Polynom ansetzen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Do 03.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Hallo, ich habe eine kurze Frage.
Ich komme bei einem Schritt nicht weiter bzw. verstehe ihn nicht: Es geht um Folgendes:
[mm] t^2y_2''-ty_2'+y_2=0 [/mm]
Gesucht ist eine Lösung für [mm] y_2.
[/mm]
Im Skript steht hierzu:
"Es ist naheliegend, [mm] y_2(t) [/mm] als Polynom anzusetzen, da ja immer mit derselben t-Potenz multipliziert wird mit der auch abgeleitet wird. Konstante Polynome sind außer Null nicht möglich, also schauen wir, was mit [mm] y_2=at+b [/mm] ist."
Als Zusatzinfo sollte ich noch sagen, dass es im Ganzen um das Reduktionsverfahren von Alembert geht. Das ist aber glaube ich zweitrangig hier, mich macht nur dieses Ansetzen der Lösung als Polynom stutzig und verstehe es nicht. |
Vielleicht kann mir das jemand erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Do 03.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich habe eine kurze Frage.
> Ich komme bei einem Schritt nicht weiter bzw. verstehe ihn
> nicht: Es geht um Folgendes:
>
> [mm]t^2y_2''-ty_2'+y_2=0[/mm]
>
> Gesucht ist eine Lösung für [mm]y_2.[/mm]
Nur eine ? Oder die allgemeine Lösung der DGL ?
>
> Im Skript steht hierzu:
>
> "Es ist naheliegend, [mm]y_2(t)[/mm] als Polynom anzusetzen, da ja
> immer mit derselben t-Potenz multipliziert wird mit der
> auch abgeleitet wird. Konstante Polynome sind außer Null
> nicht möglich, also schauen wir, was mit [mm]y_2=at+b[/mm] ist."
Na prima, wenn nur eine Lösung gesucht ist, so findest Du mit obigem Ansatz sehr rasch eine.
Die allgemeine Lösung findest Du mit diesem Ansatz nicht !
Wenn Du die Substitution [mm] t=e^s [/mm] vornimmst und setzt [mm] u(s)=y_2(e^s), [/mm] so führt das auf eine lineare Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeff. für u, allerdings nur für s>0
FRED
>
>
> Als Zusatzinfo sollte ich noch sagen, dass es im Ganzen um
> das Reduktionsverfahren von Alembert geht. Das ist aber
> glaube ich zweitrangig hier, mich macht nur dieses Ansetzen
> der Lösung als Polynom stutzig und verstehe es nicht.
>
> Vielleicht kann mir das jemand erklären?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Do 03.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Es geht auch nicht darum, die allgemeine Lösung zu finden, sondern darum, erstmal eine Lösung zu finden, die von Null verschieden ist - und mit dieser dann das Reduktionsverfahren von Alembert starten zu können um die restlichen Lösungen zu ermitteln. |
Meine Frage war ja aber gerade, wieso das mit dem Polynom gemacht wird, Du hast nur geschrieben, dass es funktioniert...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Do 03.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es geht auch nicht darum, die allgemeine Lösung zu finden,
> sondern darum, erstmal eine Lösung zu finden, die von Null
> verschieden ist - und mit dieser dann das
> Reduktionsverfahren von Alembert starten zu können um die
> restlichen Lösungen zu ermitteln.
> Meine Frage war ja aber gerade, wieso das mit dem Polynom
> gemacht wird,
Das ist doch naheliegend ! Schau Dir die DGL doch mal an !
Das
"Es ist naheliegend, $ [mm] y_2(t) [/mm] $ als Polynom anzusetzen, da ja immer mit derselben t-Potenz multipliziert wird mit der auch abgeleitet wird."
hast Du doch selbst zitiert !!
FRED
> Du hast nur geschrieben, dass es
> funktioniert...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Do 03.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ja, ich habe es zitiert, weil es für mich leider nicht naheliegend ist...
Ich suche nach einer Erklärung. |
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Do 03.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Stell Dir mal vor [mm] y_2 [/mm] ist ein Polynom vom Grade n . Dann ist [mm] y_2' [/mm] ein Polynom vom Grade n-1 und [mm] y_2'' [/mm] ist ein Polynom vom Grade n-2.
Welchen Grad hat dann die Polynome
[mm] $t^2y_2''$ [/mm] und [mm] $-ty_2'$ [/mm] ?
Bingo ! Sie haben ebenfalls den Grad n. Ist Dir nun klar, warum ein Polynomansatz naheliegend ist ?
Wenn ja: man möchte sich (wie immer ) das Leben leicht machen, also macht man einen Ansatz mit einem Polynom von möglicht kleinem Grad.
Grad = 0: Dann wäre das Polynom konstant. Aber die einzige konstante Funktion, welche die DGL
$ [mm] t^2y_2''-ty_2'+y_2=0 [/mm] $
löst, ist: [mm] y_2 \equiv [/mm] 0. An dieser Lösung bist Du aber nicht interessiert. Oder doch ? Da es um d'Alembert geht, wohl kaum.
Also probiert man es mit Grad = 1. So , und das mach jetzt mal.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Do 03.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ein bisschen klarer ist es mir geworden. Aber noch nicht ganz.
Ich verstehe einfach nicht, wieso in der Lösung steht:
"Dann ist [mm] t^2y_2''(t)-ty_2'(t)+y_2(t)=-at+at+b=b, [/mm] also ist y(t)=t."
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Do 03.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ein bisschen klarer ist es mir geworden. Aber noch nicht
> ganz.
>
> Ich verstehe einfach nicht, wieso in der Lösung steht:
>
> "Dann ist [mm]t^2y_2''(t)-ty_2'(t)+y_2(t)=-at+at+b=b,[/mm]
Das dürfte noch klar sein.
> also ist y(t)=t."
Kein Wunder , dass Du Probleme hast, denn das ist nicht zwingend . Jede Funktion der Form
y(t)=at
ist eine Lösung.
FRED
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