Polynom im Exp. = Exp.-Fkt.? < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich bin mir etwas unsicher, was ganz genau eine Exponentialfunktion ist.
Beispiele:
Wenn ich statt einer einfachen Variable ein Polynom p(n) im Exponenten habe, ist die Funktion dann auch eine Exponentialfunktion?
[mm] f(n)=2^{p(n)}, [/mm] z. B. [mm] f(n)=2^{4n^{5}-7n^{3}} [/mm] => Exponentialfunktion?
Wenn ich eine Kombination aus Polynom und Logarithmus im Exponenten habe, ist es dann auch noch eine Exp-Fkt?
[mm] f(n)=2^{n*log n} [/mm] oder [mm] f(n)=2^{n + log n} [/mm] oder [mm] f(n)=2^{n * log n - n} [/mm] => Exponentialfunktionen?
Wenn ich vor der Basis keinen konstanten Faktor habe, sondern eine Variable als Faktor, ist es dann noch eine Exp-Fkt?
[mm] f(n)=n*2^{n} [/mm] => Exponentialfunktion?
Oder sind Exponentialfunktionen wirklich nur der Form f(n) = [mm] c_{1}2^{c_{2}n}, [/mm] also eine einfache Variable im Exponent mit maximal einem konstanten Vorfaktor im Exponenten und vor der Basis?
Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 So 26.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
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> Ich bin mir etwas unsicher, was ganz genau eine
> Exponentialfunktion ist.
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> Beispiele:
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> Wenn ich statt einer einfachen Variable ein Polynom p(n) im
> Exponenten habe, ist die Funktion dann auch eine
> Exponentialfunktion?
> [mm]f(n)=2^{p(n)},[/mm] z. B. [mm]f(n)=2^{4n^{5}-7n^{3}}[/mm] =>
> Exponentialfunktion?
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> Wenn ich eine Kombination aus Polynom und Logarithmus im
> Exponenten habe, ist es dann auch noch eine Exp-Fkt?
> [mm]f(n)=2^{n*log n}[/mm] oder [mm]f(n)=2^{n + log n}[/mm] oder [mm]f(n)=2^{n * log n - n}[/mm]
> => Exponentialfunktionen?
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> Wenn ich vor der Basis keinen konstanten Faktor habe,
> sondern eine Variable als Faktor, ist es dann noch eine
> Exp-Fkt?
> [mm]f(n)=n*2^{n}[/mm] => Exponentialfunktion?
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> Oder sind Exponentialfunktionen wirklich nur der Form f(n)
> = [mm]c_{1}2^{c_{2}n},[/mm] also eine einfache Variable im Exponent
> mit maximal einem konstanten Vorfaktor im Exponenten und
> vor der Basis?
man kann sich ein wenig auf den Standpunkt stellen, dass das ein wenig Definitionssache ist, welche Funktionen man als Exponentialfunktionen bezeichnen will. Für mich gibt's erstmal "nur eine wahre": Nämlich [mm] $\exp(.): \IR \to (0,\infty)$ [/mm] (oder auch [mm] $\exp(.): \IC \to \IC$.) [/mm] Weil irgendwie alles andere eigentlich in Zusammenhang mit dieser gebracht werden kann.
Aber
$$x [mm] \mapsto 2^{4x^5-7x^3}$$
[/mm]
wäre in meinen Augen generell keine Exponentialfunktion - sondern eine Hintereinanderausführung "Exponentialfunktion nach Polynom". (Schreibe einfach [mm] $2=e^{\ln(2)}$ [/mm] und wende gewisse Rechenregeln für Potenzen an, dann siehst Du, was ich meine!)
Generell kenne ich es so, dass man etwa in der Schule üblicherweise, wie auch ![[]](/images/popup.gif) hier, Funktionen der Bauart
[mm] $$f(x)=c*a^{b*x}$$
[/mm]
mit gewissen Voraussetzungen an [mm] $a\,,$ [/mm] als Exponentialfunktionen bezeichnet. Diese lassen sich dann aber wiederum schreiben als
[mm] $$f(x)=\exp(\ln(c)+b*x*\ln(a))\,,$$
[/mm]
also könnte man genauso sagen, dass solche Funktionen quasi Exponentialfunktionen sind:
"Exponentialfunktion nach "(affin)linearer Funktion"."
Gruß,
Marcel
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Vielleicht sollte ich etwas konkreter werden.
Ins Zweifeln über mein Verständnis von Exp.-Funktionen bin ich durch die Stirling-Formel zur näherungsweisen Berechnung der Fakultätsfunktion gekommen. Ich fand es komisch, dass sich die Fakultät in etwa durch [mm] \wurzel{2\pi n}*(\bruch{n}{e})^{n} [/mm] berechnen lassen soll. Denn stelle ich dies um, so kommt [mm] \wurzel{2\pi n}*2^{n*LOG(n) - n*LOG(e)} [/mm] heraus. Dies habe ich bisher allerdings für eine Exp.-Funktion gehalten.
Hier kam ich allerdings ins Stocken, da ich dachte, die Fakultätsfkt. würde schneller als jede Exp.-Funktion wachsen. Wie kann man dann also - wenn auch näherungsweise - die Fakultät über eine Exp.-Funktion berechnen?
Und daran angeschlossen: Wächst die Fakultätsfunktion nun exponentiell oder superexponentiell?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:16 Mo 27.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielleicht sollte ich etwas konkreter werden.
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> Ins Zweifeln über mein Verständnis von Exp.-Funktionen
> bin ich durch die Stirling-Formel zur näherungsweisen
> Berechnung der Fakultätsfunktion gekommen. Ich fand es
> komisch, dass sich die Fakultät in etwa durch [mm]\wurzel{2\pi n}*(\bruch{n}{e})^{n}[/mm]
> berechnen lassen soll. Denn stelle ich dies um, so kommt
> [mm]\wurzel{2\pi n}*2^{n*LOG(n) - n*LOG(e)}[/mm] heraus. Dies habe
> ich bisher allerdings für eine Exp.-Funktion gehalten.
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> Hier kam ich allerdings ins Stocken, da ich dachte, die
> Fakultätsfkt. würde schneller als jede Exp.-Funktion
> wachsen. Wie kann man dann also - wenn auch näherungsweise
> - die Fakultät über eine Exp.-Funktion berechnen?
>
> Und daran angeschlossen: Wächst die Fakultätsfunktion nun
> exponentiell oder superexponentiell?
naja, wenn Deine Umformung stimmt und da $... [mm] 2^{n LOG(n)-...}$ [/mm] steht, dann siehst Du doch, dass das keine Exponentialfunktion ist - jedenfalls nicht, wenn man solche als Funktionen der Form
$$x [mm] \mapsto c*a^{bx}$$
[/mm]
auffasst, was, denke ich, auch üblich ist. Was das Wachstumsverhalten betrifft:
Schau' Dir mal die Bedeutung der Landau-Symbole an, und generell:
Gammafunktion und Stirling-Formel.
Aber besser:
Im Artikel Landau-Notation unter den Beispielen nach "Stirling" suchen!
Siehe auch etwa hier!
Gruß,
Marcel
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Ich habe mich die letzten Tage noch etwas damit beschäftigt. Nun ist es etwas klarer für mich geworden, danke.
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