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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Fr 20.02.2009 | | Autor: | matze3 |
| Aufgabe | [mm] 99z^{4}+248z^{3}+574z^{2}+208z-105=0 [/mm] hat die Lösung [mm] z_{1}=-1+2j
[/mm]
Bestimmen Sie sämtliche Lösungen! |
Servus!
Ich schreibe nächste Woche eine Klausur und brauche dringend eure Hilfe!
Der Ansatz der Aufgabe lautet:
[mm] (99z^{4}+248z^{3}+574z^{2}+208z-105):(z_{2}+2z+5)
[/mm]
... ab hier rechne ich mittels Polynomdivision, welche mir bestens bekannt ist. Auch das Ergebnis bekomme ich hin.
Meine Frage: Wie komme ich auf den Divisor [mm] (z_{2}+2z+5) [/mm] ?
Vielen Dank im Vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Fr 20.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo matze!
Wenn [mm] $z_1$ [/mm] Nullstelle des genannten Polynoms ist, so gilt dies auch für das komplex Konjugierte dieser Zahl:
[mm] $$z_2 [/mm] \ = \ [mm] \overline{z_1} [/mm] \ = \ [mm] \overline{-1+2j} [/mm] \ = \ -1-2j$$
Und nun berechne mal:
[mm] $$\left(z-z_1\right)*\left(z-z_2\right) [/mm] \ = \ ...$$
Damit solltest Du dann auf den genannten Divisor [mm] $\left(z^{\red{2}}+2z+5\right)$ [/mm] kommen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Fr 20.02.2009 | | Autor: | matze3 |
> > Wenn [mm]z_1[/mm] Nullstelle des genannten Polynoms ist, so gilt
> dies auch für das komplex Konjugierte dieser Zahl:
> [mm]z_2 \ = \ \overline{z_1} \ = \ \overline{-1+2j} \ = \ -1-2j[/mm]
>
> Und nun berechne mal:
> [mm]\left(z-z_1\right)*\left(z-z_2\right) \ = \ ...[/mm]
> Damit
> solltest Du dann auf den genannten Divisor
> [mm]\left(z^{\red{2}}+2z+5\right)[/mm] kommen.
Ich komme leider nicht auf das richtige Ergebnis.
Was setze ich für [mm]\left(z-z_1\right)*\left(z-z_2\right) \ = \ ...[/mm] ein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Fr 20.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo matze!
Na, den gegebenen Wert [mm] $z_1$ [/mm] sowie dessen Konjugiertes [mm] $z_2$ [/mm] (wie ich auch schrieb):
[mm] $$\left(z-z_1\right)*\left(z-z_2\right) [/mm] \ = \ [mm] \left[z-(-1+2j)\right]*\left[z-(-1-2j)\right] [/mm] \ = \ (z+1-2j)*(z+1+2j) \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Fr 20.02.2009 | | Autor: | matze3 |
Vielen Dank für die Hilfe!
Habe jeden Summand der ersten Klammer mit jedem Summand der zweiten Klammer unter Beachtung von j²=-1 multipliziert.
Mein Rechenweg:
[mm] \left(z-z_1\right)*\left(z-z_2\right) [/mm]
= [mm] \left[z-(-1+2j)\right]*\left[z-(-1-2j)\right]
[/mm]
= [mm] \left(z+1-2j\right)*\left(z+1+2j\right)
[/mm]
[mm] =z^{2}+z+2jz+z+1+2j-2jz-2j-4j^{2}\ [/mm]
[mm] =z^{2}+2z+5
[/mm]
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