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Hallo,
ich habe noch eine Frage zum Thema ausklammern bzw umschreiben von Polynomen.
Ich gebe mal Beispiele, was ich meine:
[mm] n^2-x-2 [/mm] = (x-2)(x+1)
[mm] (x^3+1)=(x+1)(x^2-x+1)
[/mm]
Ich glaube das müsste auf einem Polynomgesetz basieren oder? Aber ich habe mich bisher nicht damit beschäftigen müssen, es scheint mir aber grundlegend zu sein. Bevor ich in der Klausur versuche das durch kombinieren herauszufinden, wäre es vielleicht gut zu wissen, dieses Gesetz zu kennen.
Kann jemand helfen?
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> Hallo,
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> ich habe noch eine Frage zum Thema ausklammern bzw
> umschreiben von Polynomen.
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> Ich gebe mal Beispiele, was ich meine:
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> [mm]x^2-x-2[/mm] = (x-2)(x+1)
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> [mm](x^3+1)=(x+1)(x^2-x+1)[/mm]
>
> Ich glaube das müsste auf einem Polynomgesetz basieren
> oder?
Hallo,
wenn du ein Polynom hast, bei welchem Du festgestellt hast, daß die Zahl a eine Nullstelle ist, dann weißt Du, daß Du (x-a) ausklammern kannst.
Trick: wenn Du Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten hast und einer 1 vor der höchsten Potenz, dann lohnt es sich, zunächst mal schnell alle positiven und negativen Teiler des Gliedes ohne x durchzuprobieren daraufhin, ob vielleicht eine Nullstelle dabei ist.
Schau Dir Deine Polynome an: [mm] p_1(x)= x^2-x-2. [/mm] Hier würde ich jetzt 1,-1 ,2, -2 durchprobieren - und würde prompt fündig.
Beim anderen Polynom ebenfalls. Wenn die Nullstellen ganzzahlig sind klappt das. Wenn sie nicht ganzzahlig sind, dann natürlich nicht.
Gruß v. Angela
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Das heißt zb für
[mm] x^2-x-2, [/mm] dass ich für -2 eine Nullstelle habe? Also kann ich (x-a) ausklammern? Aber das wäre in dem Fall doch (x-(-2)) oder nicht?
Bei [mm] (x^3+1) [/mm] habe ich die Nullstelle ja für -1, aber trotzdem heißt es auch hier nicht (x-1) sondern (x+1). Oder hab ich dich jetzt falsch verstanden?
Gibt es denn einen Trick wie man das, was nach der Ausklammerungsklammer  kommt herausfindet? Oder geht das dann nur durch Ausprobieren?
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> Das heißt zb für
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> [mm]x^2-x-2,[/mm] dass ich für -2 eine Nullstelle habe?
Hallo,
nein, das habe ich Dir nicht versprochen.
Versprochen habe ich Dir folgendes:
1. Wenn es eine Nullstelle gibt, kannst Du sie in der beschriebenen Art und Weise ausklammern.
2. Wenn es eine ganzzahlige Nullstelle gibt, dann findest Du sie unter den Zahlen 1, -1, 2, -2.
Ich habe Dir aber nicht versprochen, daß jede dieser zahlen eine Nullstelle ist, sondern das sind lohnende Testkandidaten.
Ob es Nullstellen sind oder nicht, das muß man nachrechnen.
Aber es ist weniger mühsam, 4 Kandidaten durchzuprobieren, als abzählbar viele.
-2 ist doch gar keine Nullstelle des obigen Polynoms, also kannst Du (x-(-2)) nicht ausklammern.
Bei quadratischen Polynomen ist mein Verfahren nicht so richtig überwältigend, den ndas Lösen v. quadratischen Gleichungen geht schnell und einfach.
Für Polynome höhren Grades ist die geschilderte Methode nicht zu verachten.
Also kann
> ich (x-a) ausklammern? Aber das wäre in dem Fall doch
> (x-(-2)) oder nicht?
>
> Bei [mm](x^3+1)[/mm] habe ich die Nullstelle ja für -1, aber
> trotzdem heißt es auch hier nicht (x-1) sondern (x+1). Oder
> hab ich dich jetzt falsch verstanden?
Na!!! (x-(-1))=(x+1).
>
> Gibt es denn einen Trick wie man das, was nach der
> Ausklammerungsklammer kommt herausfindet?
Das kann man mit z.B. Polynomdivision ausrechnen - ob Du Dich damit heute belasten mußt, weiß ich nicht recht.
Gruß v. Angela
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Okay 
Das verrät aber nicht, wieso [mm] (x^3+1)=(x+1)(x^2-x+1) [/mm] ist, oder doch?
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Hallo Engel,
> Okay
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> Das verrät aber nicht, wieso [mm](x^3+1)=(x+1)(x^2-x+1)[/mm] ist,
> oder doch?
Doch!
Du hast das Polynom [mm] $x^3+1$, [/mm] eine NST (geraten) ist $x=-1$
Polynomdivision durch $(x-(-1))=(x+1)$ liefert
[mm] $(x^3+1):(x+1)=x^2-x+1$
[/mm]
"mal" $(x+1)$
[mm] $\Rightarrow x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$
[/mm]
LG
schachuzipus
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