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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Do 02.02.2006 | | Autor: | Sherin |
| Aufgabe | | Sei K ein Körper. Ein Polynom f [mm] \in [/mm] K[x] heißt irreduzibel, wenn f nicht konstant ist, und wenn gilt: sind g,h [mm] \in [/mm] K[x] mif f = gh, so ist g [mm] \in [/mm] K oder h [mm] \in [/mm] K. Bestimmen Sie alle irreduziblen Polynome [mm] \IF_{2} [/mm] [x] von Grad [mm] \le [/mm] 4. |
Hallo,
mit dieser Aufgabe kann ich leider überhaupt gar nichts anfangen.. Verstehe auch nicht, was mit irreduzibel jetzt genau gemeint ist!
Wäre euch dankbar, wenn mir das einer kurz erklären und mir einen Ansatz geben könnte!
Sherin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Do 02.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Sherin
Irreduzibel heisst ein polynom, wenn man es nicht als Produkt anderer Polynome schreiben kann, mit Ausnahme des konstanten Polynoms.Bsp: [mm] K=\IR [/mm] f(x)=ax+b ist irreduzibel, Ich kann es als f=c*g schreiben caus K mit g=a/c*x+b/c aber auf keine andere Weise zerlegen .
[mm] f(x)=x^{2} [/mm] ist reduzibel, f(x)=x*x, [mm] f(x)=x^{2}-1=(x+1)*(x-1)ist [/mm] reduzibel, [mm] f(x)=x^{2}+1 [/mm] ist irreduzibel in unseren K, wäre reduzibel mit [mm] K=\IC
[/mm]
alle Polynome 3. Grades sind reduzibel in [mm] \IR, [/mm] weil alle mindestens eine Nullstelle haben, die man als Faktor abspalten kann.
jetzt ist dein Körper [mm] \IF_{2}, [/mm] da hat man schneller die Übersicht, also fang mal an, die möglichen Polynome aufzuschreiben. Nur wenn sie keine Nullstellen haben sind sie irreduzibel, (ausser den 1. Grades.) die ersten 2 irreduziblen liefer ich dir also: f1=x, f2=x+1. jetzt such die quadratischen usw.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Do 02.02.2006 | | Autor: | Sherin |
Danke für die schnelle Antwort, leduart! Mir ist das jetzt schon klarer geworden!! Aber trotzdem habe ich noch paar Fragen.
x ist im Körper [mm] \IF_{2} [/mm] irreduzibel, da man es nicht als produkt von anderen polynomen schreiben kann. Mit x+1 ebenso! [mm] x^2-1 [/mm] wäre demnach reduzibel, da man das als produkt (x+1)(x-1) schreiben kann?!
Wäre dann das nächste irreduzibele polynom [mm] x^{2}+1? [/mm] Und ein weiteres irreduzible Polynom [mm] x^{4}+1? [/mm] Wenn ja, dann habe ich es verstanden..
Sherin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Do 02.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo sherin
in [mm] \IR [/mm] ist [mm] x^2+1 [/mm] ireduzibel, aber in F2 nicht, denn setze x=1 ein:
[mm] 1^{2}+1=0 [/mm] also hat es die Nullstelle 1 Und -1 da 1 =-1mod2 also kann ich [mm] x^{2}+1=(x+1)*(x+1)=(x-1)*(x-1) [/mm] schreiben! Da du nur die 2 Möglichkeiten x=1 und x=0 hast für Nullstellen, kannst du einfach feststellen, ob ein Pol. Nullstellen hat, dann kannst du immer (x-Nst) abspalten.Damit findest du alle Pol. in denen sich eines 1. Grades absp. kann.
[mm] f3=x^2+x+1 [/mm] ist weder für x=0 noch x=1 Null, deshalb irreduzibel.
Jetzt such mal weiter. Bei denen 4. Grades, musst du ausser Nullstellen noch untersuchen ob es durch f3 teilbar ist, also [mm] f3^{2} [/mm] ausschließen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Do 02.02.2006 | | Autor: | Sherin |
Ohh stimmt.. hab das gar net beachtet!! Danke!!
Dann wäre ja [mm] x^{3}+x^{2}+1 [/mm] und [mm] x^{3}+x+1 [/mm] auch irreduzible Polynome, oder?
Wieviele gibt es denn insgesamt? Gibt noch andere beim Grad 3?
Vielen, vielen Dank!!
Sherin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Do 02.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo sherin.
Da du das Prinzio verstanden hast, geb ich höchstens noch auskünfte, wenn du selber alle ausprobiert hast. Schick ne vollständige Liste, dann überprüf ich sie. Wenn ich dir noch mehr sag, lernst du nix mehr.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Do 02.02.2006 | | Autor: | Sherin |
Da hast du echt recht..
Also das ist was ich jetzt raus habe:
x
x+1
[mm] x^{2}+x+1
[/mm]
[mm] x^{3}+x^{2}+1
[/mm]
[mm] x^{3}+x+1
[/mm]
[mm] x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1
[/mm]
[mm] x^{4}+x^{3}+1
[/mm]
[mm] x^{4}+x^{2}+1
[/mm]
[mm] x^{4}+x+1
[/mm]
Ich hoffe, das stimmt jetzt!!
Danke nochmal!
Sherin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Do 02.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo sherin
Unter denen 4. Grades ist noch eine, die das Quadrat der irreduziblen 2. Grades ist! Sonst ok. ( ich glaub die fkt. f(x)=1 gehört noch dazu)
Gruss leduart
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