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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:23 Di 22.05.2012 | | Autor: | Mauserle |
| Aufgabe | Wie wende ich die Polynomdivision bei solchen Aufgaben an?
f(x) [mm] =x^4-2x²
[/mm]
f(x) =x³+x
f(x) = [mm] x^4+x [/mm] |
Ich habe das bisher nur gemacht wenn ich alle Exponenten vorhanden hatte also x³+x²+x aber jetzt habe ich das nicht. Wie muss ich vorgehen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi!
> Wie wende ich die Polynomdivision bei solchen Aufgaben an?
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> f(x) [mm]=x^4-2x²[/mm]
> f(x) =x³+x
> f(x) = [mm]x^4+x[/mm]
> Ich habe das bisher nur gemacht wenn ich alle Exponenten
> vorhanden hatte also x³+x²+x aber jetzt habe ich das
> nicht. Wie muss ich vorgehen?
Genau so wie wenn alle Potenzen da wären. Du kannst dir allerdings wenns hilft beispielsweise die Funktion so aufschreiben:
[mm]f(x)=x^4+0x^3+0x^2-2x[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:41 Di 22.05.2012 | | Autor: | Mauserle |
Gibt es auch eine andere Möglichkeit die Nullstellen rauszukriegen ?
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Hallo Mauserle,
> Gibt es auch eine andere Möglichkeit die Nullstellen
> rauszukriegen ?
Deine Fragen sind etwas knapp bemessen, du könntest sie etwas ausführen, damit die Helfer wissen, wo genau deine Probleme liegen.
Die Geschichte des Lösens von Gleichungen ist eine sehr lange Geschichte, die kann man hier nicht einfach so erzählen.
Ein Highlight in dieser Geschichte war ein Buch des arabischen Gelehrten ![[]](/images/popup.gif) Al Chwarizmi. In diesem um 830 entandenen Werk wird unter dem Namen al jabr das eingeführt, was wir heute quadratische Ergänzung nennen und bequem zusammengefasst als Mitternachtsformel zum Lösen quadratischer Gleichungen verwenden.
Damit haben wir also ab diesem Zeitpunkt die Möglichkeit, lineare Gleichungen und quadratische Gleichungen jeweils analytisch, also exakt, zu lösen.
Danach war ja kulturell auch viel geboten in Europa, man war vielleicht ein wenig anderweitig beschäftigt, auf jeden Fall ging die Beschäftigung mit algebraischen Gleichungen (das sind Gleichungen mit Polynomen mit natürlichen Exponenten, so wie ihr sie derzeit kennenlernt) erst in der Renaissance weiter. Im Jahr 1545 veröffentliochte der Italiener Gerolamo Cardano ein Werk namens Ars magna sive de Regulis Algebraicis, in dem ein Lösungsverfahren für kubische Gleichungen, also Gleichungen mit [mm] x^3 [/mm] vorgestellt wird. Sein Ziehsohn, Lodovico Ferrari fand kurze Zeit später eine Formel für Gleichungen 4. Ordnung, und dann kam lange nichts mehr.
Zu den Formeln für die Gleichungen 3. und 4. Ornung wäre noch zu sagen, dass sie beide auf Komplexen Zahlen aufbauen und damit für die (heutige) Schulmathematik viel zu anspruchsvoll sind; sprich: du wirst sie in der Schule nicht zu Gesicht bekommen.
Weiter geht es mit dem dänischenn Mathematiker Nils Henrik Abel. Ihm gelang 1824 der Beweis, dass man algebraische Gleichungen ab der 5. Ordnung i.a. überhaupt nicht lösen kann.
Warum schreibe ich dir das alles auf? Weil man in der Schule eine völlig falsche Vorstellung vermittelt bekommt, was die Lösbarkeit von Gleichungen angeht. Die Notwendigkeit für die mühsame Polynomdivision erklärt sich nämlich direkt aus dem, was ich oben geschildert habe. Hat man bspw. eine Gleichung 5. Ordnung und kennt eine Lösung, dann kann man diese Lösung per Polynomdivision abspalten und es bleibt eine Gleichung vierten Grades übrig, welche man (in diesem Fall die Mathematik  ) lösen kann.
So, zu deiner Ausgangsfrage: obwohl die Polynomdivision schon eine feine Sache ist, amn muss auch nicht blindlings damit um sich schlagen.  Für alle drei Funktionen aus dem Startbeitrag lassen sich die Nullstellen nämlich direkt mit dem Satz vom Nullprodukt berechnen, wie ich dir an Hand der ersten Funktion vorführen möchte:
[mm] f(x)=x^4-2x
[/mm]
f(x)=0 <=>
[mm] x^4-2x=0 [/mm] <=>
[mm] x*(x^3-2)=0 [/mm] =>
[mm] x_1=0 \wedge x_2=\wurzel[3]{2}
[/mm]
Man sollte also immer mit möglichst kleinen Geschützen arbeiten!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:17 Di 22.05.2012 | | Autor: | Mauserle |
Vielen Dank für Eure antworten. Sie waren mir sehr hilfreich
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