Polynom als Matrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei p(x, y) = 5x² + 2y² + 4xy
a) Geben Sie die Matrixdarstellung von p an.
b) Mit welcher Basis ist p reinquadratisch? |
Liebe User,
schon wieder bin ich überfragt. Was genau man eigentlich machen sollte, hab ich kapiert. Aber ich habe nur gesehen, dass man "normale" Polynome in eine Vandermonde Matrix bringen kann. Sprich : Ich kann p = 1 + [mm] a_{0}x [/mm] + [mm] a_{1} [/mm] x² etc. in eine solche Matrix geschickt umformen.
Aber was mache ich denn nun, wenn mein Polynom noch eine Veränderliche mehr enthält ?
Soll ich da so tun, als wär a = y*4 ?
@angela : Ich hab mal über dieses Learning-By-Doing recherchiert und es trifft voll und ganz auf mich zu!
Dennoch muss ich gestehen, dass ich eigentlich auch viel zu viel am Lernen bin, sodass ich eher so ein Remix bin.
Und wenn Du sagst, Du denkst langsam - dann wünsche ich mir, ich könnte genauso langsam denken !!! Denn Du hast einiges drauf !!
Kann mir jemand einen Tipp geben ?
LG,
Denis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:59 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Nicodemus |
Hallo KGB-Spion,
es gibt keine eindeutige ZUordnung zwischen Polynomen und Matrizen. Ich vermute daher, dass du die Darstellung einer quadratischen Form mittels Matrizen meinst. Ist das deine Frage????
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> Es sei p(x, y) = 5x² + 2y² + 4xy
> a) Geben Sie die Matrixdarstellung von p an.
> b) Mit welcher Basis ist p reinquadratisch?
Hallo,
ich vermute wie Nikodemus, daß Du p(x,y) schreiben sollst als
p(x,y)= [mm] (x,y)*A*\vektor{x\\y}, [/mm] wobei A eine 2x2-Matrix ist.
Was mit "reinquadratisch" gemeint ist, weiß ich nicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 So 04.01.2009 | | Autor: | KGB-Spion |
Liebe user,
nachdem ich wieder daheim bin hab ich alles gelesen und JA : Es war die Darstellung von Angela h.b. gemeint !
Ich habe da einiges gerechnet. .. darf ich es ins Netz stellen damit ihr es mal anschaut ?
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Hallo KGB-Spion,
> Es sei p(x, y) = 5x² + 2y² + 4xy
> a) Geben Sie die Matrixdarstellung von p an.
> b) Mit welcher Basis ist p reinquadratisch?
> Liebe User,
>
> schon wieder bin ich überfragt. Was genau man eigentlich
> machen sollte, hab ich kapiert. Aber ich habe nur gesehen,
> dass man "normale" Polynome in eine Vandermonde Matrix
> bringen kann. Sprich : Ich kann p = 1 + [mm]a_{0}x[/mm] + [mm]a_{1}[/mm] x²
> etc. in eine solche Matrix geschickt umformen.
>
> Aber was mache ich denn nun, wenn mein Polynom noch eine
> Veränderliche mehr enthält ?
>
> Soll ich da so tun, als wär a = y*4 ?
>
> @angela : Ich hab mal über dieses Learning-By-Doing
> recherchiert und es trifft voll und ganz auf mich zu!
> Dennoch muss ich gestehen, dass ich eigentlich auch viel zu
> viel am Lernen bin, sodass ich eher so ein Remix bin.
> Und wenn Du sagst, Du denkst langsam - dann wünsche ich
> mir, ich könnte genauso langsam denken !!! Denn Du hast
> einiges drauf !!
>
> Kann mir jemand einen Tipp geben ?
Wenn Du Aufgabe a) gelöst hast, dann mußt in b) so eine Basis finden,
in der sich das Polynom als Summe von Quadraten schreiben läßt.
Nach a) gilt dann:
[mm]p\left(x,y\right)=\pmat{x,y}*A*\pmat{x \\ y}[/mm]
Nun mußt Du in b) so eine Matrix T finden, daß gilt:
[mm]p(\tilde{x}, \tilde{y})=a*\tilde{x}^{2}+b*\tilde{y}^{2}[/mm]
mit
[mm]\pmat{x \\ y}=T*\pmat{\tilde{x} \\ \tilde{y}}[/mm]
>
> LG,
>
> Denis
Gruß
MathePowr
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 So 04.01.2009 | | Autor: | KGB-Spion |
Hi, erstmal DANKE !
Ich habe ne Idee ´- dass was Du meinst kann man dich mit der Diagonalmatrix machen oder ?
Bitte schau mal die Rechnung an, welche ich poste OK ?
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Hier sind schonmal meine Lösungen . .. stimmt es so ? Kann mir jemand da bescheidgeben ?
a)
[Dateianhang nicht öffentlich]
b)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Beste Grüße,
Denis
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo KGB-Spion,
> Hier sind schonmal meine Lösungen . .. stimmt es so ? Kann
> mir jemand da bescheidgeben ?
>
> a)
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> b)
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Beste Grüße,
Wir haben
[mm]p\left(x,y\right)=\left(x,y\right)*A*\pmat{x \\ y}[/mm]
Lassen wir jetzt die Transformation
[mm]\pmat{x \\ y\right}=T*\pmat{\tilde{x} \\ \tilde{y}}[/mm]
( T ist bei Dir [mm]S^{-1}[/mm] )
darauf los, dann steht da:
[mm]p\left(\tilde{x},\tilde{y}\right)=\left(\tilde{x},\tilde{y}\right)T^{t}*A*T*\pmat{\tilde{x} \\ \tilde{y}}[/mm]
Die neue Matrix lautet demnach
[mm]\tilde{A}=T^{t}AT[/mm]
>
> Denis
Gruß
MathePower
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Liebe User,
Ich habe nun bei der b) sowas stehen :
http://www.abload.de/image.php?img=dsc00030xpen.jpg
Und wie berechne ich diese "Multiplikation" um zu sehen, was die Matrix ergibt ?
@ MathePower
Deine Methode versteh ich doch nicht ganz : Was genau ist den nun diese neue Matrix ? Wie kann man daraus schließen, ob das Polynom reinquadratisch ist ? Du hast es verstanden, kannst Du es mir aber etwas detaillierter nahelegen ? BITTE !
BG,
Denis
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Hallo KGB-Spion,
> Liebe User,
>
> Ich habe nun bei der b) sowas stehen :
>
> http://www.abload.de/image.php?img=dsc00030xpen.jpg
>
> Und wie berechne ich diese "Multiplikation" um zu sehen,
> was die Matrix ergibt ?
So: [mm]SAS^{-1}=S*\left(A*S^{-1}\right)[/mm]
>
> @ MathePower
>
> Deine Methode versteh ich doch nicht ganz : Was genau ist
> den nun diese neue Matrix ? Wie kann man daraus schließen,
> ob das Polynom reinquadratisch ist ? Du hast es verstanden,
> kannst Du es mir aber etwas detaillierter nahelegen ? BITTE
> !
[mm]p\left(x,y\right)[/mm] schreibt sich ja so:
[mm]p\left(x,y\right)=\pmat{x & y}A\pmat{x \\ y}[/mm]
Mit der Definition [mm]z=\pmat{x \\ y}[/mm] schreibt sich das auch so:
[mm]p\left(z\right)=z^{t}Az[/mm]
,wobei [mm]z^{t}[/mm] die Transponierte zu z ist.
Nun Du hast Dir eine Matrix S,
die aus Eigenvektoren besteht, gebastelt.
Somit haben wir eine Transformation S:
[mm]z=\pmat{x \\ y}=S*\pmat{\tilde{x} \\ \tilde{y}}=S*\tilde{z}[/mm]
Dann ergibt sich:
[mm]p\left(\tilde{z}\right)=\left(S*\tilde{z}\right)^{t}*A*\left(S*\tilde{z}\right)[/mm]
Da [mm]\left(S*\tilde{z}\right)^{t}=\tilde{z}^{t}*S^{t}[/mm] ist nun
[mm]p\left(\tilde{z}\right)=\left(S*\tilde{z}\right)^{t}*A*\left(S*\tilde{z}\right)=\tilde{z}^{t}*S^{t}*A*S*\tilde{z}[/mm]
Die Matrix [mm]S^{t}*A*S[/mm] ist nun eine Diagonalmatrix,
weil S eine Matrix ist, die nur aus Eigenvektoren besteht.
>
>
> BG,
>
> Denis
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:41 Mo 05.01.2009 | | Autor: | KGB-Spion |
Aha - OK DANKE !!!
BG,
Denis
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