]\pm[/mm] j0,134
Das ist ok, man könnte nur auf 0,135 runden bzw. 0,1345 angeben.
>
> Die Lösung wurde aber vorgegeben mit
>
> [mm]p_{1,2}[/mm] = 0,8736 [mm]\pm[/mm] j0,112
Auch vorgegebene Lösungen können aus vielerlei Gründen falsch sein.
Verwirren aber oft gründlich.
>
> Demnach ist mindestens eine Lösung hier falsch, oder?
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Do 26.06.2014 | | Autor: | Wertzu |
Vielen Dank für die Hilfe
Damit sind meine Fragen geklärt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 Do 26.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ...
> >
> > Welche Polstellen wurden jetzt berechnet? Ich verstehe das
> > so.
> > Die Polstellen gehören nicht zum Zähler und Nenner,
> > sondern zu der ganzen Funktion.
> Ja, Polstellen gehören zur ganzen Funktion.
> Polstellen sind aber die Nullstellen des Nenners, sofern
> sie nicht auch
> Nullstelle des Zählers sind. Ist eine Nullstelle, sowohl
> Nullstelle des
> Nenners wie auch des Zählers, ist es eine hebbare
> Singularität.
Das ist nicht richtig. Beispiel : [mm] z/z^2
[/mm]
FRED
>
> >
> > > > > Mach Dir, ohne Rechnung, so umgehend wie geschwind klar,
> > > > > dass
> > > > >
> > > > > [mm](z-N_1)(z-N_2)= z^2-1,74z+0,775[/mm]
> > > > >
> > > > > ist
> > > >
> > > > Ok, ich berechne das jetzt mal nach.
> > > >
> > > > [mm]N_{1}[/mm] = [mm]\wurzel[2]{0,87^2+i0,13^2} \approx[/mm] 0,8602
> > > > [mm]N_{2}[/mm] = [mm]\wurzel[2]{0,87^2-i0,13^2} \approx[/mm]
> 0,8797
> > >
> > > Was Du hier treibst ist mir absolut schleierhaft !!!
> >
> > Ich habe hier die Nullstellen als Zahlen dargestellt, um
> > später leichter damit zu rechen.
> Das ist ziemlicher Quatsch. Du hast den Betrag, der
> jeweiligen Zahl
> berechnet. Dann müsste aber für beide Nullstellen
> dasselbe rauskommen.
>
> >
> > > >
> > > > Dann müsste [mm]N_1[/mm] * [mm]N_2[/mm] = 0,775 ergeben
> > > > jedoch kommt bei 0,8602*0,8602 [mm]\approx[/mm] 0,7567
> > raus
> > > >
> >
> > Ich habe [mm]N_1[/mm] und [mm]N_2[/mm] in die Formel [mm](z-N_1)(z-N_2)[/mm]
> > eingefügt und überprüft ob die Nullstellen korrekt
> > sind.
> > Jedoch habe ich nicht [mm]z^2-1,74z+0,775[/mm][/mm] rausbekommen.
> > [mm](z-N_1)(z-N_2)[/mm] = z*z + [mm]z*(-N_2)[/mm] + [mm](-N_1)*z[/mm] +
> [mm](-N_1)*(-N_2)[/mm]
> > = [mm]z^2-1,74z+0,775[/mm]
> > daher ist
> > [mm](-N_1)*(-N_2)[/mm] = 0,775
> > Ich habe aber 0,7567 raus
> Da hast du dich wohl verrechnet.
> Mit den unten angegebenen Lösungen, gibt es 0,774856.
>
> >
> >
> > > > Und wie bekomme ich dadurch die Lösung [mm]p_{1,2}[/mm] = 0,8736
> > > > [mm]\pm[/mm] j0,112 raus?
> > >
> > > Hä, wie oft noch ? Löse die Gleichung [mm]z^2-1,74z+0,775=0[/mm]
> > >
> > > FRED
> >
> > Ok, mache ich:
> >
> > [mm]z^2-1,74z+0,775=0[/mm]
> >
> > [mm]-\bruch{-1,74}{2}[/mm] = 0,87
> >
> > [mm]\wurzel[2]{(\bruch{1,74}{2})^2-0,775}[/mm] = [mm]\wurzel[2]{-0,0181}[/mm]
> > = j0,134
> >
> > also ist [mm]p_{1,2}[/mm] = 0,87 [mm]\pm[/mm] j0,134
> Das ist ok, man könnte nur auf 0,135 runden bzw. 0,1345
> angeben.
>
> >
> > Die Lösung wurde aber vorgegeben mit
> >
> > [mm]p_{1,2}[/mm] = 0,8736 [mm]\pm[/mm] j0,112
> Auch vorgegebene Lösungen können aus vielerlei Gründen
> falsch sein.
> Verwirren aber oft gründlich.
>
> >
> > Demnach ist mindestens eine Lösung hier falsch, oder?
>
> Gruß
> meili
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:41 Fr 27.06.2014 | | Autor: | fred97 |
Nun schaffen wir mal (hoffentlich) Klarheit:
Gegeben seien 2 Polynome $p$ und $q$ und es stellt sich die Frage, was sind die Polstellen der rationalen Funktion
[mm] $r=\bruch{p}{q}$.
[/mm]
Edit: vielleicht sollte ich noch erwähnen, dass ein [mm] $z_0 \in \IC$ [/mm] genau dann ein Pol von $r$ ist, wenn
[mm] $\limes_{z\rightarrow z_0}|r(z)|= \infty$
[/mm]
ist.
Als Polstellen von $r$ kommen nur Nullstellen von $q$ in Frage. Sei [mm] z_0 [/mm] eine solche und sei $m$ ihre Vielfachheit.
Dann gibt es also ein Polynom [mm] q_1 [/mm] mit
[mm] $q_1(z_0) \ne [/mm] 0$ und [mm] q(z)=(z-z_0)^mq_1(z) [/mm] für alle $z [mm] \in \IC$.
[/mm]
Fall 1: [mm] $p(z_0) \ne [/mm] 0$. Dann ist [mm] z_0 [/mm] ein Pol von $r$ der Ordnung $m$.
Fall 2: [mm] p(z_0)=0. [/mm] Sei $n$ die Vielfachheit der Nullstelle [mm] z_0 [/mm] von $p$. Somit gibt es ein Polynom [mm] p_1 [/mm] mit
[mm] $p_1(z_0) \ne [/mm] 0$ und [mm] p(z)=(z-z_0)^np_1(z) [/mm] für alle $z [mm] \in \IC$.
[/mm]
Fall 2:1: $n [mm] \ge [/mm] m$. Dann haben wir:
[mm] $r(z)=\bruch{(z-z_0)^{n-m}p_1(z)}{q_1(z)}$.
[/mm]
[mm] z_0 [/mm] ist also kein Pol von $r$.
Fall 2.2: $n<m$. In diesem Fall ist
[mm] $r(z)=\bruch{p_1(z)}{(z-z_0)^{m-n}q_1(z)}$
[/mm]
und [mm] z_0 [/mm] ist ein Pol von$r$ der Ordnung $m-n$.
FRED
|
|
|
|
