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Forum "Algebra" - Polynom irreduzibel
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Polynom irreduzibel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:00 So 28.11.2010
Autor: jacob17

Aufgabe
Hallo zusammen.
Habe folgendes Polynom in Q[X] gegeben:
[mm] (x-1)^2(x-2)^2.......(X-n)^2+1 [/mm]
Nun frage ich mich ob dieses Polynom irreduzibel ist.
Angenommen die 1 stünde nicht da so wäre dieses Polynom doch reduzibel über Q? Wie kann man aber nun beweisen dass das Polynom irreduzibel ist? Wäre Induktion sinnvoll?

Hallo zusammen.
Habe folgendes Polynom in Q[X] gegeben:
[mm] (x-1)^2(x-2)^2.......(X-n)^2+1 [/mm]
Nun frage ich mich ob dieses Polynom irreduzibel ist.
Angenommen die 1 stünde nicht da so wäre dieses Polynom doch reduzibel über Q? Wie kann man aber nun beweisen dass das Polynom irreduzibel ist? Wäre Induktion sinnvoll?

        
Bezug
Polynom irreduzibel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:29 So 28.11.2010
Autor: felixf

Moin!

> Hallo zusammen.
>  Habe folgendes Polynom in Q[X] gegeben:
>  [mm](x-1)^2(x-2)^2.......(X-n)^2+1[/mm]
> Nun frage ich mich ob dieses Polynom irreduzibel ist.
> Angenommen die 1 stünde nicht da so wäre dieses Polynom
> doch reduzibel über Q? Wie kann man aber nun beweisen dass
> das Polynom irreduzibel ist? Wäre Induktion sinnvoll?

Induktion ist nicht sinnvoll. Aber wie waer's mit folgendem Ansatz?

Sei $n$ fest. Setze $f := [mm] \prod_{i=1}^n [/mm] (x - [mm] i)^2 [/mm] + 1$. Es reicht zu zeigen, dass $f$ ueber [mm] $\IZ$ [/mm] irreduzibel ist.

Angenommen, es ist das nicht; sei $f = g [mm] \cdot [/mm] h$ mit $g, h [mm] \in \IZ[x]$ [/mm] und [mm] $\deg [/mm] g [mm] \le \deg [/mm] h$.

Es gilt [mm] $\deg [/mm] f = 2 n$, womit [mm] $\deg [/mm] g [mm] \le [/mm] n$ gilt. Da $f$ normiert ist, kann man $g$ und $h$ ebenfalls als normiert ansehen. Damit ist $g$ durch $n$ Werte eindeutig festgelegt.

Weiterhin ist $f(0) = [mm] (n!)^2 [/mm] + 1$ und $f(i) = 1$ fuer $i = 1, [mm] \dots, [/mm] n$. Damit ist $g(i) = h(i) = [mm] \pm [/mm] 1$ fuer $i = 1, [mm] \dots, [/mm] n$.

Es gibt also hoechstens [mm] $2^n$ [/mm] Moeglichkeiten fuer $g$, und man kann diese alle explizit hinschreiben (Lagrange). Und zwar:

Sei [mm] $g_i(x) [/mm] = [mm] \prod_{k=0 \atop k \neq i}^n \frac{x - k}{i - k}$. [/mm] Dann ist [mm] $g_i(i) [/mm] = 1$ und [mm] $g_j(i) [/mm] = 0$ fuer $j [mm] \in \{ 0, \dots, n \} \setminus \{ i \}$. [/mm]

Jedes solche $g$ kann also als [mm] $g_{(a_i)_i,A}(x) [/mm] = A [mm] g_0(x) [/mm] + [mm] \sum_{i=1}^n a_i g_i(x)$ [/mm] mit [mm] $a_i \in \{ -1, 1 \}$ [/mm] und $A [mm] \mid ((n!)^2 [/mm] + 1)$ geschrieben werden.

(Ob dies ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ergibt, ist noch eine ganz andere Frage! Ist das nicht der Fall, ist diese Kombination [mm] $(a_i)_i \in \{ -1, 1 \}^n$ [/mm] sowieso nicht moeglich.)

Das Polynom $h$ kann hoeheren Grad haben. Man kann aber sagen, dass es von folgender Form sein muss: [mm] $h_{(a_i)_i, B, h_1}(x) [/mm] = [mm] g_{(a_i)_i,B}(x) [/mm] + [mm] h_1(x) \prod_{i=0}^n [/mm] (x - i)$ mit $A B = [mm] (n!)^2 [/mm] + 1$.

Damit waere $f(x) = [mm] g_{(a_i)_i,A}(x) h_{(a_i)_i,B, h_1} [/mm] = [mm] g_{(a_i)_i,A}(x) g_{(a_i)_i,B}(x) [/mm] + [mm] g_{(a_i)_i, A}(x) h_1(x) \prod_{i=0}^n [/mm] (x - i)$ fuer passende [mm] $(a_i)_i \in \{ -1, 1 \}^n$, [/mm] $A, B [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $A B = [mm] (n!)^2 [/mm] + 1$ und [mm] $h_1 \in \IZ[x]$ [/mm] (mit [mm] $\deg h_1 [/mm] < n$), falls $f$ reduzibel ist.

Vielleicht kommst du damit weiter?

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Polynom irreduzibel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:22 Mo 29.11.2010
Autor: jacob17

Vielen Dank du hast mir wirklich sehr weitergeholfen.
jacob

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