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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Dnake |
| Aufgabe | Ein Polynom vierten Grades besitzt bei x = 1 eine Nullstelle und weist bei x = 0 und x = 2 zwei gleich hohe Maxima auf. Außerdem geht die Kurve durch den Punkt (1; 4).
Wie lautet die Funktionsgleichung des Polynoms?
Hinweis: Machen Sie für das Polynom den Ansatz
f(x) = [mm] ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
[/mm]
und formen Sie die oben angegebenen Eigenschaften des Polynoms in Bestimmungsgleichungen für die Unbekannten a, b, c, d und e um.
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Hallo,
habe das mal durchgerechnet, das Ergebnis sieht zwar "hübsch" aus, aber die Probe funktioniert nicht.
Also hier meine Rechnung:
Ableitungen:
f´(x)= [mm] 4ax^3+3bx^2+2cx+d
[/mm]
[mm] f´´(x)=12ax^2+6bx+2c
[/mm]
I.f(-1)=0 -> a-b+c-d+e=0
II.f´(0)=0 -> d=0
[mm] III.f´(2)=0 -> 4a2^3 [/mm] + [mm] 2b2^2 [/mm] + 2c2 + d = 0
32a + 12b + 4c = 0
IV [mm] f(1)=4 -> a1^4 [/mm] + [mm] b1^3 [/mm] + [mm] c1^2 [/mm] + e = 4
a + b + c + e = 4
V f(0) = f(2) -> e = 16a + 8b + 4c + e
16a + 8b +4c =0
I = II : a-b+c+e=a+b+c+e-4
-2b = - 4
b= 2
III = V 32a + 24 + 4c = 16a + 16 + 4c
16a = -8
a = -1/2
V 16a + 16 +4c =0
-8 + 16 +4c = 0
c = -2
I a b +c +e = 0
-1/2 2 + (-2) + e =0
e= ½
Gesuchter Polynom: f(x) = [mm] -1/2x^4 [/mm] + [mm] 2x^3 -2x^2 [/mm] + ½
Probe: mit dem Ansatz aus IV
a+b+c+e=4
-1/2 + 2 -2 + 1/2 =4
0=4 (!?)
Weiss jemand Rat wo der Fehler liegt?
Danke schonmal!
Gruß
jan
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Hi, Dnake,
> Ein Polynom vierten Grades besitzt bei x = 1 eine
> Nullstelle und weist bei x = 0 und x = 2 zwei gleich hohe
> Maxima auf. Außerdem geht die Kurve durch den Punkt (1; 4).
> Wie lautet die Funktionsgleichung des Polynoms?
>
> Hinweis: Machen Sie für das Polynom den Ansatz
>
> f(x) = [mm]ax^4+bx^3+cx^2+dx+e[/mm]
>
> und formen Sie die oben angegebenen Eigenschaften des
> Polynoms in Bestimmungsgleichungen für die Unbekannten a, b, c, d und e um.
>
> Hallo,
>
> habe das mal durchgerechnet, das Ergebnis sieht zwar
> "hübsch" aus, aber die Probe funktioniert nicht.
>
> Also hier meine Rechnung:
>
> Ableitungen:
>
> f´(x)= [mm]4ax^3+3bx^2+2cx+d[/mm]
> [mm]f´´(x)=12ax^2+6bx+2c[/mm]
>
>
> I.f(-1)=0 -> a-b+c-d+e=0
> II.f´(0)=0 -> d=0
> [mm]III.f´(2)=0 -> 4a2^3[/mm] + [mm]2b2^2[/mm] + 2c2 + d = 0
Da steckt ein Fehler drin:
[mm] 4a2^3[/mm] [/mm] + [mm]\red{3}b2^2[/mm] + 2c2 + d = 0
> 32a + 12b + 4c = 0
Oh! Aber hier is' doch wieder OK!
> IV [mm]f(1)=4 -> a1^4[/mm] + [mm]b1^3[/mm] + [mm]c1^2[/mm] + e = 4
> a + b + c + e = 4
> V f(0) = f(2) -> e = 16a + 8b + 4c + e
> 16a + 8b +4c =0
>
> I = II : a-b+c+e=a+b+c+e-4
> -2b = - 4
> b= 2
>
> III = V 32a + 24 + 4c = 16a + 16 + 4c
> 16a = -8
> a = -1/2
>
>
> V 16a + 16 +4c =0
> -8 + 16 +4c = 0
> c = -2
>
> I a b +c +e = 0
> -1/2 2 + (-2) + e =0
> e= ½
Aber hier ist's jetzt wirklich falsch: e = [mm] \bruch{9}{2} [/mm] = 4,5
>
> Gesuchter Polynom: f(x) = [mm]-1/2x^4[/mm] + [mm]2x^3 -2x^2[/mm] + ½
>
> Probe: mit dem Ansatz aus IV
>
> a+b+c+e=4
> -1/2 + 2 -2 + 1/2 =4
>
> 0=4 (!?)
Wenn Du hier e = 4,5 einsetzt, stimmt die Probe!
mfG!
Zwerglein
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