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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 So 19.02.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | | Für welche Primzahlen $ [mm] p\le [/mm] 10 $ ist das Polynom $ [mm] f=x^3+x^2+x+2 \in [/mm] K[x] $ mit $ [mm] K=\IZ\setminus p\IZ [/mm] $ irreduzibel? |
Hallo, bin grad an der Klausurvorbereitung und habe da noch eine Frage zu der Aufgabe.
Klar ist für p=2 erhalte ich [mm] f=x^3+x^2+x=x*(x^2+x+1) [/mm] also ist f reduzibel.
Wie mache ich aber jetzt weiter? Hatte als Idee den Ansatz:
[mm] f=x^3+x^2+x=(x^2+ax+b)*(x+c)=x^3+(a+c)x^2+(ac+b)x+bc
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a+c=1, ac+b=1, bc=2 (mod p)
Ist das denn soweit der richtige Ansatz? Und wie komme ich damit jetzt weiter?
Danke für die Hilfe!
Lieben Gruß,
Chesn
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Gefragt ist ja nur nach Primzahlen [mm] p\le [/mm] 10, von denen es gerade mal 4 Stück gibt. Daher würde ich es nicht mit einem "allgemeinen" Ansatz versuchen, sondern die 4 Fälle einzeln betrachten. 3 davon sind relativ schnell abgehandelt:
Für p=2 ist f reduzibel, wie du schon richtig festgestellt hast.
Für p=3 erkennt man, dass f keine Nullstelle hat und somit irreduzibel ist, indem man die 3 möglichen Wert x=0,1 und 2 einsetzt.
Für p=5 ist f(1)=0 und somit (x-1) Linearfaktor.
Bleibt der Fall p=7. Den könnte man mit der "Holzhammermethode" angehen, indem man alle 7 möglichen Werte für x einsetzt, und schaut, ob f(x) irgendwann 0 wird. Vielleicht gibt es auch eine elegantere Lösung, aber da fehlt mir im Moment die Idee.
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