Polynom < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 Di 24.11.2009 | | Autor: | v0nny |
| Aufgabe | Sei q ein Polynom mit reellen Koeffizienten [mm] \in a_i \IR, [/mm] also q(x)= [mm] x^n+a_1 x^{n-1} [/mm] + [mm] ....+a_{n-1}x+a_n
[/mm]
Zeigen Sie, dass es [mm] x_i, b_i, c_i \in \IR [/mm] gibt, so dass
[mm] q(x)=(x-x_1)....(x-x_k)((x-b_1)^2+c_1^2)....((x-b_l)^2+c_l^2) [/mm] |
Hey Leute,
kann mir vllt jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Ich weiß hier mal gar nicht was ich machen soll bzw. wie ich hier etwas zeigen soll!!
Kann mir vllt jemand die aufgabe erklären?
danke
|
|
| |
|
> Sei q ein Polynom mit reellen Koeffizienten [mm]\in a_i \IR,[/mm]
> also q(x)= [mm]x^n+a_1 x^{n-1}[/mm] + [mm]....+a_{n-1}x+a_n[/mm]
> Zeigen Sie, dass es [mm]x_i, b_i, c_i \in \IR[/mm] gibt, so dass
>
> [mm]q(x)=(x-x_1)....(x-x_k)((x-b_1)^2+c_1^2)....((x-b_l)^2+c_l^2)[/mm]
> Hey Leute,
>
> kann mir vllt jemand bei dieser Aufgabe helfen?
> Ich weiß hier mal gar nicht was ich machen soll bzw. wie
> ich hier etwas zeigen soll!!
> Kann mir vllt jemand die aufgabe erklären?
>
> danke
Hallo v0nny,
wie man dies im Einzelnen bewerkstelligt, sehe ich
auch erst zum Teil, aber ich kann kurz schildern,
worum es hier grundsätzlich geht. Ich nehme einmal
an, dass dir die Polynomdivision bekannt ist und dass
du schon weisst: Wenn das Polynom q(x) die Null-
stelle [mm] x_1 [/mm] hat, so gilt [mm] q(x)=(x-x_1)*r(x), [/mm] wobei r(x)
ein Polynom vom Grad n-1 ist.
Hat q(x) die reellen Nullstellen [mm] x_1, x_2, [/mm] ... , [mm] x_k,
[/mm]
(einzelne davon dürften auch mehrfach dastehen),
kann man zu jeder davon einen Linearfaktor aus-
klammern. Am Schluss bleibt so ein Polynom r(x)
vom Grad n-k übrig, das keine reelle Nullstelle
mehr hat. Der schwierigere Teil des Beweises wird
darin bestehen, zu zeigen, dass dieses Polynom
(falls es überhaupt einen Grad [mm] \ge [/mm] 2 hat) in Faktoren
der Form [mm] ((x-b_i)^2+c_i^2) [/mm] zerlegt werden kann.
Du stellst die Aufgabe in die Rubrik "reelle Analysis".
Solltest du aber eventuell auch schon den "Funda-
mentalsatz" der Algebra im Komplexen kennen,
gäbe es einen ziemlich einfachen Lösungsweg.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:32 Mi 25.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen!
diese Frage wurde auch schon hier diskutiert.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo v0nny,
Al hat in fast allem Recht (und das auch noch so gut wie immer. Ich gehöre zu seinen ganz persönlichen Neidern  ).
Hier sehe ich allerdings ein Problem in der zu beweisenden Aussage. In [mm] \IR [/mm] hat kein Polynom ![[]](/images/popup.gif) irreduzible Faktoren mit einem Grad >2. Al verweist sogar auf [mm] \IC, [/mm] aber da gibt es keine Faktoren mit einem Grad >1. Die zu beweisende Aussage würde also nur dann nicht stimmen, wenn es auch irreduzible Faktoren vom Grad 3 gäbe, was immerhin möglich ist (nämlich dann, wenn ein solche Faktor keine Nullstelle besitzt). Dann aber würden wir uns offenbar weder in [mm] \IR [/mm] noch in [mm] \IC [/mm] bewegen.
Die Darstellung der quadratischen Faktoren bereitet mir allerdings Kopfzerbrechen. Wenn das eine Vereinfachung sein soll, sehe ich nicht, worin sie besteht.
lg
reverend
|
|
|
| |
|
> Die Darstellung der quadratischen Faktoren bereitet mir
> allerdings Kopfzerbrechen. Wenn das eine Vereinfachung sein
> soll, sehe ich nicht, worin sie besteht.
>
> lg
> reverend
Hallo,
eine Vereinfachung ist es kaum, aber die Darstellungs-
weise (als Quadratsumme) soll wohl einem gewissen
Zweck dienen.
Da im gegebenen Polynom q(x) das [mm] x^n [/mm] mit dem Faktor 1
auftritt, kann man natürlich alle linearen Faktoren in
der Form [mm] (x-x_k) [/mm] und alle quadratischen in der Form
[mm] (x^2-a_i*x-d_i) [/mm] schreiben. Einen solchen quadratischen
Term kann man folgendermaßen zerlegen:
$\ [mm] x^2-a_i*x-d_i\ [/mm] =\ [mm] (x-\underbrace{\frac{a_i}{2}}_{b_i})^2\underbrace{-\,\frac{a_i^{\,2}}{4}-d_i}_{g_i}\ [/mm] =\ [mm] (x-b_i)^2+g_i$
[/mm]
Wäre nun [mm] g_i=0 [/mm] oder [mm] g_i<0 [/mm] , so könnte man den quadratischen
Term [mm] x^2-a_i*x-d_i [/mm] in lineare Faktoren zerlegen.
(3. binomische Formel). Für jeden nicht faktorisier-
baren quadratischen Term ist also [mm] g_i>0 [/mm] und kann deshalb
als Quadrat geschrieben werden: [mm] g_i=c_i^{\,2} [/mm] .
LG Al-Chw.
|
|
|
|
