Polynome mit n Variablen < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Dimension des Vektorraumes der Polynome mit n Variablen mit Grad kleiner gleich m ist gleich [mm] \vektor{m+n \\ m}. [/mm] |
Hallo,
ich habe diese Aussage gefunden, ejdoch leider keinen Beweis dafür.
Man kann es denke ich relativ einfach über vollst. Induktion beweisen, aber das ist für diese Aussage denke ich etwas zu viel des Guten.
Kann man das irgend wie auch direkt lösen?
Ich habe mir als Ansatz überlegt, dass es ja eine Basis des VR aus Monomen gibt, also [mm] X^p [/mm] mit [mm] |p|=p_1+...+p_n \le [/mm] m.
Aber dann scheitere ich.
Dürfte aber doch eigtl. ein einfaches kombinatorisches Problem sein, oder?
Gruß
Christoph
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> Kann man das irgend wie auch direkt lösen?
Jop
> Ich habe mir als Ansatz überlegt, dass es ja eine Basis
> des VR aus Monomen gibt, also [mm]X^p[/mm] mit [mm]|p|=p_1+...+p_n \le[/mm]
> m.
Jo, und zwar haben alle Monome die Form:
[mm] $x_1^{k_1}*\ldots*x_n^{k_n}$, [/mm] wobei [mm] $k_1,...,k_n \in \{0,...,m\}$
[/mm]
D.h. wieviele Möglichkeiten gibt es für n Variablen (nämlich [mm] $k_1,\ldots,k_n$) [/mm] m+1 Werte mit Wiederholung anzunehmen.
Und jetzt grübeln 
MFG,
Gono.
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Hi und danke schon mal für die Antwort.
Ich hab leider Stochastik nicht gehört und habe quasi keine Ahnung von Kombinatorik.
Die Lösung ist ja klar, aber mir entzieht sich immer noch, warum das so ist.
Ein bisschen direkterer Tipp wäre schon nützlich :)
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Huhu,
> Die Lösung ist ja klar, aber mir entzieht sich immer
> noch, warum das so ist.
Das liegt vielleicht daran, dass die Lösung falsch ist? Zumindest die von dir angegebene.
Nimm bspw. 2 Variablen und Grad [mm] \le [/mm] 1.
Eine Basis wäre: [mm] $\{1,x,y,xy\}$ [/mm] und damit Dimension 4
Es gilt aber: $ [mm] \vektor{m+n \\ m} [/mm] = [mm] \vektor{1+2 \\ 1} [/mm] = [mm] \bruch{3!}{2!} [/mm] = 3$
Die Anzahl an Möglichkeiten n mal aus m+1 Möglichkeiten zu ziehen ist [mm] ${(m+1)}^n$, [/mm] hier also [mm] (1+1)^2 [/mm] = 4, was korrekt ist.
MFG,
Gono.
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Bei zwei Variablen und Grad [mm]\leq 1[/mm] ist [mm]\left\{ 1,x,y \right\}[/mm] eine Basis. Und die hat 3 Elemente, was zu [mm]{{1+2} \choose 1} = 3[/mm] paßt.
Bei zwei Variablen und Grad [mm]\leq 2[/mm] ist [mm]\left\{ 1,x,y,xy,x^2,y^2 \right\}[/mm] eine Basis mit 6 Elementen. Und auch das stimmt mit [mm]{{2+2} \choose 2} = 6[/mm] überein.
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Es sind alle [mm]n[/mm]-Tupel [mm]\left( k_1 , k_2 , \ldots , k_n \right)[/mm] ganzer Zahlen [mm]\geq 0[/mm] mit [mm]s = k_1 + k_2 + \ldots + k_n \leq m[/mm] gesucht.
Es gibt [mm]{{n-1+s} \choose s}[/mm] solcher [mm]n[/mm]-Tupel mit Summenwert [mm]s[/mm], also sind es insgesamt
[mm]{{n-1} \choose 0} + {n \choose 1} + {{n+1} \choose 2} + {{n+2} \choose 3} + \ldots + {{n-1+m} \choose m} = {{n+m} \choose m}[/mm]
solcher [mm]n[/mm]-Tupel.
Die Formel beweist man, indem man den ersten Summanden gleichwertig durch [mm]{n \choose 0}[/mm] ersetzt, dann die ersten beiden Summanden zusammenfaßt:
[mm]{n \choose 0} + {n \choose 1} = {{n+1} \choose 1}[/mm] (Pascalsches Dreieck)
dann den dritten Summanden dazunimmt:
[mm]{{n+1} \choose 1} + {{n+1} \choose 2} = {{n+2} \choose 2}[/mm] (Pascalsches Dreieck)
und so weiter, bis man schließlich alle Summanden von vorne abgearbeitet hat und bei
[mm]{{n-1+m} \choose {m-1}} + {{n-1+m} \choose m} = {{n+m} \choose m}[/mm] (Pascalsches Dreieck)
ankommt.
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Ich hätte eine weitere wesentlich kürzere Argumentation anzubieten.
Man kann ja jede Summe nichtnegativer ganzer Zahlen mit Summe [mm]\leq m[/mm] durch einen weiteren Summanden, der die fehlende Differenz enthält, auf den Summenwert [mm]m[/mm] bringen. Es gibt also genau so viele [mm]n[/mm]-Tupel [mm]\left( k_1,k_2,\ldots,k_n \right)[/mm] mit Summe [mm]\leq m[/mm] wie [mm](n+1)[/mm]-Tupel [mm]\left( k_1,k_2,\ldots,k_n,k_{n+1} \right)[/mm] mit Summe [mm]=m[/mm]. Und das sind gerade
[mm]{{(n+1-1)+ m} \choose m} = {{n+m} \choose m}[/mm]
Stück.
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Hi und Danke.
Ich verstehe beide Ansätze, also zumindest fast.
Woher stammt die Formel [mm] \vektor{n-1+m \\ m} [/mm] ?
Der Rest ist klar.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 10.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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