Polynome/polynomdivision < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Betrachtet werde das folgende Polynom f(x)= [mm] (3x^4)-(x^3)-(x^2)-x-4 [/mm] . Berechnen Sie alle (reelen) Nullstellen von f und geben Sie die komplette Faktorisierung des Polynoms an. Benutzen Sie mindestens einmal die Polynomdivision und einmal das Hornerschema, um die Linearfaktoren zu erhalten. Hinweis: Benutzen Sie den Satz über rationale Nullstellen. Skizzieren Sie nur aus den Nullstelleninformationen das Polynom f und erläutern Sie kurz Ihr Vorgehen. |
Hallo.
Wie gesagt ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Da es ein Polynom 4ten Grades ist, war für mich die einzige Möglichkeit die Aufgabe zu lösen, diesen Term auf einen Term 3ten Grades zu bringen. Ich habe also eine Nullstelle geraten bei -1 . Dann den ganzen Term mit der Polynomdivision durch (x+1) dividiert und kam auf folgendes:
[mm] (3x^3)-(4x^2)+(3x)-4
[/mm]
Soweit richtig?
Nun dachte ich mir wende ich nochmal die Polynomdivision an und danach kann man dann die pq-Formel anwenden. Das Problem ist aber bei diesem Term lässt sich nun keine Nullstelle mehr raten. Nun stehe ich auf dem Schlauch wie gehts weiter?
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Grüße
Matze
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Matze2009,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Betrachtet werde das folgende Polynom f(x)=
> [mm](3x^4)-(x^3)-(x^2)-x-4[/mm] . Berechnen Sie alle (reelen)
> Nullstellen von f und geben Sie die komplette
> Faktorisierung des Polynoms an. Benutzen Sie mindestens
> einmal die Polynomdivision und einmal das Hornerschema, um
> die Linearfaktoren zu erhalten. Hinweis: Benutzen Sie den
> Satz über rationale Nullstellen. Skizzieren Sie nur aus
> den Nullstelleninformationen das Polynom f und erläutern
> Sie kurz Ihr Vorgehen.
> Hallo.
>
> Wie gesagt ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
>
> Da es ein Polynom 4ten Grades ist, war für mich die
> einzige Möglichkeit die Aufgabe zu lösen, diesen Term auf
> einen Term 3ten Grades zu bringen. Ich habe also eine
> Nullstelle geraten bei -1 . Dann den ganzen Term mit der
> Polynomdivision durch (x+1) dividiert und kam auf
> folgendes:
>
> [mm](3x^3)-(4x^2)+(3x)-4[/mm]
>
> Soweit richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun dachte ich mir wende ich nochmal die Polynomdivision an
> und danach kann man dann die pq-Formel anwenden. Das
> Problem ist aber bei diesem Term lässt sich nun keine
> Nullstelle mehr raten. Nun stehe ich auf dem Schlauch wie
> gehts weiter?
Aus dem Polynom
[mm](3x^3)-(4x^2)+(3x)-4[/mm]
kannst Du einen gemeinsamem Faktor ausklammern.
>
> Für Hilfe wäre ich sehr dankbar.
>
> Grüße
>
> Matze
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower.
danke für die Antwort erstmal. Das Problem ist, verstehe ich die Aufgabe jetzt richtig?! Ich verstehe das so das ich in einem Rechenweg um auf die Lösung zu kommen, Polynomdivision und Hornerschema anwenden soll. Da ich ja jetzt Polynomdivision gemacht habe müsste ich ja jetz Hornerschema anwenden oder lieg ich da falsch?
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Hallo Matze2009,
> Hallo MathePower.
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> danke für die Antwort erstmal. Das Problem ist, verstehe
> ich die Aufgabe jetzt richtig?! Ich verstehe das so das ich
> in einem Rechenweg um auf die Lösung zu kommen,
> Polynomdivision und Hornerschema anwenden soll. Da ich ja
> jetzt Polynomdivision gemacht habe müsste ich ja jetz
> Hornerschema anwenden oder lieg ich da falsch?
Polynomdivision und Hornerschema sind im Fall der Nullstelle äquivalent.
Schreibst Du das Hornerschema auf, so ergibt sich:
[mm]\begin{matrix} \ & 3 & -1 & -1 & -1 & -4 \\ -1 & 0 & -3 & 3 & -3 & 4 \\ \ & \blue{3} & \blue{-4} & \blue{3} & \blue{-4} & 0 \end{matrix}[/mm]
Nun sind die blau unterlegten Koeffizienten
gerade die, die Du auch bei der Polynomdivision erhalten hast.
Gruss
MathePower
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Stimmt du hast Recht
Aber wie mach in dann nun trotzdem weiter?
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Hallo Matze2009,
> Stimmt du hast Recht
>
> Aber wie mach in dann nun trotzdem weiter?
Bei dem übriggebliebenen Polynom
[mm]3*x^{3}-4*x^{2}+3*x^{1}-4*x^{0}[/mm]
kann man einen linearen Faktor ausklammern.
Betrachte hierzu die Koeffizienten vor [mm]x^{3}[/mm] und [mm]x^{1}[/mm]
bzw. vor [mm]x^{2}[/mm] und [mm]x^{0}[/mm]
Gruss
MathePower
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Hmm ich stehe irgendwie auffem Schlauch. Weil es muss ja ein verfahren geben mit dem ich jetzt weiter rechne oder worauf sich dieses Ausklammern bezieht?!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Fr 20.11.2009 | | Autor: | glie |
Hallo,
was MathePower meint ist folgendes:
[mm] $3x^3-4x^2+3x-4=x^2*(3x-4)+3x-4$
[/mm]
Siehst du jetzt, dass du ausklammern kannst?
Gruß Glie
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Hallo Glie.
Ja jetzt sehe ich das ich ausklammern kann aber mein Problem ist einfach wie ich nach dieser Polynomdivision oder dem Hornaschema und dieser Ausklammerung nun weiter mache
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> Hallo Glie.
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> Ja jetzt sehe ich das ich ausklammern kann aber mein
> Problem ist einfach wie ich nach dieser Polynomdivision
> oder dem Hornaschema und dieser Ausklammerung nun weiter
> mache
naja
$ [mm] 3x^3-4x^2+3x-4=x^2\cdot{}(3x-4)+3x-4 [/mm] $
hier kannst du nochmal ausklammern:
[mm] (x^2+1)*(3x-4)
[/mm]
den ersten term kann man in [mm] \IR [/mm] nicht weiter zerlegen, und den hinteren bringt man dann in die form, in der man die nullstelle schöner ablesen kann:
[mm] (x^2+1)3*(x-4/3)
[/mm]
so wieviele und welche nullstellen kannst du nun ablesen?
gruß tee
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:53 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Matze2009 |
Hallo tee.
Also ich kann dort nur eine Nullstelle ablesen und das sind 4/3 bzw 1,3333333... . Da die erste KLammer niemals 0 werden wird.
Mir gehts nur darum wie ich vorgehen muss, weil in einer KLausur muss ich ja auch nen System haben und deswegen wusste ich nicht wie es weiter geht. Normalerweise macht man ja nur Polynomdivision und dann pq-Formel was hier ja nicht ging weil man bei dem Term nach der Polynomdivision keine Nullstelle raten konnte.
Schreibt man, wenn man etwas ausgeklammert hat es direkt dort so hin bei Polynomen oder gibts dafür einen Rechenweg?
Also wie gesagt sehe nur eine Nullstelle 4/3
Und wie gesagt man achte auf die Aufgabenstellung. Benutzen Sie MINDESTENS einmal die Polynomdivision und einmal das Hornerschema um alle Linearfaktoren zu erhalten. Bisher habe ich ja nur die Polynomdivision benutzt.
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Sooo nachdem ich jetzt gestern genau bis 4:53 Uhr morgens an dieser Aufgabe saß habe ich mich zum Matheprofessor entwickelt*g* Nein Spaß also nun bin ich auf folgende Lösung gekommen.
Wie gesagt ich beginne mit Raten der Nullstelle und mache dann Polynomdivision durch (x+1)
Dann kommt man ja auf die Formel:
[mm] (3x^3)-(4x^2)+3x-4
[/mm]
So jetz haben einige geantwortet ich solle ausklammern allerdings weiter damit gekommen bin ich auch nicht. Nun habe ich stundenlang gesucht,geschaut,probiert.
Nun auf folgendes gekommen. Ich benutze einfach die Cardanische Formel [mm] (x^3)+r(x^2)+sx+t
[/mm]
Dafür teile ich erstmal diese Gleichung oben durch 3 und bringe sie damit auf die Normalform dort steht dann:
[mm] (x^3) [/mm] - [mm] 1,3333333333333333(x^2) [/mm] + x - 1,3333333333333333 = 0
Nun bringt man diese Gleichung auf die reduzierte Form:
mit x=y-(r/3) [mm] p=s-r^2/3 [/mm] und [mm] q=2r^3/27-sr/3+t
[/mm]
[mm] (y^3)+py+q=0
[/mm]
Rechnet man dies nun aus kommt raus:
[mm] y^3 [/mm] + 0,40740740740740744y - 1,064471879286694 = 0
Das heißt:
p=0,40740740740740744 und q=-1,064471879286694
Nun betrachtet man den Wert D= [mm] (q/2)^2+(p/3)^3
[/mm]
Nun ergibt das hier D= 0,28577960676726105
Das D größer als 0 ist benutzt man nun die Cardanische Formel.
Wenn man das alles ausrechnet ergibt das
T = 0,5345835825829868
u = 1,0217947136340702
v = -0,13290582474518076
Ich habe jetz die Rechenwege mit den ganzen komplexen Wurzeln mal weg gelassen, ich hoffe jemand kann das nachrechnen ob ich alles richtig gemacht habe.
So das heißt ja dann:
y1= u + v = 0,8888888888888894
y2 und y3 = [mm] \bruch{-(u+v)+- i\wurzel{3}(u-v)}{2} [/mm]
y2= -0,4444444444444447 - 0,9999999999999994· i
y3= -0,4444444444444447 + 0,9999999999999994· i
Nun macht man ja noch die Substitution x= y -(r/3) rückgängig durch Substraktion von r/3 .
r= r=-1,3333333333333333
Das ergibt dann folgende Lösungen als Nullstelle:
x1= 1,3333333333333333
x2= 1,5543122344752698e-17 - î
x3= 1,5543122344752698e-17 + î
Unsicher bin ich mir hier bei der schreibweise von x2 und x3 mit dem i. Was genau war nochmal i in der Formel?
Zeichnet man den Graphen, stimmen die Nullstellen auf jedenfall an den Stellen 1,33 und -1 .
Nun habe ich eine Frage...anscheinend gibt es ja nur diese 2 Nullstellen weil beim zeichnen des Graphen entdeckt man auch keine andern. Was genau sind nun diese beiden komplexen Stellen?
Die Aufgabe hieß ja geben Sie alle reelen Nullstellen an. Also ist die Lösung dann:
x0= -1
x1= 1,333333333 ?
Ich hoffe irgend jemand konnte mir folgen und kann das mal überprüfen.
Falls das richtig ist fehlen mir immernoch die anderen Teile der Aufgabe. Wie nehme ich nun die vollständige Faktorisierung vor und wie zeichne ich nur mit den Nullstellen den Graphen?
Und bitte merken, ich brauche zum Beispiel bei der Faktorisierung einen kompletten Rechenweg also nicht einfach etwas "irgendwie so machen" und auf das Ergebnis kommen
Falls das jemandem hier nicht zu viel war würde ich mich über eine Antwort freuen. Danke
Grüße
Matze
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> Sooo nachdem ich jetzt gestern genau bis 4:53 Uhr morgens
> an dieser Aufgabe saß habe ich mich zum Matheprofessor
> entwickelt*g* Nein Spaß also nun bin ich auf folgende
> Lösung gekommen.
>
> Wie gesagt ich beginne mit Raten der Nullstelle und mache
> dann Polynomdivision durch (x+1)
kennst du denn das system, dass hinter dem raten steckt?
>
> Dann kommt man ja auf die Formel:
>
> [mm](3x^3)-(4x^2)+3x-4[/mm]
>
> So jetz haben einige geantwortet ich solle ausklammern
> allerdings weiter damit gekommen bin ich auch nicht. Nun
> habe ich stundenlang gesucht,geschaut,probiert.
>
> Nun auf folgendes gekommen. Ich benutze einfach die
> Cardanische Formel [mm](x^3)+r(x^2)+sx+t[/mm]
>
> Dafür teile ich erstmal diese Gleichung oben durch 3 und
> bringe sie damit auf die Normalform dort steht dann:
>
> [mm](x^3)[/mm] - [mm]1,3333333333333333(x^2)[/mm] + x - 1,3333333333333333 =
> 0
>
> Nun bringt man diese Gleichung auf die reduzierte Form:
>
> mit x=y-(r/3) [mm]p=s-r^2/3[/mm] und [mm]q=2r^3/27-sr/3+t[/mm]
>
> [mm](y^3)+py+q=0[/mm]
>
> Rechnet man dies nun aus kommt raus:
>
> [mm]y^3[/mm] + 0,40740740740740744y - 1,064471879286694 = 0
>
> Das heißt:
>
> p=0,40740740740740744 und q=-1,064471879286694
>
> Nun betrachtet man den Wert D= [mm](q/2)^2+(p/3)^3[/mm]
>
> Nun ergibt das hier D= 0,28577960676726105
>
> Das D größer als 0 ist benutzt man nun die Cardanische
> Formel.
>
> Wenn man das alles ausrechnet ergibt das
>
> T = 0,5345835825829868
>
> u = 1,0217947136340702
>
> v = -0,13290582474518076
>
> Ich habe jetz die Rechenwege mit den ganzen komplexen
> Wurzeln mal weg gelassen, ich hoffe jemand kann das
> nachrechnen ob ich alles richtig gemacht habe.
>
> So das heißt ja dann:
>
> y1= u + v = 0,8888888888888894
>
> y2 und y3 = [mm]\bruch{-(u+v)+- i\wurzel{3}(u-v)}{2}[/mm]
>
> y2= -0,4444444444444447 - 0,9999999999999994· i
>
> y3= -0,4444444444444447 + 0,9999999999999994· i
>
> Nun macht man ja noch die Substitution x= y -(r/3)
> rückgängig durch Substraktion von r/3 .
>
> r= r=-1,3333333333333333
>
> Das ergibt dann folgende Lösungen als Nullstelle:
>
> x1= 1,3333333333333333
ja hier unsere 4/3
>
> x2= 1,5543122344752698e-17 - î
rundungsfehler durch iteration denk ich mal, lösung soll hier -i sein
>
> x3= 1,5543122344752698e-17 + î
und hier +i
>
> Unsicher bin ich mir hier bei der schreibweise von x2 und
> x3 mit dem i. Was genau war nochmal i in der Formel?
i stellt die imaginäre einheit dar, mit [mm] i^2=-1
[/mm]
>
> Zeichnet man den Graphen, stimmen die Nullstellen auf
> jedenfall an den Stellen 1,33 und -1 .
>
> Nun habe ich eine Frage...anscheinend gibt es ja nur diese
> 2 Nullstellen weil beim zeichnen des Graphen entdeckt man
> auch keine andern. Was genau sind nun diese beiden
> komplexen Stellen?
naja wir hatten ja oben einen faktor [mm] (x^2+1) [/mm] der in [mm] \IR [/mm] nicht weiter zerlegbar ist, sich in [mm] \IC [/mm] jedoch aufspalten lässt in [mm] (x-i)*(x+i)=(x^2-(i^2))=(x^2-(-1))=x^2+1
[/mm]
>
> Die Aufgabe hieß ja geben Sie alle reelen Nullstellen an.
> Also ist die Lösung dann:
>
> x0= -1
> x1= 1,333333333 ?
richtig
>
> Ich hoffe irgend jemand konnte mir folgen und kann das
> mal überprüfen.
>
ich glaube nicht, dass du die cardanischen formeln dafür hinzuziehen musstest.. es stand in der aufgabe ja was von:
"Hinweis: Benutzen Sie den Satz über rationale Nullstellen."
sagt dir das was?
siehe: http://www.mathematik.de/ger/fragenantworten/erstehilfe/nullstellenpolynome/nullstellenpolynomerational.html
dort steht halt, welche lösungen in frage kommen könnten, diese müssen jedoch einzeln einer probe unterzogen werden. und nach dem link hättest du 4/3 als eine der möglichen lösungen erhalten, ganz ohne cardanische formel
> Falls das richtig ist fehlen mir immernoch die anderen
> Teile der Aufgabe. Wie nehme ich nun die vollständige
> Faktorisierung vor und wie zeichne ich nur mit den
> Nullstellen den Graphen?
am ende hattest du ja raus:
[mm] (x+1)*(3*x-4)*(x^2+1) [/mm] als zerlegung in [mm] \IR
[/mm]
in [mm] \IC [/mm] wärs dann halt
(x+1)*(3*x-4)*(x-i)*(x+i)
zum zeichnen selbst nimmst du die zerlegung in [mm] \IR
[/mm]
[mm] (x+1)*(3*x-4)*(x^2+1)
[/mm]
hier interessieren dich ja nur die nullstellen -1 und 4/3... mit grenzwertbetrachtungen von f(x) gegen [mm] \pm\infty [/mm] kann man ja schauen von wo der graph kommt und wohin er geht.. den y-achsenabschnitt kannst du ja auch noch direkt ablesen, der rest stellt dann wohl eher nen qualitativen graphen dar
>
> Und bitte merken, ich brauche zum Beispiel bei der
> Faktorisierung einen kompletten Rechenweg also nicht
> einfach etwas "irgendwie so machen" und auf das Ergebnis
> kommen
>
> Falls das jemandem hier nicht zu viel war würde ich mich
> über eine Antwort freuen. Danke
>
> Grüße
>
> Matze
gruß tee
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Hallo fencheltee danke erstmal für die Antwort.
Nun gibts einige Sachen die ich trotzdem noch nicht verstehe
Das System bzw diesen Satz kenne ich und habe mir auf der Seite auch nochmal den Link angeschaut stimmt das ist einfacher. Ich hatte nur immer das Problem für mich war der höchste Koeffizient immer -4 aber man nimmt immer den Koeffizienten vor [mm] x^3? [/mm] Dann kam ich natürlich nie auf den Bruch 4/3 .
So nun zu meinen Fragen.
> am ende hattest du ja raus:
> [mm](x+1)*(3*x-4)*(x^2+1)[/mm] als zerlegung in [mm]\IR[/mm]
> in [mm]\IC[/mm] wärs dann halt
> (x+1)*(3*x-4)*(x-i)*(x+i)
> zum zeichnen selbst nimmst du die zerlegung in [mm]\IR[/mm]
> [mm](x+1)*(3*x-4)*(x^2+1)[/mm]
Ähm ich verstehe nicht genau wo du meinst das ich [mm] (x+1)*(3*x-4)*(x^2+1) [/mm] raus hatte?
Finde ich in meinem Rechenschritt nirgendwo. Was ist jetz nun die KOMPLETTE Faktorisierung?
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> Hallo fencheltee danke erstmal für die Antwort.
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> Nun gibts einige Sachen die ich trotzdem noch nicht
> verstehe
>
> Das System bzw diesen Satz kenne ich und habe mir auf der
> Seite auch nochmal den Link angeschaut stimmt das ist
> einfacher. Ich hatte nur immer das Problem für mich war
> der höchste Koeffizient immer -4 aber man nimmt immer den
> Koeffizienten vor [mm]x^3?[/mm] Dann kam ich natürlich nie auf den
> Bruch 4/3 .
$ [mm] f(x)=(3x^4)-(x^3)-(x^2)-x-4 [/mm] $ dann durch probieren von ganzzahligen teilern von -4 (also [mm] \pm4,\pm2,\pm1) [/mm] erkennen dass x=-1 eine nullstelle ist, dann durch polydiv oder hornerschema auf den "rest" kommen.
also [mm] f(x)=(3x^4)-(x^3)-(x^2)-x-4
[/mm]
[mm] ((3x^4)-(x^3)-(x^2)-x-4):(x+1)=3*x^3-4*x^2+3*x-4
[/mm]
also gilt weiterhin [mm] f(x)=3x^4-x^3-x^2-x-4=(3*x^3-4*x^2+3*x-4)*(x+1)
[/mm]
nun willst du den linken faktor [mm] 3*x^3-4*x^2+3*x-4 [/mm] weiter zerlegen und wendest das mit den rationalen nullstellen an..
zitat:
In Frage kommen diejenigen rationalen Zahlen p/q, deren Zähler p ein Teiler des absoluten Gliedes [mm] a_0 [/mm] und deren Nenner q ein Teiler des höchsten Koeffizienten [mm] a_n [/mm] ist, und deren Negative.
absolutes glied ist -4 und höchster koeffizient 3 (vor [mm] x^3). [/mm] damit kommen folgende lösungen in betracht:
teiler koeffizient(q): 3 hat nur die teiler 1 und 3
teiler absolutglied(p) 4 hat die teiler 4,2,1
somit sind mögliche lösungen [mm] \frac{p}{q}: \pm\frac{4}{1}, \pm\frac{4}{3}, \pm\frac{2}{1}, \pm\frac{2}{3}, \pm\frac{1}{1}, \pm\frac{1}{3}
[/mm]
die -1 kennen wir ja schon von oben 
durch ausprobieren finden wir hier nun 4/3.
mit hornerschema oder polydiv wieder rechnen (damit du die aufgabe erfüllst nimmst du nun das noch nicht genutzte schema).
wir waren ja bei [mm] f(x)=3x^4-x^3-x^2-x-4=\red{(3*x^3-4*x^2+3*x-4)}*(x+1)
[/mm]
vom roten teil wussten wir, dass x=4/3 eine nullstelle ist, also teilen wir das rote durch (x-4/3) und kommen auf nen rest von [mm] 3*x^2+3
[/mm]
die funktion f(x) lässt sich also schreiben als
[mm] f(x)=3x^4-x^3-x^2-x-4=\red(3*x^3-4*x^2+3*x-4)*(x+1)=(x-4/3)*(x+1)*\red{(3*x^2+3)}
[/mm]
beim letzten term kann man nun die 3 ausklammern damits schöner aussieht und du musst noch die pq formel anwenden, wo du dann eine negative diskriminante erhälst, ergo keine reellen lösungen. man kann aber auch "sehen", dass [mm] (x^2+1) [/mm] IMMER [mm] \ge [/mm] 0 und somit keine lösungen hat.
die komplette faktorisierung ist also:
[mm] (x-4/3)*(x+1)*3*(x^2+1)
[/mm]
wohlgemerkt nun in [mm] \IR, [/mm] in [mm] \IC [/mm] würde sich [mm] x^2+1 [/mm] wie gesagt ja noch zu (x-i)*(x+i) zerlegen lassen.. kommt drauf an, was ihr als komplett anseht? aber im aufgabentext stand ja was von reell, von daher..
>
> So nun zu meinen Fragen.
>
> > am ende hattest du ja raus:
> > [mm](x+1)*(3*x-4)*(x^2+1)[/mm] als zerlegung in [mm]\IR[/mm]
> > in [mm]\IC[/mm] wärs dann halt
> > (x+1)*(3*x-4)*(x-i)*(x+i)
> > zum zeichnen selbst nimmst du die zerlegung in [mm]\IR[/mm]
> > [mm](x+1)*(3*x-4)*(x^2+1)[/mm]
>
> Ähm ich verstehe nicht genau wo du meinst das ich
> [mm](x+1)*(3*x-4)*(x^2+1)[/mm] raus hatte?
>
> Finde ich in meinem Rechenschritt nirgendwo. Was ist jetz
> nun die KOMPLETTE Faktorisierung?
gruß tee, zur zeichnung später, ich ess mal was
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Hallo Tee
Erstmal danke und guten Appetit. Ich habe nun soweit alles verstanden. Ich wende bei dem letzten Term (3 * [mm] x^2 [/mm] + 3) nur die pq-Formel an um zu schauen ob dieser Faktor noch eine Nullstelle hat oder?
So dann zu dem letzten Teil der Zeichnung?
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Hallo, bei [mm] 3x^{2}+3 [/mm] solltest du eigentlich sofort erkennen, es gibt keine reelle Nullstelle, Steffi
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Hallo Steffi danke für die Antwort.
Wie gesagt ich fragte nur weil unser Dozent ein bisschen pingelig ist und alles kommentiert werden muss oder nicht. Deswegen wollte ich wissen ob man nur die pq-Formel im letzten Faktor nimmt um eben zu zeigen das es keine Nullstelle gibt.
Zu der Zeichnung wollte Tee mir ja noch antworten
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> Hallo Steffi danke für die Antwort.
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> Wie gesagt ich fragte nur weil unser Dozent ein bisschen
> pingelig ist und alles kommentiert werden muss oder nicht.
> Deswegen wollte ich wissen ob man nur die pq-Formel im
> letzten Faktor nimmt um eben zu zeigen das es keine
> Nullstelle gibt.
naja man würde eher schreiben [mm] \underbrace{x^2+1}_{\ge1}
[/mm]
>
> Zu der Zeichnung wollte Tee mir ja noch antworten
naja das mit der zeichnung ist ziemlich unglücklich wie ich finde.. nen graphen grösser 2. ordnung kann man nur sehr ungenau zeichnen.. ausser den nullstellen und dem verhalten im unendlichen weisst du gar nichts.. selbst die extrema zu bestimmen wäre ziemlich hässlich..
du kannst quasi nur nen von [mm] \infty [/mm] kommenden graphen im 2. quadranten malen, der dann durch die die nullstelle [mm] x_0=-1 [/mm] geht, und durch [mm] x_0=4/3 [/mm] wieder nach [mm] \infty [/mm] im 1. quadranten wandert.. den y-achsenabschnitt kannst du auch noch unterbringen, mehr geht mit den informationen nicht, und selbst eine wertetabelle wäre noch zu umfangreich (ausser du nutzt die ergebnisse vom überprüfen der möglichen lösungen, dann hast du evtl 5-10 werte ^^)
gruß tee
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Woher weiß ich nochmal genau ob eine Funktion von -oo oder +oo kommt und aus welchem Quadranten zu welchem geht?
Wenn man die Funktion zeichnen lässt, dann hat sie fast ganz unten am Wendepunkt so einen kleinen buckel, den man ja dann garnicht skizzieren kann.
Habe ich irgendeine Information bis zu welchem -y Wert die Funktion nach unten geht?
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> Woher weiß ich nochmal genau ob eine Funktion von -oo oder
> +oo kommt und aus welchem Quadranten zu welchem geht?
$ [mm] f(x)=3x^4-x^3-x^2-x-4 [/mm] $
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} [/mm] f(x)
[mm] \limes_{x\rightarrow +\infty} [/mm] f(x)
nun höchsten grad [mm] (x^4) [/mm] ausklammern und gw betrachten, oder einfach merken, dass der koeffizient vom höchsten grad ausschlaggebend ist..
hier ist der höchste grad [mm] x^4, [/mm] der koeffizient positiv, somit kommt und geht er nach [mm] \infty
[/mm]
bei [mm] g(x)=-x^3+2x^2+x+5
[/mm]
wärs ein ungerader höchster grad [mm] (x^3) [/mm] mit negativem koeffizient..
graph kommt von [mm] \infty [/mm] und geht nach [mm] -\infty
[/mm]
[mm] h(x)=x^3+2x^2+x+5
[/mm]
käme von [mm] -\infty [/mm] und ginge nach [mm] \infty
[/mm]
[mm] i(x)=-3x^4-x^3-x^2-x-4
[/mm]
entsprechend käme von [mm] -\infty [/mm] und geht wieder nach [mm] -\infty
[/mm]
>
> Wenn man die Funktion zeichnen lässt, dann hat sie fast
> ganz unten am Wendepunkt so einen kleinen buckel, den man
> ja dann garnicht skizzieren kann.
mit information über lok. extrema sowie wendepunkte könntest du diesen buckel ein wenig ausarbeiten, wobei die extrema-gleichung vom grad 3 wär, also auch ohne cardano nicht lösbar
>
> Habe ich irgendeine Information bis zu welchem -y Wert die
> Funktion nach unten geht?
wenn lok. extrema bekannt wären ja
gruß tee
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Okay dankeschön. Vielleicht werde ich dann mal schauen was andere bei der Skizze gezeichnet haben.
Also vielen Dank für die Hilfe
Dann werde ich mich später oder besser morgen mal daran machen das hier errechnete irgendwie sauber auf ein Blatt Papier zu bekommen
Grüße
Matze
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Hallo, mit Funkyplot
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Steffi.
Das ist ja alles schön und gut Diesen Graphen habe ich auch schon so zeichnen lassen, das Problem ist nur die Aufgabenstellung.
"Skizzieren Sie nur aus den Nullstelleninformationen die Funktion"
Das heißt keine Wertetabelle, kein Programm etc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:33 Di 24.11.2009 | | Autor: | glie |
Das Skizzieren ist bei Polynomfunktionen eigentlich ganz einfach. Entscheidend ist immer die höchste vorkommende Potenz von x.
Ist deren Exponent gerade, so gilt:
Vorzahl vor der höchsten Potenz von x positiv, dann verläuft der Graph "von links oben nach rechts oben"
(Bsp: [mm] $f(x)=\bruch{1}{2}x^4-3x^3+7x-1$)
[/mm]
Vorzahl vor der höchsten Potenz von x negativ, dann verläuft der Graph "von links unten nach rechts unten"
(Bsp: [mm] $f(x)=-x^6+x^5-3x^2+4$)
[/mm]
Ist der Exponent der der höchsten Potenz von x ungerade, dann gilt:
Vorzahl positiv - Verlauf "von links unten nach rechts oben"
(Bsp: [mm] $f(x)=2x^3-3x^2+4x-5$)
[/mm]
Vorzahl negativ - Verlauf "von links oben nach rechts unten"
(Bsp: [mm] $f(x)=-\bruch{1}{10}x^5+x^4-3x^2+3$)
[/mm]
Bei den Nullstellen ist deren Vielfachheit entscheidend:
einfache Nullstelle: Graph schneidet die x-Achse
doppelte, vierfache, sechsfache,.. Nullstelle: Graph berührt die x- Achse ohne Vorzeichenwechsel, d.h. automatisch entsteht Hoch- oder Tiefpunkt.
dreifache, fünffache, siebenfache,... Nullstelle: Graph berührt die x-Achse mit Vorzeichenwechsel, d.h. automatich entsteht Terrassenpunkt (ebenfalls ein Wendepunkt)
Kommst du damit jetzt klar?
Gruß Glie
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So und zu dem zeichnen, ich weiß wie man bei einer quadratischen Funktion zu dem scheitelpunkt kommt wenn man die Nullstellen hat usw. und man diese Funktion dann zeichnen kann. Aber bei nem Polynom 4ten Grades habe ich keine Ahnung wie ich zu dem Verlauf der Kurve komme?!
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Hallo, hier hilft die gute alte Wertetabelle oder ![[]](/images/popup.gif) Funkyplot Steffi
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