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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Mo 14.06.2010 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | Für k=0,1,2,... und n fest definiere [mm] K_k(x)=\sum_{j=0}^k (-1)^j \pmat{x \\ j} \pmat{n-x\\ k-j} [/mm] |
Hallo. Ich muss zeigen, dass folgende Gleichheit stimmt:
[mm] K_k(x)=\sum_{j=0}^k (-1)^j \pmat{x \\ j} \pmat{n-x \\ k-j} [/mm] = [mm] (-1)^k K_k(n-x)
[/mm]
Setze ich n-x in [mm] K_k [/mm] ein, erhalte ich [mm] K_k(x)=\sum_{j=0}^k (-1)^j \pmat{n-x \\ j} \pmat{x \\ k-j}. [/mm] Wenn ich die Binomialkoeffizienten ausschreibe, steht hier im Zähler dasselbe wie im Zähler bei der oben definierten Form. Die Nenner unterscheiden sich so: in der oben definierten Form steht: j!(x-j)!(k-j)!(n-x-k+j)! und in der zu zeigenden Formel steht j!(n-x-j)!(k-j)!(x-k+j)!
Jetzt bin ich leider schon am Ende mit meinen Ideen. Wie komm ich von der einen Formel zur anderen und woher kommt die [mm] (-1)^k [/mm] ?
Über eine hilfreiche Antwort wäre ich sehr dankbar!
lg moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Mo 14.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) schreib dirs ohne summenzeichen für k=3 und 4 auf!
b)beachte das alternierende Vorzeichen in der Summe.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Mo 14.06.2010 | | Autor: | moerni |
ok. vielen Dank!
Ich hab das mal ausgeschrieben und erkannt, dass einfach die Summationsreihenfolge unterschiedlich ist. Symbolisch in etwa so:
[mm] K_3(x)=(-1)^0a+(-1)^1b+(-1)^2c+(-1)^3d
[/mm]
[mm] K_3(n-x)=(-1)^0d+(-1)^1c+(-1)^2b+(-1)^3a
[/mm]
Ich möchte das noch mathematisch exakt ausschreiben.
Dazu mache ich folgendes: Definiere bei [mm] K_k(n-x) [/mm] den Index j:=k-i (i=0,1,...,k). Dann steht von der Formel her dasselbe da. Wie muss ich das mathematisch aufschreiben, dass die [mm] (-1)^k [/mm] noch als Faktor dazu muss??
weitere Frage:
Sei nun [mm] K_k(x)=\sum_{j=0}^k (-1)^j \pmat{x\\ j} \pmat{n-x \\ k-j} (q-1)^{k-j}, [/mm] wobei q fest.
Als nächstes steht in meinem Buch: Indem man die Taylorreihen von [mm] (1+(q-1)z)^{n-x} [/mm] und [mm] (1-z)^x [/mm] multipliziert, erhält man [mm] \sum_{k=0}^\infty K_k(x)z^k=(1+(q-1)z)^{n-x}(1-z)^x
[/mm]
Damit komm ich gar nicht klar. Es steht leider nirgendwo beschrieben, was und woher dieses z sein soll. Ich weiß leider auch nicht, wie die Taylorreihen von den genannten Funktionen aussehen sollen. Kann mir da jemand einen Überblick verschaffen?
Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar.
lg moerni
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Hallo moerni,
> ok. vielen Dank!
> Ich hab das mal ausgeschrieben und erkannt, dass einfach
> die Summationsreihenfolge unterschiedlich ist. Symbolisch
> in etwa so:
> [mm]K_3(x)=(-1)^0a+(-1)^1b+(-1)^2c+(-1)^3d[/mm]
> [mm]K_3(n-x)=(-1)^0d+(-1)^1c+(-1)^2b+(-1)^3a[/mm]
> Ich möchte das noch mathematisch exakt ausschreiben.
> Dazu mache ich folgendes: Definiere bei [mm]K_k(n-x)[/mm] den Index
> j:=k-i (i=0,1,...,k). Dann steht von der Formel her
> dasselbe da. Wie muss ich das mathematisch aufschreiben,
> dass die [mm](-1)^k[/mm] noch als Faktor dazu muss??
Es ist [mm]K_{3}\left(x\right)=\left(-1\right)*K_{3}\left(n-x\right)[/mm]
Da [mm]\left(-1\right)=\left(-1\right)^{1}=\left(-1\right)^{3}[/mm] gilt ebenso
[mm]K_{3}\left(x\right)=\left(-1\right)^{3}*K_{3}\left(n-x\right)[/mm]
>
> weitere Frage:
> Sei nun [mm]K_k(x)=\sum_{j=0}^k (-1)^j \pmat{x\\ j} \pmat{n-x \\ k-j} (q-1)^{k-j},[/mm]
> wobei q fest.
> Als nächstes steht in meinem Buch: Indem man die
> Taylorreihen von [mm](1+(q-1)z)^{n-x}[/mm] und [mm](1-z)^x[/mm]
> multipliziert, erhält man [mm]\sum_{k=0}^\infty K_k(x)z^k=(1+(q-1)z)^{n-x}(1-z)^x[/mm]
>
> Damit komm ich gar nicht klar. Es steht leider nirgendwo
> beschrieben, was und woher dieses z sein soll. Ich weiß
z ist eine beliebige Variable.
> leider auch nicht, wie die Taylorreihen von den genannten
> Funktionen aussehen sollen. Kann mir da jemand einen
> Überblick verschaffen?
Für die Taylorreihen wendest Du den binomischen Lehrsatz auf
[mm](1+(q-1)z)^{n-x}[/mm] und [mm](1-z)^x[/mm] an.
>
> Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar.
> lg moerni
Gruss
MathePower
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