Polynome, Teilräume... < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Di 27.05.2014 | | Autor: | fuoor |
| Aufgabe | Gegeben sei die Menge [mm] \varepsilon \subseteq \IR_{\le4}[x],
[/mm]
[mm] \varepsilon={x^{4}+1, x^{4}-x+2, x-1}.
[/mm]
a) Begründen sie kurz und ohne die Teilraumkriterien zu bemühen, dass [mm] span(\varepsilon) [/mm] ein Teilraum des Vektorraums [mm] \IR_{\le4}[x] [/mm] ist.
b) Beweisen sie, dass die Vektoren in [mm] \varepsilon [/mm] linear abhängig sind.
c) Zeigen sie, dass [mm] {x^{4}+1, x-1} \subset \varepsilon [/mm] ein Erzeugendensystem von span [mm] (\varepsilon) [/mm] ist.
d) Bestimmen sie eine Basis von [mm] span(\varepsilon) [/mm] und geben sie die Dimension von [mm] span(\varepsilon) [/mm] an. |
Bisher habe ich folgendes:
zu a)
Die Menge [mm] \varepsilon={x^{4}+1, x^{4}-x, x-1} [/mm] ist ein Teilraum des [mm] \IR_{\le4}[x] [/mm] da die Menge aus Polynomen mit dem höchsten Grad /le 4 besteht.
Reicht das aus? Ich könnte ja noch schreiben dass die Menge nicht leer ist, jedoch ist das ja ein Teilraumkriterium...sollte also nicht als Antwort erwartet sein...
zu b)
Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn in einer Menge (hier [mm] \varepsilon) [/mm] ein oder mehrere Vektoren durch Linearkombination eines anderen Vektors gebildet werden können. In diesem Fall sind die Vektoren als Polynome dargestellt. Die Polynome sind linear abhängig, da mit [mm] x^{4}+1 [/mm] und x-1 das Polynom [mm] x^{4}-x+2 [/mm] gebildet werden kann.
[mm] (x^{4}+1)-(x-1)=x^{4}+1-x+1=x^{4}-x+2
[/mm]
Die Menge [mm] \varepsilon [/mm] kann auch als Vektor dargestellt werden. Da [mm] ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e [/mm] die Grundform des Polynoms vom [mm] Grad\le4 [/mm] ist folgt daraus
[mm] \varepsilon={\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 2}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1}}
[/mm]
Linear unabhängig sind die Vektoren genau dann, wenn für [mm] \alpha_{1}\vec{v_{1}}+\alpha_{2}\vec{v_{2}}+...+\alpha_{n}\vec{v_{n}} [/mm] die einzige Lösung für [mm] \alpha_{1}, \alpha_{2},...,\alpha_{n} [/mm] die einzige Lösung die triviale Lösung ist, also [mm] \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0
[/mm]
[mm] \alpha_{1}\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}+\alpha_{2}\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 2}+\alpha_{3}\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1}=0
[/mm]
[mm] \alpha_{1}+\alpha_{2}=0
[/mm]
0=0
0=0
[mm] -\alpha_{2}+\alpha_{3}=0
[/mm]
[mm] \alpha_{1}+2\alpha_{2}-\alpha_{3}=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha_{1}\not=\alpha_{2}
[/mm]
[mm] \alpha_{1}=-\alpha_{2}=-\alpha_{3}=0
[/mm]
Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine mögliche Lösung wäre [mm] \alpha_{1}=1, \alpha_{2}=-1, \alpha_{3}=-1.
[/mm]
ist das soweit richtig?
zu c)
[mm] {x^{4}+1, x-1} \subset \varepsilon [/mm] ist ein Erzeugendensystem von span [mm] (\varepsilon) [/mm] da aus diesen beiden Vektoren der dritte gebildet werden kann. Ich stehe hier aber trotzdem irfgendwie auf dem Schlauch. Ich verstehe noch nicht so ganz was ich hier rechnen soll....
zu d)
Eine Basis vom [mm] span(\varepsilon) [/mm] ist [mm] x^{4}+1 [/mm] und x-1 da diese Polynome in Vektoren umgewandelt in einer Matrix Köpfe bilden.
Die Matrix mit den Polynomen [mm] x^{4}+1, x^{4}-x+2, [/mm] x-1 ist
[mm] \vmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1} [/mm] und in NZSF lautet diese [mm] \vmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] woraus die Köpfe ablesbar sind. Die Dimension des [mm] span(\varepsilon) [/mm] ist gleich der Anzahl der Köpfe einer Matrix, also ist [mm] dim(span(\varepsilon))=2.
[/mm]
Reicht das als Antwort?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Di 27.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die Menge [mm]\varepsilon \subseteq \IR_{\le4}[x],[/mm]
>
> [mm]\varepsilon={x^{4}+1, x^{4}-x+2, x-1}.[/mm]
Es lautet hier und unten wohl so:
[mm]\varepsilon=\{x^{4}+1, x^{4}-x+2, x-1\}.[/mm]
Ab jetzt schreibe ich E statt [mm] \varepsilon.
[/mm]
>
>
> a) Begründen sie kurz und ohne die Teilraumkriterien zu
> bemühen, dass [mm]span(\varepsilon)[/mm] ein Teilraum des
> Vektorraums [mm]\IR_{\le4}[x][/mm] ist.
>
> b) Beweisen sie, dass die Vektoren in [mm]\varepsilon[/mm] linear
> abhängig sind.
>
> c) Zeigen sie, dass [mm]{x^{4}+1, x-1} \subset \varepsilon[/mm] ein
> Erzeugendensystem von span [mm](\varepsilon)[/mm] ist.
>
> d) Bestimmen sie eine Basis von [mm]span(\varepsilon)[/mm] und geben
> sie die Dimension von [mm]span(\varepsilon)[/mm] an.
> Bisher habe ich folgendes:
>
> zu a)
>
> Die Menge [mm]\varepsilon={x^{4}+1, x^{4}-x, x-1}[/mm] ist ein
> Teilraum des [mm]\IR_{\le4}[x][/mm] da die Menge aus Polynomen mit
> dem höchsten Grad /le 4 besteht.
>
> Reicht das aus?
Nein.
> Ich könnte ja noch schreiben dass die
> Menge nicht leer ist, jedoch ist das ja ein
> Teilraumkriterium...sollte also nicht als Antwort erwartet
> sein...
Mir ist nicht klar, wie der Aufgabensteller sich das vorstellt. Es sei denn, Ihr dürft verwenden. dass die lineare Hülle einer Teilmenge eines Vektorraumes V ein Teilraum von V ist.
>
>
> zu b)
>
> Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn in einer
> Menge (hier [mm]\varepsilon)[/mm] ein oder mehrere Vektoren durch
> Linearkombination eines anderen Vektors gebildet werden
> können. In diesem Fall sind die Vektoren als Polynome
> dargestellt. Die Polynome sind linear abhängig, da mit
> [mm]x^{4}+1[/mm] und x-1 das Polynom [mm]x^{4}-x+2[/mm] gebildet werden
> kann.
>
> [mm](x^{4}+1)-(x-1)=x^{4}+1-x+1=x^{4}-x+2[/mm]
Richtig. Damit ist E linear abhängig.
Deine weiteren Ausführungen zu diesem Aufgabenteil kannst Du Dir sparen.
>
> Die Menge [mm]\varepsilon[/mm] kann auch als Vektor dargestellt
> werden. Da [mm]ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e[/mm] die Grundform des
> Polynoms vom [mm]Grad\le4[/mm] ist folgt daraus
> [mm]\varepsilon={\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 2}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1}}[/mm]
>
> Linear unabhängig sind die Vektoren genau dann, wenn für
> [mm]\alpha_{1}\vec{v_{1}}+\alpha_{2}\vec{v_{2}}+...+\alpha_{n}\vec{v_{n}}[/mm]
> die einzige Lösung für [mm]\alpha_{1}, \alpha_{2},...,\alpha_{n}[/mm]
> die einzige Lösung die triviale Lösung ist, also
> [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0[/mm]
>
> [mm]\alpha_{1}\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}+\alpha_{2}\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 2}+\alpha_{3}\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1}=0[/mm]
>
> [mm]\alpha_{1}+\alpha_{2}=0[/mm]
> 0=0
> 0=0
> [mm]-\alpha_{2}+\alpha_{3}=0[/mm]
> [mm]\alpha_{1}+2\alpha_{2}-\alpha_{3}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \alpha_{1}\not=\alpha_{2}[/mm]
>
> [mm]\alpha_{1}=-\alpha_{2}=-\alpha_{3}=0[/mm]
>
> Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Eine
> mögliche Lösung wäre [mm]\alpha_{1}=1, \alpha_{2}=-1, \alpha_{3}=-1.[/mm]
>
> ist das soweit richtig?
>
>
> zu c)
>
> [mm]{x^{4}+1, x-1} \subset \varepsilon[/mm] ist ein
> Erzeugendensystem von span [mm](\varepsilon)[/mm] da aus diesen
> beiden Vektoren der dritte gebildet werden kann. Ich stehe
> hier aber trotzdem irfgendwie auf dem Schlauch. Ich
> verstehe noch nicht so ganz was ich hier rechnen soll....
Da E linear abhängig ist, ist schonmal dim (span(E)) [mm] \le [/mm] 2.
[mm] x^{4}+1, [/mm] und x-1 sind linear unabhängig. Zeige das zu Fuss: zeige: aus a,b [mm] \in \IR [/mm] und
[mm] a(x^4+1)+b(x-1)= [/mm] Nullpolynom folgt a=b=0.
>
>
> zu d)
>
> Eine Basis vom [mm]span(\varepsilon)[/mm] ist [mm]x^{4}+1[/mm] und x-1
Ja, da [mm]x^{4}+1[/mm] und x-1 lin unabhängig sind und dim(span(E)) [mm] \le [/mm] 2 ist, folgt
dim(span(E)) = 2
Fertig
FREd
> da
> diese Polynome in Vektoren umgewandelt in einer Matrix
> Köpfe bilden.
>
> Die Matrix mit den Polynomen [mm]x^{4}+1, x^{4}-x+2,[/mm] x-1 ist
>
> [mm]\vmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1}[/mm] und in NZSF
> lautet diese [mm]\vmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
> woraus die Köpfe ablesbar sind. Die Dimension des
> [mm]span(\varepsilon)[/mm] ist gleich der Anzahl der Köpfe einer
> Matrix, also ist [mm]dim(span(\varepsilon))=2.[/mm]
>
> Reicht das als Antwort?
>
> Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Di 27.05.2014 | | Autor: | fuoor |
> Gegeben sei die Menge $ [mm] \varepsilon \subseteq \IR_{\le4}[x], [/mm] $
>
> $ [mm] \varepsilon={x^{4}+1, x^{4}-x+2, x-1}. [/mm] $
Es lautet hier und unten wohl so:
$ [mm] \varepsilon=\{x^{4}+1, x^{4}-x+2, x-1\}. [/mm] $
Ab jetzt schreibe ich E statt $ [mm] \varepsilon. [/mm] $
>
>
> a) Begründen sie kurz und ohne die Teilraumkriterien zu
> bemühen, dass $ [mm] span(\varepsilon) [/mm] $ ein Teilraum des
> Vektorraums $ [mm] \IR_{\le4}[x] [/mm] $ ist.
>
> b) Beweisen sie, dass die Vektoren in $ [mm] \varepsilon [/mm] $ linear
> abhängig sind.
>
> c) Zeigen sie, dass $ [mm] {x^{4}+1, x-1} \subset \varepsilon [/mm] $ ein
> Erzeugendensystem von span $ [mm] (\varepsilon) [/mm] $ ist.
>
> d) Bestimmen sie eine Basis von $ [mm] span(\varepsilon) [/mm] $ und geben
> sie die Dimension von $ [mm] span(\varepsilon) [/mm] $ an.
> Bisher habe ich folgendes:
>
> zu a)
>
> Die Menge $ [mm] \varepsilon={x^{4}+1, x^{4}-x, x-1} [/mm] $ ist ein
> Teilraum des $ [mm] \IR_{\le4}[x] [/mm] $ da die Menge aus Polynomen mit
> dem höchsten Grad /le 4 besteht.
>
> Reicht das aus?
Nein.
> Ich könnte ja noch schreiben dass die
> Menge nicht leer ist, jedoch ist das ja ein
> Teilraumkriterium...sollte also nicht als Antwort erwartet
> sein...
Mir ist nicht klar, wie der Aufgabensteller sich das vorstellt. Es sei denn, Ihr dürft verwenden. dass die lineare Hülle einer Teilmenge eines Vektorraumes V ein Teilraum von V ist.
Ja, ich denke das darf verwendet werden. Ich dachte die Frage zielt nur auf den Grad der Polynome. Der span(E) ist also ein Teilraum des [mm] \IR_{\le4}[x] [/mm] da die lineare Hülle der Teilmenge E des Vektorraumes ein Teilraum des Vektorraumes ist. Klingt irgendwie umständlich. Eine Sache steckt in einer Sache wenn sie in der Sache steckt :)
>
>
> zu b)
>
> Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn in einer
> Menge (hier $ [mm] \varepsilon) [/mm] $ ein oder mehrere Vektoren durch
> Linearkombination eines anderen Vektors gebildet werden
> können. In diesem Fall sind die Vektoren als Polynome
> dargestellt. Die Polynome sind linear abhängig, da mit
> $ [mm] x^{4}+1 [/mm] $ und x-1 das Polynom $ [mm] x^{4}-x+2 [/mm] $ gebildet werden
> kann.
>
> $ [mm] (x^{4}+1)-(x-1)=x^{4}+1-x+1=x^{4}-x+2 [/mm] $
Richtig. Damit ist E linear abhängig.
Deine weiteren Ausführungen zu diesem Aufgabenteil kannst Du Dir sparen.
Alles klar, ist weg ;)
> zu c)
>
> $ [mm] {x^{4}+1, x-1} \subset \varepsilon [/mm] $ ist ein
> Erzeugendensystem von span $ [mm] (\varepsilon) [/mm] $ da aus diesen
> beiden Vektoren der dritte gebildet werden kann. Ich stehe
> hier aber trotzdem irfgendwie auf dem Schlauch. Ich
> verstehe noch nicht so ganz was ich hier rechnen soll....
Da E linear abhängig ist, ist schonmal dim (span(E)) $ [mm] \le [/mm] $ 2.
$ [mm] x^{4}+1, [/mm] $ und x-1 sind linear unabhängig. Zeige das zu Fuss: zeige: aus a,b $ [mm] \in \IR [/mm] $ und
$ [mm] a(x^4+1)+b(x-1)= [/mm] $ Nullpolynom folgt a=b=0.
Mir ist hier nur nicht klar wie ich das rechnen soll. Kann ich hier mit einem Koeffizientenvergleich etwas ausrichten?
>
>
> zu d)
>
> Eine Basis vom $ [mm] span(\varepsilon) [/mm] $ ist $ [mm] x^{4}+1 [/mm] $ und x-1
Ja, da $ [mm] x^{4}+1 [/mm] $ und x-1 lin unabhängig sind und dim(span(E)) $ [mm] \le [/mm] $ 2 ist, folgt
dim(span(E)) = 2
Fertig
FREd
Vielen Dank schonmal! Ich hoffe ich verstehe jetzt noch was es mit c auf sich hat und wie ich es berechne.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Di 27.05.2014 | | Autor: | fred97 |
>
>
> > Gegeben sei die Menge [mm]\varepsilon \subseteq \IR_{\le4}[x],[/mm]
>
> >
> > [mm]\varepsilon={x^{4}+1, x^{4}-x+2, x-1}.[/mm]
>
> Es lautet hier und unten wohl so:
>
> [mm]\varepsilon=\{x^{4}+1, x^{4}-x+2, x-1\}.[/mm]
>
> Ab jetzt schreibe ich E statt [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> >
> >
> > a) Begründen sie kurz und ohne die Teilraumkriterien
> zu
> > bemühen, dass [mm]span(\varepsilon)[/mm] ein Teilraum des
> > Vektorraums [mm]\IR_{\le4}[x][/mm] ist.
> >
> > b) Beweisen sie, dass die Vektoren in [mm]\varepsilon[/mm] linear
> > abhängig sind.
> >
> > c) Zeigen sie, dass [mm]{x^{4}+1, x-1} \subset \varepsilon[/mm] ein
> > Erzeugendensystem von span [mm](\varepsilon)[/mm] ist.
> >
> > d) Bestimmen sie eine Basis von [mm]span(\varepsilon)[/mm] und
> geben
> > sie die Dimension von [mm]span(\varepsilon)[/mm] an.
> > Bisher habe ich folgendes:
> >
> > zu a)
> >
> > Die Menge [mm]\varepsilon={x^{4}+1, x^{4}-x, x-1}[/mm] ist ein
> > Teilraum des [mm]\IR_{\le4}[x][/mm] da die Menge aus Polynomen
> mit
> > dem höchsten Grad /le 4 besteht.
> >
> > Reicht das aus?
>
> Nein.
>
> > Ich könnte ja noch schreiben dass die
> > Menge nicht leer ist, jedoch ist das ja ein
> > Teilraumkriterium...sollte also nicht als Antwort
> erwartet
> > sein...
>
> Mir ist nicht klar, wie der Aufgabensteller sich das
> vorstellt. Es sei denn, Ihr dürft verwenden. dass die
> lineare Hülle einer Teilmenge eines Vektorraumes V ein
> Teilraum von V ist.
>
>
>
> Ja, ich denke das darf verwendet werden. Ich dachte die
> Frage zielt nur auf den Grad der Polynome. Der span(E) ist
> also ein Teilraum des [mm]\IR_{\le4}[x][/mm] da die lineare Hülle
> der Teilmenge E des Vektorraumes ein Teilraum des
> Vektorraumes ist. Klingt irgendwie umständlich.
Ganz und gar nicht ! Ist V ein Vektorraum und E eine Teilmenge von V. Dann wird zunächst definiert, was die lineare Hülle span(E) ist. Dann zeigt man: span(E) ist ein Teilraum von V. Das ist der übliche Weg
> Eine Sache
> steckt in einer Sache wenn sie in der Sache steckt :)
>
>
>
>
> >
> >
> > zu b)
> >
> > Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn in einer
> > Menge (hier [mm]\varepsilon)[/mm] ein oder mehrere Vektoren
> durch
> > Linearkombination eines anderen Vektors gebildet werden
> > können. In diesem Fall sind die Vektoren als Polynome
> > dargestellt. Die Polynome sind linear abhängig, da mit
> > [mm]x^{4}+1[/mm] und x-1 das Polynom [mm]x^{4}-x+2[/mm] gebildet werden
> > kann.
> >
> > [mm](x^{4}+1)-(x-1)=x^{4}+1-x+1=x^{4}-x+2[/mm]
>
> Richtig. Damit ist E linear abhängig.
>
> Deine weiteren Ausführungen zu diesem Aufgabenteil kannst
> Du Dir sparen.
>
>
>
> Alles klar, ist weg ;)
>
>
>
> > zu c)
> >
> > [mm]{x^{4}+1, x-1} \subset \varepsilon[/mm] ist ein
> > Erzeugendensystem von span [mm](\varepsilon)[/mm] da aus diesen
> > beiden Vektoren der dritte gebildet werden kann. Ich
> stehe
> > hier aber trotzdem irfgendwie auf dem Schlauch. Ich
> > verstehe noch nicht so ganz was ich hier rechnen
> soll....
>
> Da E linear abhängig ist, ist schonmal dim (span(E)) [mm]\le[/mm]
> 2.
>
> [mm]x^{4}+1,[/mm] und x-1 sind linear unabhängig. Zeige das zu
> Fuss: zeige: aus a,b [mm]\in \IR[/mm] und
>
> [mm]a(x^4+1)+b(x-1)=[/mm] Nullpolynom folgt a=b=0.
>
>
>
> Mir ist hier nur nicht klar wie ich das rechnen soll. Kann
> ich hier mit einem Koeffizientenvergleich etwas
> ausrichten?
Ja, genau damit !
FRED
>
>
> >
> >
> > zu d)
> >
> > Eine Basis vom [mm]span(\varepsilon)[/mm] ist [mm]x^{4}+1[/mm] und x-1
>
>
> Ja, da [mm]x^{4}+1[/mm] und x-1 lin unabhängig sind und
> dim(span(E)) [mm]\le[/mm] 2 ist, folgt
>
> dim(span(E)) = 2
>
> Fertig
>
> FREd
>
>
>
>
> Vielen Dank schonmal! Ich hoffe ich verstehe jetzt noch was
> es mit c auf sich hat und wie ich es berechne.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Di 27.05.2014 | | Autor: | fuoor |
> > zu a)
> >
> > Die Menge $ [mm] \varepsilon={x^{4}+1, x^{4}-x, x-1} [/mm] $ ist ein
> > Teilraum des $ [mm] \IR_{\le4}[x] [/mm] $ da die Menge aus Polynomen
> mit
> > dem höchsten Grad /le 4 besteht.
> >
> > Reicht das aus?
>
> Nein.
>
> > Ich könnte ja noch schreiben dass die
> > Menge nicht leer ist, jedoch ist das ja ein
> > Teilraumkriterium...sollte also nicht als Antwort
> erwartet
> > sein...
>
> Mir ist nicht klar, wie der Aufgabensteller sich das
> vorstellt. Es sei denn, Ihr dürft verwenden. dass die
> lineare Hülle einer Teilmenge eines Vektorraumes V ein
> Teilraum von V ist.
>
>
>
> Ja, ich denke das darf verwendet werden. Ich dachte die
> Frage zielt nur auf den Grad der Polynome. Der span(E) ist
> also ein Teilraum des $ [mm] \IR_{\le4}[x] [/mm] $ da die lineare Hülle
> der Teilmenge E des Vektorraumes ein Teilraum des
> Vektorraumes ist. Klingt irgendwie umständlich.
Ganz und gar nicht ! Ist V ein Vektorraum und E eine Teilmenge von V. Dann wird zunächst definiert, was die lineare Hülle span(E) ist. Dann zeigt man: span(E) ist ein Teilraum von V. Das ist der übliche Weg
Irgendwie bin ich jetzt komplett verwirrt. Was muss ich nun also machen? Ich soll zeigen, dass span(E) ein Teilraum von V ist? Nur beweist man doch den Teilraum durch die Kriterien ... welche als Beantwortung der Frage ausgeschlossen sind ...
> > zu c)
> >
> > $ [mm] {x^{4}+1, x-1} \subset \varepsilon [/mm] $ ist ein
> > Erzeugendensystem von span $ [mm] (\varepsilon) [/mm] $ da aus diesen
> > beiden Vektoren der dritte gebildet werden kann. Ich
> stehe
> > hier aber trotzdem irfgendwie auf dem Schlauch. Ich
> > verstehe noch nicht so ganz was ich hier rechnen
> soll....
>
> Da E linear abhängig ist, ist schonmal dim (span(E)) $ [mm] \le [/mm] $
> 2.
>
> $ [mm] x^{4}+1, [/mm] $ und x-1 sind linear unabhängig. Zeige das zu
> Fuss: zeige: aus a,b $ [mm] \in \IR [/mm] $ und
>
> $ [mm] a(x^4+1)+b(x-1)= [/mm] $ Nullpolynom folgt a=b=0.
>
>
>
> Mir ist hier nur nicht klar wie ich das rechnen soll. Kann
> ich hier mit einem Koeffizientenvergleich etwas
> ausrichten?
Ja, genau damit !
FRED
Ich habe jetzt dabei errechnet:
[mm] a(x^{4}+1)+b(x-1)=ax^{4}+a+bx-b
[/mm]
Und daraus ergibt sich dann für mich
[mm] x^{4}=: [/mm] a=0
x: b=0
[mm] x_{0}: [/mm] a-b=0
Woraus ich dann a=b=0 schließe. Passt das?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 Di 27.05.2014 | | Autor: | Herby |
Hallo fuoor,
du darfst "Fragen" auch ruhig als Fragen stellen und nicht nur als "Mitteilungen" 
Grüße
Herby
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Mi 28.05.2014 | | Autor: | fred97 |
>
>
> > > zu a)
> > >
>
> > > Die Menge [mm]\varepsilon={x^{4}+1, x^{4}-x, x-1}[/mm] ist ein
> > > Teilraum des [mm]\IR_{\le4}[x][/mm] da die Menge aus Polynomen
> > mit
> > > dem höchsten Grad /le 4 besteht.
> > >
>
> > > Reicht das aus?
> >
> > Nein.
> >
> > > Ich könnte ja noch schreiben dass die
> > > Menge nicht leer ist, jedoch ist das ja ein
> > > Teilraumkriterium...sollte also nicht als Antwort
> > erwartet
> > > sein...
> >
> > Mir ist nicht klar, wie der Aufgabensteller sich das
> > vorstellt. Es sei denn, Ihr dürft verwenden. dass die
> > lineare Hülle einer Teilmenge eines Vektorraumes V ein
> > Teilraum von V ist.
> >
> >
> >
> > Ja, ich denke das darf verwendet werden. Ich dachte die
> > Frage zielt nur auf den Grad der Polynome. Der span(E)
> ist
> > also ein Teilraum des [mm]\IR_{\le4}[x][/mm] da die lineare
> Hülle
> > der Teilmenge E des Vektorraumes ein Teilraum des
> > Vektorraumes ist. Klingt irgendwie umständlich.
>
>
> Ganz und gar nicht ! Ist V ein Vektorraum und E eine
> Teilmenge von V. Dann wird zunächst definiert, was die
> lineare Hülle span(E) ist. Dann zeigt man: span(E) ist ein
> Teilraum von V. Das ist der übliche Weg
>
>
>
> Irgendwie bin ich jetzt komplett verwirrt. Was muss ich nun
> also machen? Ich soll zeigen, dass span(E) ein Teilraum von
> V ist? Nur beweist man doch den Teilraum durch die
> Kriterien ... welche als Beantwortung der Frage
> ausgeschlossen sind ...
>
>
> > > zu c)
> > >
>
> > > [mm]{x^{4}+1, x-1} \subset \varepsilon[/mm] ist ein
> > > Erzeugendensystem von span [mm](\varepsilon)[/mm] da aus
> diesen
> > > beiden Vektoren der dritte gebildet werden kann. Ich
> > stehe
> > > hier aber trotzdem irfgendwie auf dem Schlauch. Ich
> > > verstehe noch nicht so ganz was ich hier rechnen
> > soll....
> >
> > Da E linear abhängig ist, ist schonmal dim (span(E))
> [mm]\le[/mm]
> > 2.
> >
> > [mm]x^{4}+1,[/mm] und x-1 sind linear unabhängig. Zeige das zu
> > Fuss: zeige: aus a,b [mm]\in \IR[/mm] und
> >
> > [mm]a(x^4+1)+b(x-1)=[/mm] Nullpolynom folgt a=b=0.
> >
> >
> >
> > Mir ist hier nur nicht klar wie ich das rechnen soll. Kann
> > ich hier mit einem Koeffizientenvergleich etwas
> > ausrichten?
>
> Ja, genau damit !
>
> FRED
>
>
>
> Ich habe jetzt dabei errechnet:
>
> [mm]a(x^{4}+1)+b(x-1)=ax^{4}+a+bx-b[/mm]
>
> Und daraus ergibt sich dann für mich
>
> [mm]x^{4}=:[/mm] a=0
> x: b=0
> [mm]x_{0}:[/mm] a-b=0
>
> Woraus ich dann a=b=0 schließe. Passt das?
Ja
FRED
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