Polynom deg=n durch z^n absch. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $P(x) := [mm] \sum_{k=0}^{n}a_{k}*x^{k}\in \IC[x]$ [/mm] ein Polynom mit [mm] $a_{n}\not= [/mm] 0$. Zeige: Es gibt ein reelles L > 0 so, dass für alle [mm] $z\in\IC$ [/mm] mit $|z| [mm] \ge [/mm] L$ gilt:
[mm] $\frac{|a_{n}*z^{n}|}{2} \le [/mm] |P(z)| [mm] \le 2*|a_{n}*z^{n}|$. [/mm] |
Hallo!
Zu obiger Fragestellung habe ich mir zunächst folgendes gedacht:
$|P(z)| = [mm] \left|\sum_{k=0}^{n}a_{k}*z^{k}\right| \le \left|\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}*z^{k}\right| [/mm] + [mm] |a_{n}*z^{n}| \red{\le} 2*|a_{n}*z^{n}|$, [/mm] genau dann wenn [mm] $\left|\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}*z^{k}\right| \le |a_{n}*z^{n}|$.
[/mm]
$|P(z)| = [mm] \left|\sum_{k=0}^{n}a_{k}*z^{k}\right| \ge |a_{n}*z^{n}| [/mm] - [mm] \left|\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}*z^{k}\right| \red{\ge} \frac{1}{2}*|a_{n}*z^{n}|$, [/mm] genau dann wenn [mm] $\left|\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}*z^{k}\right| \le \frac{1}{2}*|a_{n}*z^{n}|$.
[/mm]
--> D.h. insgesamt müsste ich nur ein $L> 0$ finden, so dass für $|z| [mm] \ge [/mm] L$ gilt: [mm] $\sum_{k=0}^{n-1}|a_{k}*z^{k}| \le \frac{1}{2}*|a_{n}*z^{n}|$, [/mm] dann wäre ich fertig. Stimmt das?
Für k = 0,...,n-1 gilt [mm] $|a_{k}*z^{k}| \le \frac{1}{2*n}*|a_{n}*z^{n}|$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $2*n*\frac{|a_{k}|}{|a_{n}|} \le |z|^{n-k}$ [/mm] bzw. [mm] $\sqrt[n-k]{2*n*\frac{|a_{k}|}{|a_{n}|}} \le [/mm] |z|$.
Das bedeutet, obige Ungleichungen dürften alle aufgehen, wenn $L := [mm] \max_{k\in\{0,...,n-1\}}\left(\sqrt[n-k]{2*n*\frac{|a_{k}|}{|a_{n}|}}\right)$ [/mm] gewählt wird...
Würde das so gehen (Also das, was ich in dieser Skizze als Beweis andeute)?
Gibt es noch eine elegantere Möglichkeit? Das sieht bei mir irgendwie nach ein bisschen Rumwurschteln aus  - ich darf aber nur elementare Sachen benutzen.
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 So 25.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Würde das so gehen (Also das, was ich in dieser Skizze als
> Beweis andeute)?
Ja, sieht gut aus.
> Gibt es noch eine elegantere Möglichkeit? Das sieht bei
> mir irgendwie nach ein bisschen Rumwurschteln aus - ich
> darf aber nur elementare Sachen benutzen.
Es ist immer eine schäbige Abschätzung. Man kann es vielleicht etwas geschickter machen - aber du hast ja eine gute und saubere Lösung (imo ist das ein Beweis und keine Skizze mehr).
SEcki
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Hallo SEcki,
dann danke für deine Antwort!
Grüße,
Stefan
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