Polynome < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei V der vektorraum der Polynome f(x) mit reellen Koeff. vom Grad höchstens drei mit der eigenschaft f(1)=0. W sei der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens zwei, also
V= { f(x) [mm] \in \IR [/mm] [x] | deg(f) [mm] \le [/mm] 3 und f(1)=0 }
W= { f(x) [mm] \in \IR [/mm] [x] | deg(f) [mm] \le [/mm] 2 }
Welchen Rang hat die lin. Abb. [mm] \phi [/mm] : V [mm] \rightarrow [/mm] W, die jedem Polynom f(x) seine Ableitung f'(x) zuordnet? |
Hi,
so ich habe die Formel: dim (V) = dim(ker(f))+ rg(f)
deg(f) [mm] \le [/mm] 3 [mm] \Rightarrow [/mm] { [mm] x^0; x^1; x^2; x^3 [/mm] } bildet Basis von V [mm] \Rightarrow [/mm] dim (V)=4
{ [mm] x^0 [/mm] } bildet Basis von ker (f), weil a [mm] \in \IR ax^0 [/mm] =a [mm] \Rightarrow (ax^0)'=(a)'=0 \Rightarrow [/mm] dim(ker(f))=1
[mm] \Rightarrow [/mm] dim (V) = dim(ker(f))+ rg(f) [mm] \gdw [/mm] rg(f)=dim(V)-dim(ker(f))=4-1=3
Richtig?
|
|
| |
|
> so ich habe die Formel: dim (V) = dim(ker(f))+ rg(f)
> [/mm]
> deg(f) [mm]\le[/mm] 3 [mm]\Rightarrow[/mm] { [mm] x^0; x^1; x^2; x^3} [/mm] bildet
> Basis von V [mm]\Rightarrow[/mm] dim (V)=4
Hallo,
und gleich mal STOP!
Zunächst einmal muß die Dimensionsformel übertragen auf Dein Beispiel lauten:
$dim(V)= [mm] dim(Kern\red{\phi}) [/mm] + [mm] dim(\red{\phi}).$
[/mm]
Es ist richtig, daß$ [mm] \{x^0; x^1; x^2; x^3\} [/mm] $ eine Basis ist des Vektorraumes [mm] \IR_{\le 3}[x] [/mm] der Polynome vom Höchstgrad 3.
Allerdings ist V nicht dieser VR!
V ist ein Unterraum dieses Raumes, dessen Dimension erstmal festzustellen wäre.
Denn bedenke: in V ist nicht jedes Polynom vom Höchstgrad 3! Z.B. ist [mm] f(x)=3x^2+5 [/mm] nicht drin.
Bestimme also zunächst mal eine Basis von V.
LG Angela
|
|
|
| |
|
Bin gerade total verwirrt:
sorgt die Eigenschaft f(1)=0 dafür, dass die Basis nicht { [mm] x^0; x^1; x^2; x^3 [/mm] } ist? Ich hätte gedacht, die sind alle mit dieser Basis darzustellen, nur sind halt bei manchen Polynomen die Koeff. =0 zu einigen [mm] x^k.
[/mm]
Mal ein konkretes Polynom:
f(x)= [mm] x^2 -1=0x^3 [/mm] + [mm] 1x^2 +0x^1 [/mm] + [mm] (-1)x^0 [/mm] mit f(x) [mm] \in [/mm] V also f(x=1)= [mm] 1^2 [/mm] -1=0
Kannst du mir da bitte etwas mehr helfen? Ich komme gerade wirklich nicht voran.
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Bin gerade total verwirrt:
>
> sorgt die Eigenschaft f(1)=0 dafür, dass die Basis nicht { [mm]x^0; x^1; x^2; x^3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} ist? Ich hätte gedacht, die sind alle
> mit dieser Basis darzustellen, nur sind halt bei manchen
> Polynomen die Koeff. =0 zu einigen [mm]x^k.[/mm]
Hallo,
es ist [mm] \{x^0,x^1,x^2, x^3\} [/mm] eine Basis des [mm] \IR_{\le 3}[x].
[/mm]
Du hast, wie ich gesehen habe, in einer anderen Aufgabe gezeigt, daß die Menge der Polynome vom Höchstgrad 3, für die zusätzlich an der Stelle 1 der Funktionswert =0 ist, ein UVR des [mm] \IR_{\le 3}[x] [/mm] ist.
Wie ich bereits ausgeführt habe, gibt es Polynome in [mm] \IR_{\le 3}[x], [/mm] die nicht in Deinem Raum V sind.
Also ist die Dimension von V auf jeden Fall kleiner als die von [mm] \IR_{\le 3}[x], [/mm] und schon deshalb kann die von Dir vorgelegte Basis keine Basis von V sein.
Ist Dir eigentlich aufgefallen, daß [mm] x^1,x^2 [/mm] und [mm] x^3 [/mm] gar nicht in V sind?
Auch deshalb kann [mm] \{x^0,x^1,x^2, x^3\} [/mm] keine Basis von V sein.
>
> Mal ein konkretes Polynom:
> f(x)= [mm]x^2 -1=0x^3[/mm] + [mm]1x^2 +0x^1[/mm] + [mm](-1)x^0[/mm] mit f(x) [mm]\in[/mm] V
> also f(x=1)= [mm]1^2[/mm] -1=0
Ja, das Polynom [mm] x^2-1 [/mm] ist in V.
Das Polynom [mm] 5x^3-x^2+123 [/mm] ist nicht in V.
Du müßtest jetzt, um eine Basis zu finden, mal überlegen, wie die Polynome gemacht sind, die in V sind.
Tip: 1 ist eine Nullstelle, also kann (x-1) ausgeklammert werden...
LG Angela
|
|
|
| |
|
So ich habe noch einmal etwas in meinen Unterlagen gestöbert: https://matheraum.de/read?t=899659 und iii) beschreibt doch genau mien Problem, oder?
Also habe ich jetzt mal:
f(1)=a*1+b*1+c*1+d=0
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 1 1 1|0 [mm] \Rightarrow [/mm] a=-(b+c+d)
einsetzen in [mm] f(x)=ax^3+b^2+cx^1+d=-(b+c+d)x^3+b^2+cx^1+d=b(x^2-x^3)+c(x-x^3)+d(1-x^3)
[/mm]
Jetzt müsste ich noch zeigen, dass { [mm] (x^2-x^3); (x-x^3); (1-x^3) [/mm] } lin. unabh. sind und habe dann die Basis mit { [mm] (x^2-x^3); (x-x^3); (1-x^3) [/mm] } gegeben, oder?
|
|
|
| |
|
Hallo BH,
> So ich habe noch einmal etwas in meinen Unterlagen
> gestöbert: https://matheraum.de/read?t=899659 und iii)
> beschreibt doch genau mien Problem, oder?
>
> Also habe ich jetzt mal:
>
> f(1)=a*1+b*1+c*1+d=0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1 1 1 1|0 [mm]\Rightarrow[/mm] a=-(b+c+d)
>
> einsetzen in
> [mm]f(x)=ax^3+b^2+cx^1+d=-(b+c+d)x^3+b^2+cx^1+d=b(x^2-x^3)+c(x-x^3)+d(1-x^3)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt müsste ich noch zeigen, dass { [mm](x^2-x^3); (x-x^3); (1-x^3)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } lin. unabh. sind und habe dann die Basis mit { [mm](x^2-x^3); (x-x^3); (1-x^3)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } gegeben, oder?
Jo, sieht gut aus ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Und wenn ich jetz den [mm] ker(\phi) [/mm] bestimmen möchte, dann suche ich doch die b,c,d so, dass [mm] b(x^2-x^3)+c(x-x^3)+d(1-x^3)=0, [/mm] oder?
Dann hätte ich ja wegen lin. Unabh. b=c=d=0 also [mm] ker(\phi)=0, [/mm] also [mm] dim(ker(\phi))=1
[/mm]
Richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Mo 16.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast ja gar keine Abb. nach W benutzt.
aber du hast dein Raum V ist 3d, W auch also wenn du ne einfache lin- Abb. von V nach W findest ist der Kern wirklich 0.
hast du gezeigt, dass die 3 lin unabh. sind?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Die lineare Unabh. hatte ich gezeigt.
Wie ich jetzt auf den Kern komme ist mir leider immer noch nicht klar.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Die lineare Unabh. hatte ich gezeigt.
So wie ich das hier überblicke, haben wir hier mit viel Anstrengung eine Basis des Urbildraumes, aus dem [mm] $\psi$ [/mm] heraus abbilden soll, bestimmt.
[mm] $\psi$ [/mm] war noch gar nicht im Spiel ...
Wohin bildet [mm] $\psi$ [/mm] ab?
Hast du eine Darstellungsmatrix, anhand derer du den Kern bestimmen kannst?
>
>
> Wie ich jetzt auf den Kern komme ist mir leider immer noch
> nicht klar.
Wie bestimmt ihr denn so in der Vorlesung oder den Übungen Kerne?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
> Wohin bildet [mm]\psi[/mm] ab?
>
> Hast du eine Darstellungsmatrix, anhand derer du den Kern
> bestimmen kannst?
>
Ich habe nur das, was die Aufg. angibt und was ich hier erarbeitet habe.
> Wie bestimmt ihr denn so in der Vorlesung oder den Übungen
> Kerne?
>
Weil ich das ganze neben meiner Arbeit mache, kann ich weder VL noch Übung besuchen. Ich erarbeite mir das selbst mit den Übungen und besonders durch eure Hilfe. Ich wäre dir sehr dankbar, wenn du mir das hier vielleicht mal zeigen könntest!
LG
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> > Wohin bildet [mm]\psi[/mm] ab?
> >
> > Hast du eine Darstellungsmatrix, anhand derer du den Kern
> > bestimmen kannst?
> >
>
> Ich habe nur das, was die Aufg. angibt und was ich hier
> erarbeitet habe.
>
>
> > Wie bestimmt ihr denn so in der Vorlesung oder den Übungen
> > Kerne?
> >
> Weil ich das ganze neben meiner Arbeit mache, kann ich
> weder VL noch Übung besuchen. Ich erarbeite mir das
> selbst mit den Übungen und besonders durch eure Hilfe. Ich
> wäre dir sehr dankbar, wenn du mir das hier vielleicht mal
> zeigen könntest!
Ok, es gibt aber in Lehr- und Übungsbüchern oder im Netz zahllose gut vorgerechnete Beispiele. Ich empfehle an dieser Stelle immer die Bücher aus dem Binomiverlag "Repetitorium der LA 1+2". Preiswert und mit zahlreichen Übungen/Lösungen ...
Nun denn, wir haben doch ermittelt, dass die Polynome (also die Vektoren) in [mm]V[/mm] die Gestalt
[mm]p(x)=(-b-c-d)x^3+bx^2+cx+d[/mm] haben mit [mm]b,c,d\in\IR[/mm]
Was macht [mm]\phi[/mm] mit p?
Es bildet [mm]p[/mm] auf dessen Ableitung ab, also [mm]\phi(p(x))=p'(x)=-3(b+c+d)x^2+2bx+c[/mm]
Nun überlege, wann (also für welche [mm]b,c,d[/mm]) das denn das Nullpolynom ist, denn gesucht ist ja die Menge aller Polynome aus [mm]V[/mm], die auf das Nullpolynom in [mm]W[/mm] abgebildet werden.
Das kannst du leicht überlegen und dir das Aufstellen einer Abbildungsmatrix sparen.
>
> LG
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 Mo 16.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Tip
leit mal deine Basis ab, oder dividier durch x-1!
oder bild deine Basisvktoren auf eine Basis von W ab.
Gruss leduart
|
|
|
|
