Polynome bilden Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Di 01.04.2008 | | Autor: | tobe |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Menge der Polynome höchstens k-ten Grades [mm] (k\varepsilon{0,1,2,...}, [/mm] fest) einen Vektorraum [mm] p_{k} [/mm] darstellt. Welche Dimension hat dieser? Geben sie zwei verschiedene Basen von [mm] P_{k} [/mm] an. |
Wie ihr alle schon bemerkt habt, bin ich in Basen, Dimensionen, Unabhängigkeit nicht so fit. Hier mal meine Lösung. Bin gespannt ob was richtig ist.
Ich stelle 2 polynome auf:
X: [mm] 1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{k}
[/mm]
Y: [mm] 1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{k-1}
[/mm]
Dass sie einen Vektorraum bilden müssen folgende Eigenschaften erfüllt sein:
a,b [mm] \varepsilon \IR
[/mm]
X+Y=Y+X = wieder Polynom k-ten Grades
1X=X
a(bX)=ab(X)
(a+b)X=aX+bX
a(X+Y)=aX+aY
Der Vektorraum hat immer die k+1 Dimension
Basis1: [mm] 1,x,x^{2},...,x^{k}
[/mm]
Basis2: [mm] 2,2x,2x^{2},...,2x^{k}
[/mm]
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Ich bin mir hier sehr unsicher, da meine Beweise halt einfach so einfach und klar sind. z.B:
[mm] (a+b)X=(a+b)+(a+b)x+(a+b)x^{2}+...+(a+b)x^{k}=a+b+ax+ba+ax^{2}+bx^{2}+...+ax^{k}+bx^{k}= [/mm]
[mm] =a+ax+ax^{2}+....+ax^{k}+b+bx+bx^{2}+....+bx^{k}=aX+bX
[/mm]
passen die Beweise auf die Art und Weise?
Bei den Basen bin ich mir auch nicht sicher. Die eine ist ja nur eine Vielfache der anderen. Wie finde ich hier eine weitere andere Basis?
ch habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.pokerstrategy.com/de/forum/thread.php?threadid=324086&page=2]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 Di 01.04.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Ich bin mir hier sehr unsicher, da meine Beweise halt
> einfach so einfach und klar sind. z.B:
>
Die sind wirklich so trivial ^^
> [mm](a+b)X=(a+b)+(a+b)x+(a+b)x^{2}+...+(a+b)x^{k}=a+b+ax+ba+ax^{2}+bx^{2}+...+ax^{k}+bx^{k}=[/mm]
> [mm]=a+ax+ax^{2}+....+ax^{k}+b+bx+bx^{2}+....+bx^{k}=aX+bX[/mm]
> passen die Beweise auf die Art und Weise?
>
X ist ein Polynom, welches schon Koeffizienten besitzt, also muss es so aussehen:
[mm] (a+b)X=(a+b)(z_{1}+z_{2}x+z_{3}x^2+...)=az_{1}+bz_{1}+az_{2}x+bz_{2}x+az_{3}x^2+.....=...=aX+bX
[/mm]
>
> Bei den Basen bin ich mir auch nicht sicher. Die eine ist
> ja nur eine Vielfache der anderen. Wie finde ich hier eine
> weitere andere Basis?
>
Sobald eine Potenz in dem Vektor auftaucht, die du noch nicht hattest, dann ist dieser Vektor automatisch linear unabhängig zu den vorherigen, z.B. wär [mm] (1,x+1,x^2+x+1,x^3+x^2+x+1,...) [/mm] eine Basis, aber auch [mm] (1,x-1,x^2-x,x^3-x^2,x^4-x^3,...).
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Di 01.04.2008 | | Autor: | tobe |
Ich weiss nicht so ganz was du mit
X ist ein Polynom, welches schon Koeffizienten besitzt, also muss es so aussehen:
$ [mm] (a+b)X=(a+b)(z_{1}+z_{2}x+z_{3}x^2+...)=az_{1}+bz_{1}+az_{2}x+bz_{2}x+az_{3}x^2+.....=...=aX+bX [/mm] $
meinst. Das polynom X hat doch überall die Koeffizienten 1 oder? wie kommst du dann auf einmal auf die allgemeinen [mm] z_{1} z_{2}... [/mm] ?
Machst du das weil das andere nicht allgemein genug wäre und du mit den z alle Fälle abdeckst?
Sollte ich dann bei der Definition meiner Polynome schreiben:
[mm] X:z_{1}+z_{2}x+z_{3}x^2+...+z_{k-1}x^{k}
[/mm]
[mm] Y:w_{1}+w_{2}x+w_{3}x^2+...+w_{k-2}x^{k-1}
[/mm]
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Hallo Tobias,
Du hast doch hier den [mm] $\IR$-Vektorraum $(p_k,+)$ [/mm] (nach deiner Bezeichnung)
bekannter [mm] $(\IR[x],+)$ [/mm] von Polynomen vom Grad [mm] \le [/mm] k
Die Vektoren, mit denen du es hier zu tun hast, sind also Polynome
dh. das "X", das du da aus der allg. Definition, die für VR die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation regelt, ist ein Polynom höchstens k-ten Grades.
Bezeiche es besser als $p$ oder $q$
Wie sieht so ein Polynom p höchstens k-ten Grades mit reellen Koeffizienten aus?
Doch so: [mm] $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_mx^m$ [/mm] mit [mm] $m\le [/mm] k$ und [mm] $a_i\in\IR [/mm] \ [mm] \forall [/mm] i$
Nun musst du in dem einen Punkt zeigen, dass gilt:
[mm] $\forall a,b\in\IR \forall X=p\in p_k: [/mm] (a+b)p=ap+bp$
Also, dass für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] gilt: $(a+b)(p(x))=ap(x)+bp(x)$
Nimm dir zum Nachweis also beliebige [mm] a,b\in\IR [/mm] her und ein beliebiges Polynom [mm] p\in p_k, [/mm] etwa [mm] $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_mx^m$, $m\le [/mm] k, [mm] a_i\in\IR$
[/mm]
Dann ist für beliebiges, aber festes [mm] x\in\IR $(a+b)p(x)=(a+b)(a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_mx^m)=...=(aa_0+aa_1x+aa_2x^2+...+aa_mx^m)+(ba_0+ba_1x+ba_2x^2+...+ba_mx^m)=a(a_0+a_1x+...+a_mx^m)+b(a_0+a_1x+...+a_mx^m)=ap(x)+bp(x)$
[/mm]
Da x beliebig war, ist also $(a+b)p=ap+bp$
Die Sache ist, dass du dir ganz klar darüber werden musst, mit welchen Objekten du es hier zu tun hast.
Die abstrakten Vektoren, also die Elemente des Vektorraumes sind hier Polynome, egal, wie du sie bezeichnest, ob nun mit "X,Y" oder "p,q"
Und mache dir nochmal klar, was du alles zeigen musst:
Zum einen: Zeige, dass [mm] $(p_k,+)$ [/mm] eine abelsche Gruppe ist
(Wenn ihr bereits gezeigt habt, dass [mm] $(Abb(\IR,\IR),+)$ [/mm] eine Gruppe ist, genügt es natürlich die Untergruppeneigenschaften zu zeigen)
Zum anderen: Zeige die restlichen Eigenschaften, die die Verträglichkeit mit der skalaren Multilikation regeln (eines habe ich ja gemacht)
Für die Nachweise musst du jeweils beliebige Elemente aus [mm] $p_k$ [/mm] hernehmen:
Also etwa [mm] $X=p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_mx^m$ [/mm] und [mm] $Y=q(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+...+b_nx^n$ [/mm] mit [mm] $m,n\le [/mm] k$ und [mm] $a_i,b_i\in\IR$
[/mm]
Beachte, dass nicht $m=n$ sein muss...
Hoffe, damit kommste etwas weiter 
Lieben Gruß
schachuzipus
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