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| Aufgabe | | [mm] f(z)=\bruch{1}{z-0.5}+\bruch{1}{z-2} [/mm] werde auf dem kompakten Rand K des Einheitskreises betrachtet. Man gebe eine Folge rationaler Funktionen, mit gemeinsamer Polstellenmenge [mm] \{0,\infty\} [/mm] an, die auf K gleichmäßig gegen f konvergiert. |
Klar, bei punktweiser Konvergenz habe ich auch gleichmäßige, weil K kompakt. Fehlt nur noch die Folge.
Mir ist nicht klar, warum f als Polstellenmenge [mm] \{0,\infty\} [/mm] hat. So wie ich das sehe, sind die Pole 0.5 und 2. Weshalb ist dann in der Aufgabenstellung von "gemeinsam" die Rede.
Wie kann eine Folge ohne gemeinsame Polstellenmenge, also [mm] \{0.5,2\}, [/mm] überhaupt gegen f konvergieren?!
Hat jemand einen Ansatz für mich, wie ich solch eine Folge konstruieren könnte?
Vielen Dank
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Die Folgenglieder sollen ja die Polstellen 0 und [mm]\infty[/mm] haben. Ich würde sagen, du entwickelst [mm]f[/mm] in eine Laurentreihe um 0 im Kreisringgebiet [mm]\frac{1}{2} < |z| < 2[/mm]. Dieses Gebiet enthält den Rand des Einheitskreises. Dann kannst du aus den Partialsummen der Laurentreihe die gesuchten Folgenglieder gewinnen.
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