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| Aufgabe | Sei K ein Körper. Wir definieren die Abbildung
Spur: [mm] K^{n,n} [/mm] -> K , A = [ aij ] [mm] \mapsto [/mm] Spur (A) : = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] aii
Seien A, B [mm] \in K^{n,n}. [/mm] Zeigen oder wiederlegen Sie:
(i) Es gilt Spur(AB) = Spur(BA).
(ii) Sind A und B ähnlich, so gilt Spur(A) = Spur(B).
(iii) Hat p = [mm] t^{n} +a_{n-1} t^{n-1} [/mm] +...+ [mm] a_{1} [/mm] t + [mm] a_{0} \in [/mm] K[t] die n Nullstellen [mm] x_{1},x_{2},...,x_{n} \in [/mm] K, so
gilt [mm] a_{n-1} [/mm] = - [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i} [/mm] .
(iv) Ist [mm] P_{A} [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n}( [/mm] t - [mm] \lambda_{i} [/mm] ) das charakteristische Polynom von A , so ist Spur(A) = [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i} [/mm] . |
Hallo =)
Und mal wieder benötige ich eure Hilfe ....
Ich fange erstmal damit an, was ich habe:
(i) B = [ bij ] [mm] \mapsto [/mm] Spur (B) : = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] bii
Dann AB= [mm] \summe_{k=1}^{n} a_{ik} [/mm] * [mm] b_{kj} [/mm]
BA = [mm] \summe_{k=1}^{n} b_{ik} [/mm] * [mm] a_{kj}
[/mm]
und Spur (AB) = [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{k=1}^{n} a_{ik} [/mm] * [mm] b_{ki} [/mm]
Spur(BA) = [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{k=1}^{n} b_{ik} [/mm] * [mm] a_{ki}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{n} \summe_{i=1}^{n} a_{ki} [/mm] * [mm] b_{ik}
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{k=1}^{n} a_{ik} [/mm] * [mm] b_{ki} [/mm]
Damit ist Spur (AB) = Spur (BA).
(ii) Wenn A, B ähnlich, dann existiert S [mm] \in [/mm] Gl (n,K) , sodass B = [mm] S^{-1}AS.
[/mm]
Das bedeutet:
Spur(B) = Spur( [mm] S^{-1}AS) [/mm] = Spur [mm] (S^{-1}(AS))= [/mm] Spur [mm] ((AS)S^{-1}) [/mm] = Spur [mm] (ASS^{-1}) [/mm] = Spur(A).
Damit gilt Spur (A) = Spur (B).
(iii) Hier fängt es schon an zu hapern. Ich habe dies erstmal für ein Polynom 2. Grades getestet: p = [mm] x^{2} [/mm] + 4x + 3. Die beiden Nullstellen sind [mm] x_{1} [/mm] = -3
und [mm] x_{2} [/mm] = -1 .
4= [mm] a_{n-1} [/mm] = - [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i} [/mm] = -(-3)-(-1)=4
Also gilt es für diesen einen speziellen Fall, aber ob es für alle Fälle gilt, das weiß ich nicht. Ich habe auch keine Idee, wie ich jetzt weiter gehen könnte. Und wie ich das für alle Polynome beweisen könnte.
(iv) Hierzu habe ich noch gar nichts. Jedoch denke ich, dass das nicht gilt und ich es wiederlegen muss, da in der Aufgabe ja steht: Zeige oder wiederlege.
Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
lg Mathemaus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Mo 18.06.2012 | | Autor: | hippias |
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> (iii) Hier fängt es schon an zu hapern. Ich habe dies erstmal für ein Polynom 2. Grades getestet: p = [mm]x^{2}[/mm] + 4x + 3. Die beiden Nullstellen sind [mm]x_{1}[/mm] = -3
> und [mm]x_{2}[/mm] = -1 .
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> 4= [mm]a_{n-1}[/mm] = - [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{i}[/mm] = -(-3)-(-1)=4
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> Also gilt es für diesen einen speziellen Fall, aber ob es für alle Fälle gilt, das weiß ich nicht. Ich habe auch keine Idee, wie ich jetzt weiter gehen könnte. Und wie ich das für alle Polynome beweisen könnte.
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> (iv) Hierzu habe ich noch gar nichts. Jedoch denke ich, dass das nicht gilt und ich es wiederlegen muss, da in der Aufgabe ja steht: Zeige oder wiederlege.
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> Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
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> lg Mathemaus
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Die Nummern iii) und iv) haengen eng zusammen: Versuche das Polynom in iii) wie in iv) zu schreiben. Durch ausmultiplizeren und Koeffizientenvergleich kannst Du versuchen die Behauptung zu beweisen.
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meinst du in Produktschreibweise?
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[mm] a_{0} [/mm] + [mm] t^{n} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{n-1} t^{n-1} [/mm] das ist das einzige, was mir jetzt dazu einfallen würde...
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ich habe oben einen Fehler gemacht. p = [mm] t^{n} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{n-1} t^{n-1} [/mm] ist richtig. aber ich habe keine ahnung wie mir das jetzt weiterhelfen kann? HILFE!!!
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Hallo,
hat p = $ [mm] t^{n} +a_{n-1} t^{n-1} [/mm] $ +...+ $ [mm] a_{1} [/mm] $ t + $ [mm] a_{0} \in [/mm] $ K[t] die n Nullstellen $ [mm] x_{1},x_{2},...,x_{n} \in [/mm] $ K, so zerfällt es in Linearfaktoren, und Du kannst schreiben
[mm] p=(t-x_1)(t-x_2)...(t-x_n).
[/mm]
Nun überlege Dir, was Du beim Ausmultiplizieren vor dem [mm] t^{n-1} [/mm] stehen hast.
LG Angela
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