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Forum "Analysis des R1" - Polynome
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Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:02 Sa 03.11.2007
Autor: Riley

Aufgabe
Zeige dass durch [mm] \phi_0 [/mm] =1, [mm] \phi_1 [/mm] (t) = - [mm] \frac{1}{\pi} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\sin(2\pi r t)}{r} [/mm] und

[mm] \phi_{2m}(t) [/mm] = [mm] (-1)^{m-1} \frac{2}{(2\pi)^{2m}} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{cos(2\pi r t)}{r^{2m}} [/mm] (m [mm] \geq [/mm] 1)

[mm] \phi_{2m+1}(t) [/mm] = [mm] (-1)^{m-1} \frac{2}{(2 \pi)^{2m+1}} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\sin(2 \pi r t)}{r^{2m+1}} [/mm] (m [mm] \geq [/mm] 1)

eine Folge von Polynomen mit

(i) [mm] \phi_n' [/mm] = [mm] \phi_{n-1} \forall [/mm] n [mm] \geq [/mm] 3

(ii) [mm] \int_{0}^1 \phi_n(t) [/mm] dt = 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \geq [/mm] 1

definiert wird.

Hallo liebe Mathefreunde,
(i) hab ich so gezeigt:

1. Fall : n ungerade

[mm] \phi_n(t) [/mm] = [mm] (-1)^{\frac{n-3}{2}} \frac{2}{(2\pi)^n} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\sin(2\pi r t)}{r^n} [/mm]

[mm] \Rightarrow \phi'_n(t) [/mm] = [mm] (-1)^{\frac{n-3}{2}} \frac{2}{(2 \pi)^n} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\cos(2 \pi r t)}{r^n} \cdot [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] r = [mm] (-1)^{\frac{n-3}{2}} \frac{2}{(2 \pi)^{n-1}} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\cos(2 \pi r t)}{r^{n-1}} [/mm] = [mm] \phi_{n-1}(t) [/mm]

2.Fall : n gerade

[mm] \phi_n(t) [/mm] = [mm] (-1)^{\frac{n-2}{2}} \frac{2}{(2 \pi)^n} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\cos(2 \pi r t)}{r^n} [/mm]

[mm] \Rightarrow \phi'_n [/mm] (t) = [mm] (-1)^{\frac{n-2}{2}} \frac{2}{(2 \pi)^n} \sum_{r=1}^{\infty} [/mm] - [mm] \frac{\sin(2 \pi r t)}{r^n} \cdot [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] r = [mm] (-1)^{\frac{n-4}{2}} \frac{2}{(2 \pi)^{n-1}} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{sin(2 \pi r t)}{r^{n-1}} [/mm] = [mm] \phi_{n-1}(t) [/mm]

Also alles für n [mm] \geq [/mm] 3. Ist das richtig so?

(ii) Die Funktionen sind ja 1-periodisch, so dass das Integral Null wird, wie kann man das aber korrekt zeigen?
Genügt es die Linearität des Integrals auszunutzen und zu zeigen dass

[mm] \int_0^1 \sin(2 \pi [/mm] r t) dt = [ - [mm] \frac{1}{2 \pi r} \cdot \cos(2 \pi [/mm] r [mm] t)|_0^1 [/mm] = [mm] \frac{1}{2 \pi r} [/mm] ( - [mm] \cos(2 \pi [/mm] r) + [mm] \cos(0) [/mm] ) = [mm] \frac{1}{2 \pi r} [/mm] (-1+1) = 0 ??

Viele Grüße,
Riley


        
Bezug
Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:28 Sa 03.11.2007
Autor: rainerS

Hallo Riley!

> Zeige dass durch [mm]\phi_0[/mm] =1, [mm]\phi_1[/mm] (t) = - [mm]\frac{1}{\pi} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\sin(2\pi r t)}{r}[/mm]
> und
>  
> [mm]\phi_{2m}(t)[/mm] = [mm](-1)^{m-1} \frac{2}{(2\pi)^{2m}} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{cos(2\pi r t)}{r^{2m}}[/mm]
> (m [mm]\geq[/mm] 1)
>  
> [mm]\phi_{2m+1}(t)[/mm] = [mm](-1)^{m-1} \frac{2}{(2 \pi)^{2m+1}} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\sin(2 \pi r t)}{r^{2m+1}}[/mm]
> (m [mm]\geq[/mm] 1)
>
> eine Folge von Polynomen mit
>  
> (i) [mm]\phi_n'[/mm] = [mm]\phi_{n-1} \forall[/mm] n [mm]\geq[/mm] 3
>  
> (ii) [mm]\int_{0}^1 \phi_n(t)[/mm] dt = 0 [mm]\forall[/mm] n [mm]\geq[/mm] 1
>
> definiert wird.
>  Hallo liebe Mathefreunde,
>  (i) hab ich so gezeigt:
>  
> 1. Fall : n ungerade
>  
> [mm]\phi_n(t)[/mm] = [mm](-1)^{\frac{n-3}{2}} \frac{2}{(2\pi)^n} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\sin(2\pi r t)}{r^n}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \phi'_n(t)[/mm] = [mm](-1)^{\frac{n-3}{2}} \frac{2}{(2 \pi)^n} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\cos(2 \pi r t)}{r^n} \cdot[/mm]
> 2 [mm]\pi[/mm] r = [mm](-1)^{\frac{n-3}{2}} \frac{2}{(2 \pi)^{n-1}} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\cos(2 \pi r t)}{r^{n-1}}[/mm]
> = [mm]\phi_{n-1}(t)[/mm]
>
> 2.Fall : n gerade
>  
> [mm]\phi_n(t)[/mm] = [mm](-1)^{\frac{n-2}{2}} \frac{2}{(2 \pi)^n} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{\cos(2 \pi r t)}{r^n}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \phi'_n[/mm] (t) = [mm](-1)^{\frac{n-2}{2}} \frac{2}{(2 \pi)^n} \sum_{r=1}^{\infty}[/mm]
> - [mm]\frac{\sin(2 \pi r t)}{r^n} \cdot[/mm] 2 [mm]\pi[/mm] r =
> [mm](-1)^{\frac{n-4}{2}} \frac{2}{(2 \pi)^{n-1}} \sum_{r=1}^{\infty} \frac{sin(2 \pi r t)}{r^{n-1}}[/mm]
> = [mm]\phi_{n-1}(t)[/mm]
>
> Also alles für n [mm]\geq[/mm] 3. Ist das richtig so?

Sieht gut aus.

Sollst du auch zeigen, dass die Reihen Polynome in t definieren? Das ist mir nicht klar.

> (ii) Die Funktionen sind ja 1-periodisch, so dass das
> Integral Null wird, wie kann man das aber korrekt zeigen?
>  Genügt es die Linearität des Integrals auszunutzen und zu
> zeigen dass
>  
> [mm]\int_0^1 \sin(2 \pi[/mm] r t) dt = [ - [mm]\frac{1}{2 \pi r} \cdot \cos(2 \pi[/mm]
> r [mm]t)|_0^1[/mm] = [mm]\frac{1}{2 \pi r}[/mm] ( - [mm]\cos(2 \pi[/mm] r) + [mm]\cos(0)[/mm] )
> = [mm]\frac{1}{2 \pi r}[/mm] (-1+1) = 0 ??

Dafür musst du Integration und Summation vertauschen. Das darfst du auf jeden Fall, wenn die Reihe gleichmäßig konvergiert.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:39 Sa 03.11.2007
Autor: Riley

Hallo Rainer,
danke für deine Hilfe! =)

Der Raum [mm] T_n [/mm] := [mm] \{ \sum_{k=-n}^n a_k e^{2 \pi i k \cdot} :a_k \in \mathb{C} \} [/mm] = [mm] \mbox{span}\{e^{2 \pi ikx} : k=-n,...,n\} [/mm]  (wobei man ja auch schreiben kann [mm] e^{2 \pi ikx} [/mm] = [mm] \cos(2 \pi [/mm] kx) + i [mm] \cdot \sin(2 \pi [/mm] kx) )
ist ja der Raum der trigonometrischen Polynome vom Grad [mm] \leq [/mm] n und dazu gehören unsere Polynome [mm] \phi_n [/mm] doch auch, oder wie könnte man sonst zeigen, dass es Polynome in t sind?

Hm, mit der gleichmäßigen Konvergenz hab ich noch troubles. [mm] \phi_1(t) [/mm] soll die Fourierreihe von [mm] \phi(t) [/mm] = t - [mm] \frac{1}{2} [/mm] (t [mm] \in [/mm] [0,1))sein. Ich hab versucht das nachzuweisen in dem ich die Fourierkoeffizienten [mm] c_k [/mm] berechnet hab, doch damit bin ich nicht ans Ziel gekommen.
Würde es auch langen zu zeigen, dass die Fourierreihe auf [a,b] [mm] \subset [/mm] (0,1) gleichmäßig gegen [mm] \phi_1 [/mm] konvergiert?
Und wenn ja, wie kann ich das zeigen?

Viele Grüße,
Riley



Bezug
                        
Bezug
Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:02 So 04.11.2007
Autor: rainerS

Hallo Riley!

> Der Raum [mm]T_n[/mm] := [mm]\{ \sum_{k=-n}^n a_k e^{2 \pi i k \cdot} :a_k \in \mathb{C} \}[/mm]
> = [mm]\mbox{span}\{e^{2 \pi ikx} : k=-n,...,n\}[/mm]  (wobei man ja
> auch schreiben kann [mm]e^{2 \pi ikx}[/mm] = [mm]\cos(2 \pi[/mm] kx) + i
> [mm]\cdot \sin(2 \pi[/mm] kx) )
>  ist ja der Raum der trigonometrischen Polynome vom Grad
> [mm]\leq[/mm] n und dazu gehören unsere Polynome [mm]\phi_n[/mm] doch auch,
> oder wie könnte man sonst zeigen, dass es Polynome in t
> sind?

Das Problem ist, dass die Summation in der Definition der [mm]\phi_n[/mm] bis [mm]\infty[/mm] geht. Wären das alles endliche Summen, hätten wir kein Problem ;-)

> Hm, mit der gleichmäßigen Konvergenz hab ich noch troubles.
> [mm]\phi_1(t)[/mm] soll die Fourierreihe von [mm]\phi(t)[/mm] = t -
> [mm]\frac{1}{2}[/mm] (t [mm]\in[/mm] [0,1))sein. Ich hab versucht das
> nachzuweisen in dem ich die Fourierkoeffizienten [mm]c_k[/mm]
> berechnet hab, doch damit bin ich nicht ans Ziel gekommen.

[mm]\phi_1(t)[/mm] ist sicher der gemeinste Fall. Die [mm]\phi_n(t)[/mm] für [mm]n>1[/mm] haben eine verallgemeinerte harmonische Reihe als Majorante: du kannst den Betrag von Sinus und Cosinus durch 1 nach oben abschätzen, dann bleibt eine Reihe über [mm] \bruch{1}{r^n}, [/mm] die konvergiert.

Etwas verwirrend ist auch, dass beim Einsetzen von t=0 oder t=1/2 oder t=1 in [mm]\phi_1(t)[/mm] 0 herauskommt, weil alle Zähler 0 sind.

Als Fourierreihe ergibt das schon Sinn: da betrachtet man eine Funktion mit Periode 1, die im Interval [mm][0,1][/mm] die Darstellung [mm]t-\bruch{1}{2}[/mm] hat. Sowas heisst auch Sägezahn. An den Rändern des Intervalls ist die (periodische) Funktion unstetig, dort konvergiert die Fourierreihe gegen den Mittelwert aus rechts- und linksseitigem Grenzwert der Funktion. Der rechtsseitige Grenzwert ist -1/2, der linksseitige 1/2, also kommt an den Rändern 0 heraus.

Die Koeffizienten kommen auch richtig heraus: Zunächst musst du dein Interval linear transformieren, da die übliche Fourierreihe auf einem Intervall der Länge [mm]2\pi[/mm] definiert ist. Dabei verschiebe ich gleich noch den Nullpunkt, damit das Definitionsintervall symmetrisch zum Nullpunkt ist: [mm]\bar t=2\pi(t-1/2) = 2\pi t - \pi[/mm]. Dein Polynom lautet jetzt [mm]\bruch{1}{2\pi}\bar t[/mm] und ist auf dem Interval von [mm]-\pi[/mm] bis [mm]+\pi[/mm] definiert.

Für die Fourierreihe nimmst du am besten die Darstellung mit den reellen Koeffizienten [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm]: da das Polynom eine ungerade Funktion ist, sind alle Terme mit Cosinus 0: [mm]a_n=0[/mm]. Für die [mm]b_n[/mm] ergibt sich:

[mm]b_n = \bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{+\pi} \bruch{1}{2\pi}\bar t \sin(n \bar t)\, d\bar t = -\bruch{1}{n\pi} (-1)^n [/mm].

Du hast also:

[mm]t - \bruch{1}{2} = \bruch{1}{2\pi}\bar t = -\bruch{1}{\pi}\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} \bruch{\sin(k \bar t)}{k} \mathop{=}\limits_{\overbrace{{\bar t = 2\pi t - \pi}}} -\bruch{1}{\pi}\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{\sin(2\pi k t)}{k}[/mm].


> Würde es auch langen zu zeigen, dass die Fourierreihe auf
> [a,b] [mm]\subset[/mm] (0,1) gleichmäßig gegen [mm]\phi_1[/mm] konvergiert?
>  Und wenn ja, wie kann ich das zeigen?

Es ist eine Frage des Konvergenzbegriffes: Für Fourierreihen nimmt man die Konvergenz bezüglich der [mm]L^2[/mm]-Norm; da reicht es, glaube ich, dass eine periodische Funktion (in diesem Fall das Polynom [mm]t-1/2[/mm] auf ihrem Definitionsintervall (einer Periode) stückweise stetig diffbar oder quadratintegrabel ist. Polynome auf endlichen Intervallen sind das ja immer, und Alles ist gut. ;-)

Ich hoffe, das hilft dir weiter.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                                
Bezug
Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:53 So 04.11.2007
Autor: Riley

Hallo Rainer,

vielen Dank für deine guten Erklärungen, die haben mir auf jeden Fall weitergeholfen! [ok]

> Das Problem ist, dass die Summation in der Definition der
> [mm]\phi_n[/mm] bis [mm]\infty[/mm] geht. Wären das alles endliche Summen,
> hätten wir kein Problem ;-)

ops ja, da hätte ich genauer hinschauen sollen. und wie können wir das Problem lösen?  oder reicht das Konvergenz-Argument aus?

Hm, dann hab ich gleich noch eine Frage zu den Polynomen :)
Angeblich sind die Koeffizienten von [mm] \phi_n [/mm] immer rational, wie kann ich das nachvollziehen oder beweisen?
Die Koeffizienten sind doch [mm] c_n [/mm] = [mm] (-1)^{\frac{n-2}{2}} \frac{2}{(2 \pi r)^n} [/mm] bzw muss ich dann wohl auch noch unterscheiden ob n gerade oder ungerade ist?

Viele Grüße,
Riley



Bezug
                                        
Bezug
Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:44 Mo 05.11.2007
Autor: rainerS

Hallo Riley!

> > Das Problem ist, dass die Summation in der Definition der
> > [mm]\phi_n[/mm] bis [mm]\infty[/mm] geht. Wären das alles endliche Summen,
> > hätten wir kein Problem ;-)
>  
> ops ja, da hätte ich genauer hinschauen sollen. und wie
> können wir das Problem lösen?  oder reicht das
> Konvergenz-Argument aus?

Ich denke, das reicht: die Reihen konvergieren bzgl. der [mm]L^2[/mm]-Norm.

> Hm, dann hab ich gleich noch eine Frage zu den Polynomen
> :)
>  Angeblich sind die Koeffizienten von [mm]\phi_n[/mm] immer
> rational, wie kann ich das nachvollziehen oder beweisen?

> Die Koeffizienten sind doch [mm]c_n[/mm] = [mm](-1)^{\frac{n-2}{2}} \frac{2}{(2 \pi r)^n}[/mm]

Das habe ich jetzt nicht nachgerechnet, sieht aber plausibel aus. Das sind doch die Koeffizienten für das Polynom [mm]t^n[/mm] auf dem Interval [mm][-\pi,+\pi][/mm], oder? Also ist der Koeffizient von [mm]t^n[/mm] 1.

Dann must du noch eine lineare Transformation machen, um es auf das Intervall [mm][0,1][/mm] abzubilden, also [mm]t^n[/mm] durch [mm](2\pi)^n[/mm] dividieren und um 1/2 verschieben. Dadurch bleiben aber alle Koeffizienten rational.

> bzw muss ich dann wohl auch noch unterscheiden ob n gerade
> oder ungerade ist?

Das ist ein bischen einfacher, weil im einen Fall die [mm]c_n[/mm] reell, im anderen rein imaginär sind.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
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