Polynome, Matrizen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Sa 24.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Gegeben sei der Polynomring $K[T]$ und [mm] $Y\in K[T]^{n\times n}$. [/mm]
Zeigen Sie, dass es eindeutig bestimmte Matrizen [mm] $Y_0, Y_1,...,Y_r\in K^{n\times n}$ [/mm] gibt mit
[mm] $Y=Y_0T+Y_1T^2+...+Y_rT^r$ [/mm] |
Hi,
ich habe gerade Probleme mit dieser Aufgabe. Vor allem mit dem 'eindeutig bestimmt'.
Also die Matrix Y hat ja Polynome als Einträge. Zum Beispiel:
[mm] $Y=\begin{pmatrix} 3T^2+2T+1&5T^5-3T^2\\ T&4\end{pmatrix}$
[/mm]
Dann könnte ich diese ja so zerlegen:
[mm] $Y=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2&0\\ 1&0\end{pmatrix}T+\begin{pmatrix} 3&-3\\ 0&0\end{pmatrix}T^2+\begin{pmatrix} 0&5\\ 0&0\end{pmatrix}T^5$
[/mm]
Sowas ist dann natürlich eindeutig bestimmt, oder irre ich mit der Interpretation?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Sa 24.05.2014 | | Autor: | Teufel |
Ok, also wie du eine Zerlegung konstruierst ist dir klar. Jetzt nimm einfach an, dass du 2 Darstellungen hast (Summe mit [mm] Y_i [/mm] und Summe mit $Y'_i$), d.h. sie unterscheiden sich an einer Stelle i. An dieser gilt [mm] $Y_i \not [/mm] = Y'_i$, aber dann unterscheidet sich der Koeffizient von der i-ten Potenz von T von irgendeinem Polynom.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Sa 24.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Und das würde bereits ausreichen?
Das kann ich mir ehrlich gesagt nicht vorstellen, auch wenn es natürlich "klar" ist.
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> Und das würde bereits ausreichen?
> Das kann ich mir ehrlich gesagt nicht vorstellen, auch wenn
> es natürlich "klar" ist.
Hallo,
Du hast dann doch zwei Polynome mit Koeffizienten aus dem Ring [mm] K^{n\times n},
[/mm]
und irgendwo habt Ihr sicher etwas über die Gleichheit von Polynomen notiert:
sie sind gleich, wenn alle Koeffizienten übereinstimmen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 So 25.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann würde ich es nun so notieren:
Sei
[mm] $Y=Y_0+Y_1T+...+Y_rT^r$
[/mm]
angenommen es gibt eine zweite Darstellung
[mm] $Y=Y_0'+Y_1'T+...+Y_r'T^r$
[/mm]
Dann ist
[mm] $Y_0'+Y_1'T+...+Y_r'T^r=Y_0+Y_1T+...+Y_rT^r$
[/mm]
Und mit einem Koeffizientenvergleich folgt
[mm] $Y_0=Y_0'$ [/mm] usw.
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> Dann würde ich es nun so notieren:
>
> Sei
>
> [mm]Y=Y_0+Y_1T+...+Y_rT^r[/mm]
>
> angenommen es gibt eine zweite Darstellung
>
> [mm]Y=Y_0'+Y_1'T+...+Y_r'T^r[/mm]
Hallo,
Du gehst davon aus, daß der Grad der zweiten Darstellung derselbe ist.
Wenn man schon von einer zweiten Darstellung ausgeht, würde man der auch einen anderen Grad erlauben, oder?
Wenn nicht, müßte man einen Grund dafür sagen.
>
> Dann ist
>
> [mm]Y_0'+Y_1'T+...+Y_r'T^r=Y_0+Y_1T+...+Y_rT^r[/mm]
>
> Und mit einem Koeffizientenvergleich folgt
Natürlich vergleicht man Koeffizienten, aber ich würde mich ausdrücklich auf die Def. über die Gleichheit von Polynomen beziehen.
LG Angela
>
> [mm]Y_0=Y_0'[/mm] usw.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:07 So 25.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann vergleicht man also die Polynome welche später als Eintrag in der Matrix vorkommen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 So 25.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Also, wenn ich für die zweite Darstellung auch einen höheren Grad erlauben würde, dann würde das ohnehin direkt sich wieder auf den "echten" Grad reduzieren, weil wieder der Koeffizientenvergleich dafür sorgt, dass die Summen höheren Grades Null wären.
Ich verstehe nicht so recht was du damit meinst ich solle mich explizit auf die Gleichheit von Polynomen beschränken. Ist das nicht im Grunde das selbe?
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> Also, wenn ich für die zweite Darstellung auch einen
> höheren Grad erlauben würde, dann würde das ohnehin
> direkt sich wieder auf den "echten" Grad reduzieren, weil
> wieder der Koeffizientenvergleich dafür sorgt, dass die
> Summen höheren Grades Null wären.
Hallo,
ja, natürlich läuft es darauf hinaus, daß die zweite Darstellung dieselbe wie die erste ist. Das sollst Du ja zeigen.
Aber wenn Du annimmst, daß es eine zweite Darstellung gibt, mußt Du doch erstmal annehmen, daß sie einen anderen Grad (größer oder kleiner) und andere Koeffizieten hat, und dann machst Du vor, daß das nicht sein kann.
>
> Ich verstehe nicht so recht was du damit meinst ich solle
> mich explizit auf die Gleichheit von Polynomen
> beschränken. Ist das nicht im Grunde das selbe?
Nicht beschränken. Beziehen.
Der Koeffizientenvergleich ist eine Folge davon, wie die Gleichheit von Polynomen definiert ist.
Weil man weiß, was die Gleichheit von Polynomen ist, vergleicht man die Koeffizienten.
LG Angela
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> Dann vergleicht man also die Polynome welche später als
> Eintrag in der Matrix vorkommen?
Hallo,
ich weiß nicht, was Du meinst.
Vielleicht formulierst Du die Frage etwas deutlicher.
LG Angela
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