Polynomfunktionen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei V der von 1, x, [mm] x^{2} [/mm] im Raum aller Polynomfunktionen über [mm] \IR [/mm] erzeugte Untervektorraum (Schreibweise siehe Aufgabenblatt9: dort steht <1, x, [mm] x^{2}>=<1, [/mm] x+1, [mm] x^{2}+x+1>) [/mm] und U der von [mm] x^{2}-3x+2 [/mm] in V erzeugten Untervektoraum.
(i) Man bestimme eine Basis V/U.
(ii) Man stelle [mm] (2x^{2}-5x+7)+U [/mm] als Linearkombination der in (i) bestimmten Basiselemente dar. |
hallo mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass wir im Zusammenhang mit Quotientenräumen nie von Basen geredet haben...
Allgemein ist ein Polynom ja:
[mm] a_{0}+ a_{1} x+...+a_{n} x^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k} x^{k}
[/mm]
mein Problem das das Thema nirgendswo vorkommt weder im Skript noch in meinen Mitschriften..von daher bin ich etwas irritiert wie finde ich denn hier die Basis?...
LG Schmetterfee
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> Sei V der von 1, x, [mm]x^{2}[/mm] im Raum aller Polynomfunktionen
> über [mm]\IR[/mm] erzeugte Untervektorraum (Schreibweise siehe
> Aufgabenblatt9: dort steht <1, x, [mm]x^{2}>=<1,[/mm] x+1,
> [mm]x^{2}+x+1>)[/mm] und U der von [mm]x^{2}-3x+2[/mm] in V erzeugten
> Untervektoraum.
> (i) Man bestimme eine Basis V/U.
> (ii) Man stelle [mm](x^{2}-5x+7)+U[/mm] als Linearkombination der
> in (i) bestimmten Basiselemente dar.
> hallo mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass wir im
> Zusammenhang mit Quotientenräumen nie von Basen geredet
> haben...
Hallo,
aber es ist klar, daß es eine Basis gibt. Warum?
Normalerweise zeigt man in der Hausübung oder in der Klausur, daß, sofern [mm] (b_1,....,b_n) [/mm] eine Basis von V ist und [mm] (b_{k}, ,...,b_n) ,k\le [/mm] n, eine des Unterraumes U,
dann [mm] (b_1+U, b_2+U,...,b__{k-1}+U) [/mm] eine Basis von V/U ist.
Kannst Du ja mal versuchen.
> Allgemein ist ein Polynom ja:
> [mm]a_{0}+ a_{1} x+...+a_{n} x^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{k} x^{k}[/mm]
Bei Deiner Aufgabe allerdings haben die Polynome den Höchstgrad 2.
Was ist die Dimension des VRes der Polynome vom Höchstgrad 2?
> mein Problem das das Thema nirgendswo vorkommt weder im
> Skript noch in meinen Mitschriften..von daher bin ich etwas
> irritiert wie finde ich denn hier die Basis?...
Du siehst es oben:
ergänze eine Basis von U zu einer Basis von V. Mit diesen Ergänzungsvektoren kannst Du Dir dann wie oben eine Basis von V/U aufstellen.
Gruß v. Angela
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> > Sei V der von 1, x, [mm]x^{2}[/mm] im Raum aller Polynomfunktionen
> > über [mm]\IR[/mm] erzeugte Untervektorraum (Schreibweise siehe
> > Aufgabenblatt9: dort steht <1, x, [mm]x^{2}>=<1,[/mm] x+1,
> > [mm]x^{2}+x+1>)[/mm] und U der von [mm]x^{2}-3x+2[/mm] in V erzeugten
> > Untervektoraum.
> > (i) Man bestimme eine Basis V/U.
> > (ii) Man stelle [mm](x^{2}-5x+7)+U[/mm] als Linearkombination
> der
> > in (i) bestimmten Basiselemente dar.
> > hallo mein Problem bei dieser Aufgabe ist, dass wir im
> > Zusammenhang mit Quotientenräumen nie von Basen geredet
> > haben...
>
> Hallo,
>
> aber es ist klar, daß es eine Basis gibt. Warum?
>
Naja es muss doch eine Basis geben, weil V/U ja ein Vektorraum ist und jeder Vektorraum besitzt doch eine Basis oder nicht?
> Normalerweise zeigt man in der Hausübung oder in der
> Klausur, daß, sofern [mm](b_1,....,b_n)[/mm] eine Basis von V ist
> und [mm](b_{k}, ,...,b_n) ,k\le[/mm] n, eine des Unterraumes U,
> dann [mm](b_1+U, b_2+U,...,b__{k-1}+U)[/mm] eine Basis von V/U
> ist.
> Kannst Du ja mal versuchen.
>
> > Allgemein ist ein Polynom ja:
> > [mm]a_{0}+ a_{1} x+...+a_{n} x^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{k} x^{k}[/mm]
>
> Bei Deiner Aufgabe allerdings haben die Polynome den
> Höchstgrad 2.
> Was ist die Dimension des VRes der Polynome vom
> Höchstgrad 2?
>
Die Dimension des Vr ist in meinem Fall 3 (Höchstgrad des Polynoms+1)
> > mein Problem das das Thema nirgendswo vorkommt weder im
> > Skript noch in meinen Mitschriften..von daher bin ich etwas
> > irritiert wie finde ich denn hier die Basis?...
>
> Du siehst es oben:
>
> ergänze eine Basis von U zu einer Basis von V. Mit diesen
> Ergänzungsvektoren kannst Du Dir dann wie oben eine Basis
> von V/U aufstellen.
>
Könnte man für U die allegemeins Basis der monomene nehmen:{1,x [mm] x^{2}\}??
[/mm]
LG Schmetterfee
> Gruß v. Angela
>
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> > > Sei V der von 1, x, [mm]x^{2}[/mm] im Raum aller Polynomfunktionen
> > > über [mm]\IR[/mm] erzeugte Untervektorraum (Schreibweise siehe
> > > Aufgabenblatt9: dort steht <1, x, [mm]x^{2}>=<1,[/mm] x+1,
> > > [mm]x^{2}+x+1>)[/mm] und U der von [mm]x^{2}-3x+2[/mm] in V erzeugten
> > > Untervektoraum.
> > > (i) Man bestimme eine Basis V/U.
> > > (ii) Man stelle [mm](x^{2}-5x+7)+U[/mm] als Linearkombination
> > der
> > > in (i) bestimmten Basiselemente dar.
> > aber es ist klar, daß es eine Basis gibt. Warum?
> >
> Naja es muss doch eine Basis geben, weil V/U ja ein
> Vektorraum ist und jeder Vektorraum besitzt doch eine Basis
> oder nicht?
Hallo,
genau.
> > Normalerweise zeigt man in der Hausübung oder in der
> > Klausur, daß, sofern [mm](b_1,....,b_n)[/mm] eine Basis von V ist
> > und [mm](b_{k}, ,...,b_n) ,k\le[/mm] n, eine des Unterraumes U,
> > dann [mm](b_1+U, b_2+U,...,b__{k-1}+U)[/mm] eine Basis von V/U
> > ist.
> > Kannst Du ja mal versuchen.
> >
> > > Allgemein ist ein Polynom ja:
> > > [mm]a_{0}+ a_{1} x+...+a_{n} x^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{k} x^{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Die Dimension des Vr ist in meinem Fall 3 (Höchstgrad des
> Polynoms+1)
Ja. Und (1,x,x^2) ist eine Basis dieses Raumes.
>
>
> > > wie finde ich denn hier die Basis?...
> >
> > Du siehst es oben:
> >
> > ergänze eine Basis von U zu einer Basis von V. Mit diesen
> > Ergänzungsvektoren kannst Du Dir dann wie oben eine Basis
> > von V/U aufstellen.
> >
>
> Könnte man für U die allegemeins Basis der monomene
> nehmen:{1,x [mm]x^{2}\}??[/mm]
Natürlich nicht!
U wird erzeugt von einem (!) Polynom. Da kann die Basis von U doch nicht drei Elemente haben.
Was also ist eine Basis von U?
Diese ergänze dann zu einer Basis von V.
Gruß v. Angela
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> > > > Sei V der von 1, x, [mm]x^{2}[/mm] im Raum aller Polynomfunktionen
> > > > über [mm]\IR[/mm] erzeugte Untervektorraum (Schreibweise siehe
> > > > Aufgabenblatt9: dort steht <1, x, [mm]x^{2}>=<1,[/mm] x+1,
> > > > [mm]x^{2}+x+1>)[/mm] und U der von [mm]x^{2}-3x+2[/mm] in V erzeugten
> > > > Untervektoraum.
> > > > (i) Man bestimme eine Basis V/U.
> > > > (ii) Man stelle [mm](x^{2}-5x+7)+U[/mm] als
> Linearkombination
> > > der
> > > > in (i) bestimmten Basiselemente dar.
>
> > > aber es ist klar, daß es eine Basis gibt. Warum?
> > >
> > Naja es muss doch eine Basis geben, weil V/U ja ein
> > Vektorraum ist und jeder Vektorraum besitzt doch eine Basis
> > oder nicht?
>
> Hallo,
>
> genau.
>
> > > Normalerweise zeigt man in der Hausübung oder in der
> > > Klausur, daß, sofern [mm](b_1,....,b_n)[/mm] eine Basis von V ist
> > > und [mm](b_{k}, ,...,b_n) ,k\le[/mm] n, eine des Unterraumes U,
> > > dann [mm](b_1+U, b_2+U,...,b__{k-1}+U)[/mm] eine Basis von
> V/U
> > > ist.
> > > Kannst Du ja mal versuchen.
> > >
> > > > Allgemein ist ein Polynom ja:
> > > > [mm]a_{0}+ a_{1} x+...+a_{n} x^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{k} x^{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
>
> >
>
> > Die Dimension des Vr ist in meinem Fall 3 (Höchstgrad des
> > Polynoms+1)
>
> Ja. Und (1,x,x^2) ist eine Basis dieses Raumes.
>
> >
> >
> > > > wie finde ich denn hier die Basis?...
> > >
> > > Du siehst es oben:
> > >
> > > ergänze eine Basis von U zu einer Basis von V. Mit diesen
> > > Ergänzungsvektoren kannst Du Dir dann wie oben eine Basis
> > > von V/U aufstellen.
> > >
> >
> > Könnte man für U die allegemeins Basis der monomene
> > nehmen:{1,x [mm]x^{2}\}??[/mm]
>
> Natürlich nicht!
>
> U wird erzeugt von einem (!) Polynom. Da kann die Basis von
> U doch nicht drei Elemente haben.
>
> Was also ist eine Basis von U?
>
aber wie komm ich denn auf die Basis eines Polynoms...von meiner Logik her würde ich sagen, die Basis von U={2} stimmt das?
LG Schmetterfee
> Diese ergänze dann zu einer Basis von V.
>
> Gruß v. Angela
>
>
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> > > > > Sei V der von 1, x, [mm]x^{2}[/mm] im Raum aller Polynomfunktionen
> > > > > über [mm]\IR[/mm] erzeugte Untervektorraum (Schreibweise siehe
> > > > > Aufgabenblatt9: dort steht <1, x, [mm]x^{2}>=<1,[/mm] x+1,
> > > > > [mm]x^{2}+x+1>)[/mm] und U der von [mm]x^{2}-3x+2[/mm] in V erzeugten
> > > > > Untervektoraum.
> > > > > (i) Man bestimme eine Basis V/U.
> > > > > (ii) Man stelle [mm](x^{2}-5x+7)+U[/mm] als
> > Linearkombination
> > > > der
> > > > > in (i) bestimmten Basiselemente dar.
> > > > > wie finde ich denn hier die Basis von V/U?...
> > > >
> > > > Du siehst es oben:
> > > >
> > > > ergänze eine Basis von U zu einer Basis von V. Mit diesen
> > > > Ergänzungsvektoren kannst Du Dir dann wie oben eine Basis
> > > > von V/U aufstellen.
> > U wird erzeugt von einem (!) Polynom. Da kann die Basis von
> > U doch nicht drei Elemente haben.
> >
> > Was also ist eine Basis von U?
> >
> aber wie komm ich denn auf die Basis eines Polynoms...von
> meiner Logik her würde ich sagen, die Basis von U={2}
> stimmt das?
Um Himmelswillen! Nein.
Also Basics: wie ist der von einem Vektor [mm] \vec{v} [/mm] erzeugte Raum, [mm] <\vec{v}>, [/mm] definiert?
Welche Elemente sind folglich in [mm] ?
[/mm]
Gruß v. Angela
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> > > > > > Sei V der von 1, x, [mm]x^{2}[/mm] im Raum aller Polynomfunktionen
> > > > > > über [mm]\IR[/mm] erzeugte Untervektorraum (Schreibweise siehe
> > > > > > Aufgabenblatt9: dort steht <1, x, [mm]x^{2}>=<1,[/mm] x+1,
> > > > > > [mm]x^{2}+x+1>)[/mm] und U der von [mm]x^{2}-3x+2[/mm] in V erzeugten
> > > > > > Untervektoraum.
> > > > > > (i) Man bestimme eine Basis V/U.
> > > > > > (ii) Man stelle [mm](x^{2}-5x+7)+U[/mm] als
> > > Linearkombination
> > > > > der
> > > > > > in (i) bestimmten Basiselemente dar.
>
> > > > > > wie finde ich denn hier die Basis von V/U?...
> > > > >
> > > > > Du siehst es oben:
> > > > >
> > > > > ergänze eine Basis von U zu einer Basis von V. Mit diesen
> > > > > Ergänzungsvektoren kannst Du Dir dann wie oben eine Basis
> > > > > von V/U aufstellen.
>
> > > U wird erzeugt von einem (!) Polynom. Da kann die Basis von
> > > U doch nicht drei Elemente haben.
> > >
> > > Was also ist eine Basis von U?
> > >
> > aber wie komm ich denn auf die Basis eines Polynoms...von
> > meiner Logik her würde ich sagen, die Basis von U={2}
> > stimmt das?
>
> Um Himmelswillen! Nein.
>
> Also Basics: wie ist der von einem Vektor [mm]\vec{v}[/mm] erzeugte
> Raum, [mm]<\vec{v}>,[/mm] definiert?
>
na der Raum enthält dann doch bloß Linearkombinationen von [mm] \vec{v}...sprich [/mm] vielfache des vektors
> Welche Elemente sind folglich in [mm]?[/mm]
>
naja dort sind alle möglichen Vielfache von [mm] x^{2}-3x+2 [/mm] drin...aber kann ein Polynom selbst die Basis von sich selbst sein?..das verwirrt mich jetzt etwas:(
LG Schmetterfee
> Gruß v. Angela
>
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Fr 22.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > > > > > Sei V der von 1, x, [mm]x^{2}[/mm] im Raum aller Polynomfunktionen
> > > > > > > über [mm]\IR[/mm] erzeugte Untervektorraum (Schreibweise siehe
> > > > > > > Aufgabenblatt9: dort steht <1, x, [mm]x^{2}>=<1,[/mm] x+1,
> > > > > > > [mm]x^{2}+x+1>)[/mm] und U der von [mm]x^{2}-3x+2[/mm] in V erzeugten
> > > > > > > Untervektoraum.
> > > > > > > (i) Man bestimme eine Basis V/U.
> > > > > > > (ii) Man stelle [mm](x^{2}-5x+7)+U[/mm] als
> > > > Linearkombination
> > > > > > der
> > > > > > > in (i) bestimmten Basiselemente dar.
> >
> > > > > > > wie finde ich denn hier die Basis von V/U?...
> > > > > >
> > > > > > Du siehst es oben:
> > > > > >
> > > > > > ergänze eine Basis von U zu einer Basis von V. Mit diesen
> > > > > > Ergänzungsvektoren kannst Du Dir dann wie oben eine Basis
> > > > > > von V/U aufstellen.
> >
> > > > U wird erzeugt von einem (!) Polynom. Da kann die Basis von
> > > > U doch nicht drei Elemente haben.
> > > >
> > > > Was also ist eine Basis von U?
> > > >
> > > aber wie komm ich denn auf die Basis eines Polynoms...von
> > > meiner Logik her würde ich sagen, die Basis von U={2}
> > > stimmt das?
> >
> > Um Himmelswillen! Nein.
> >
> > Also Basics: wie ist der von einem Vektor [mm]\vec{v}[/mm] erzeugte
> > Raum, [mm]<\vec{v}>,[/mm] definiert?
> >
> na der Raum enthält dann doch bloß Linearkombinationen
> von [mm]\vec{v}...sprich[/mm] vielfache des vektors
Richtig
> > Welche Elemente sind folglich in [mm]?[/mm]
> >
> naja dort sind alle möglichen Vielfache von [mm]x^{2}-3x+2[/mm]
> drin...
Richtig
> aber kann ein Polynom selbst die Basis von sich
> selbst sein?..das verwirrt mich jetzt etwas:(
Das sagt doch niemand. Sei $p(x) = [mm] x^2-3x+2$
[/mm]
Dann ist $ [mm] \{p \}$ [/mm] eine Basis von [mm] $U=\{ \alpha*p: \alpha \in \IR\}$
[/mm]
FRED
>
> LG Schmetterfee
> > Gruß v. Angela
> >
> >
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> > > > > > > > Sei V der von 1, x, [mm]x^{2}[/mm] im Raum aller Polynomfunktionen
> > > > > > > > über [mm]\IR[/mm] erzeugte Untervektorraum (Schreibweise siehe
> > > > > > > > Aufgabenblatt9: dort steht <1, x, [mm]x^{2}>=<1,[/mm] x+1,
> > > > > > > > [mm]x^{2}+x+1>)[/mm] und U der von [mm]x^{2}-3x+2[/mm] in V erzeugten
> > > > > > > > Untervektoraum.
> > > > > > > > (i) Man bestimme eine Basis V/U.
> > > > > > > > (ii) Man stelle [mm](x^{2}-5x+7)+U[/mm] als
> > > > > Linearkombination
> > > > > > > der
> > > > > > > > in (i) bestimmten Basiselemente dar.
> > >
> > > > > > > > wie finde ich denn hier die Basis von V/U?...
> > > > > > >
> > > > > > > Du siehst es oben:
> > > > > > >
> > > > > > > ergänze eine Basis von U zu einer Basis von V. Mit diesen
> > > > > > > Ergänzungsvektoren kannst Du Dir dann wie oben eine Basis
> > > > > > > von V/U aufstellen.
> > >
> > > > > U wird erzeugt von einem (!) Polynom. Da kann die Basis von
> > > > > U doch nicht drei Elemente haben.
> > > > >
> > > > > Was also ist eine Basis von U?
> > > > >
> > > > aber wie komm ich denn auf die Basis eines Polynoms...von
> > > > meiner Logik her würde ich sagen, die Basis von U={2}
> > > > stimmt das?
> > >
> > > Um Himmelswillen! Nein.
> > >
> > > Also Basics: wie ist der von einem Vektor [mm]\vec{v}[/mm] erzeugte
> > > Raum, [mm]<\vec{v}>,[/mm] definiert?
> > >
> > na der Raum enthält dann doch bloß Linearkombinationen
> > von [mm]\vec{v}...sprich[/mm] vielfache des vektors
>
> Richtig
>
>
> > > Welche Elemente sind folglich in [mm]?[/mm]
> > >
> > naja dort sind alle möglichen Vielfache von [mm]x^{2}-3x+2[/mm]
> > drin...
>
> Richtig
>
>
> > aber kann ein Polynom selbst die Basis von sich
> > selbst sein?..das verwirrt mich jetzt etwas:(
>
>
> Das sagt doch niemand. Sei [mm]p(x) = x^2-3x+2[/mm]
>
>
> Dann ist [mm]\{p \}[/mm] eine Basis von [mm]U=\{ \alpha*p: \alpha \in \IR\}[/mm]
>
> FRED
>
>
>
> >
> > LG Schmetterfee
> > > Gruß v. Angela
> > >
> > >
> >
aber wie ergänze ich denn [mm] [/mm] so dass es ne basis von V wird?...pack ich da einfach die Basis von V dazu sprich<1, x+1, [mm] x^{2}+x+1>
[/mm]
LG Schmetterfee
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> aber wie ergänze ich denn [mm][/mm] so dass es ne basis
> von V wird?...pack ich da einfach die Basis von V dazu
> sprich<1, x+1, [mm]x^{2}+x+1>[/mm]
Nein, das wäre dann etwas zuviel des Guten. Eine Basis
von V muss ja genau dim(V) Basisvektoren enthalten.
Zusätzlich zu [mm] x^2-3\,x+7 [/mm] brauchst du also nur zwei
weitere Vektoren (=Polynome) derart, dass die drei
untereinander linear unabhängig sind bzw. so, dass
sie zusammen den Raum V aller Polynome mit Grad
[mm] n\le2 [/mm] aufspannen.
LG Al-Chw.
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> > aber wie ergänze ich denn [mm][/mm] so dass es ne basis
> > von V wird?...pack ich da einfach die Basis von V dazu
> > sprich<1, x+1, [mm]x^{2}+x+1>[/mm]
>
>
> Nein, das wäre dann etwas zuviel des Guten. Eine Basis
> von V muss ja genau dim(V) Basisvektoren enthalten.
>
> Zusätzlich zu [mm]x^2-3\,x+7[/mm] brauchst du also nur zwei
> weitere Vektoren (=Polynome) derart, dass die drei
> untereinander linear unabhängig sind bzw. so, dass
> sie zusammen den Raum V aller Polynome mit Grad
> [mm]n\le2[/mm] aufspannen.
>
>
> LG Al-Chw.
>
>
okay..aber wie find ich die gibts da irgend ein trick?...weil ich hab erst geacht mist polynomdivision auseinander herleiten aber das klappt nicht recht...
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 Fr 22.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wir hatten
$p(x) = x^2-3x+2 $
Nimm mal an Du hättest den Vektor
$b_1=(1, -3, 2)^T}$ gegeben.
Kannst Du $\{b_1\}$ zu einer Basis des \IR^3 ergänzen ?
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> Wir hatten
>
> [mm]p(x) = x^2-3x+2[/mm]
>
> Nimm mal an Du hättest den Vektor
>
> [mm]b_1=(1, -3, 2)^T}[/mm] gegeben.
>
> Kannst Du [mm]\{b_1\}[/mm] zu einer Basis des [mm]\IR^3[/mm] ergänzen ?
Ja eine Basis von [mm] \IR^{3} [/mm] müsste doch [mm] \vektor{1 \\ -3 \\2}^{T} [/mm] , [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -3}^{T}, \vektor{-3 \\ 2 \\1}^{T} [/mm] sein doer nicht?...und wie kann ich das auf meine Aufgabe übertragen?..ist das denn auch eine Basis Für V?...natürlich müssten die vektoren dann etwas anders aussehen..
LG Schmetterfee
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> > Wir hatten
> >
> > [mm]p(x) = x^2-3x+2[/mm]
> >
> > Nimm mal an Du hättest den Vektor
> >
> > [mm]b_1=(1, -3, 2)^T}[/mm] gegeben.
> >
> > Kannst Du [mm]\{b_1\}[/mm] zu einer Basis des [mm]\IR^3[/mm] ergänzen ?
>
>
> Ja eine Basis von [mm]\IR^{3}[/mm] müsste doch [mm]\vektor{1 \\ -3 \\2}^{T}[/mm]
> , [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -3}^{T}, \vektor{-3 \\ 2 \\1}^{T}[/mm] sein
> doer nicht?...
Leider letzteres...
Woran erkennt man, ob drei Vektoren des [mm] \IR^3 [/mm] eine Basis bilden?
Gruß v. Angela
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> > > Wir hatten
> > >
> > > [mm]p(x) = x^2-3x+2[/mm]
> > >
> > > Nimm mal an Du hättest den Vektor
> > >
> > > [mm]b_1=(1, -3, 2)^T}[/mm] gegeben.
> > >
> > > Kannst Du [mm]\{b_1\}[/mm] zu einer Basis des [mm]\IR^3[/mm] ergänzen ?
> >
> >
> > Ja eine Basis von [mm]\IR^{3}[/mm] müsste doch [mm]\vektor{1 \\ -3 \\2}^{T}[/mm]
> > , [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -3}^{T}, \vektor{-3 \\ 2 \\1}^{T}[/mm] sein
> > doer nicht?...
>
> Leider letzteres...
>
> Woran erkennt man, ob drei Vektoren des [mm]\IR^3[/mm] eine Basis
> bilden?
>
> Gruß v. Angela
Naja zum einen müssen sie linear unabhängig sein...oh shit...das sind die ja gar nicht:(...
aber dann müsste doch [mm] \vektor{1 \\ -3 \\ 2}^{T}, \vektor{0 \\ 0 \\1}^{T}, \vektor{1 \\ 0 \\0}^{T} [/mm] gehen
kann ich das denn einfach auf die Aufgabe übertragen?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Fr 22.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > > Wir hatten
> > > >
> > > > [mm]p(x) = x^2-3x+2[/mm]
> > > >
> > > > Nimm mal an Du hättest den Vektor
> > > >
> > > > [mm]b_1=(1, -3, 2)^T}[/mm] gegeben.
> > > >
> > > > Kannst Du [mm]\{b_1\}[/mm] zu einer Basis des [mm]\IR^3[/mm] ergänzen ?
> > >
> > >
> > > Ja eine Basis von [mm]\IR^{3}[/mm] müsste doch [mm]\vektor{1 \\ -3 \\2}^{T}[/mm]
> > > , [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -3}^{T}, \vektor{-3 \\ 2 \\1}^{T}[/mm] sein
> > > doer nicht?...
> >
> > Leider letzteres...
> >
> > Woran erkennt man, ob drei Vektoren des [mm]\IR^3[/mm] eine Basis
> > bilden?
> >
> > Gruß v. Angela
> Naja zum einen müssen sie linear unabhängig sein...oh
> shit...das sind die ja gar nicht:(...
> aber dann müsste doch [mm]\vektor{1 \\ -3 \\ 2}^{T}, \vektor{0 \\ 0 \\1}^{T}, \vektor{1 \\ 0 \\0}^{T}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> gehen
> kann ich das denn einfach auf die Aufgabe übertragen?
Sieh mal genau hin:
$ p(x) = x^2-3x+2 $
$ b_1=(1, -3, 2)^T} $
merkst Du was ?
FRED
>
> LG Schmetterfee
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> > > > > Wir hatten
> > > > >
> > > > > [mm]p(x) = x^2-3x+2[/mm]
> > > > >
> > > > > Nimm mal an Du hättest den Vektor
> > > > >
> > > > > [mm]b_1=(1, -3, 2)^T}[/mm] gegeben.
> > > > >
> > > > > Kannst Du [mm]\{b_1\}[/mm] zu einer Basis des [mm]\IR^3[/mm] ergänzen ?
> > > >
> > > >
> > > > Ja eine Basis von [mm]\IR^{3}[/mm] müsste doch [mm]\vektor{1 \\ -3 \\2}^{T}[/mm]
> > > > , [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -3}^{T}, \vektor{-3 \\ 2 \\1}^{T}[/mm] sein
> > > > doer nicht?...
> > >
> > > Leider letzteres...
> > >
> > > Woran erkennt man, ob drei Vektoren des [mm]\IR^3[/mm] eine Basis
> > > bilden?
> > >
> > > Gruß v. Angela
> > Naja zum einen müssen sie linear unabhängig sein...oh
> > shit...das sind die ja gar nicht:(...
> > aber dann müsste doch [mm]\vektor{1 \\ -3 \\ 2}^{T}, \vektor{0 \\ 0 \\1}^{T}, \vektor{1 \\ 0 \\0}^{T}[/mm]
> > gehen
> > kann ich das denn einfach auf die Aufgabe übertragen?
>
>
>
>
>
> Sieh mal genau hin:
>
> [mm]p(x) = x^2-3x+2[/mm]
>
>
>
> [mm]b_1=(1, -3, 2)^T}[/mm]
>
> merkst Du was ?
>
ja dann müsste [mm] b_{2} [/mm] doch= (1)
und [mm] b_{3}=(x^{2})
[/mm]
geht dann <1, [mm] x^{2}, x^2-3x+2> [/mm] als Basis von V?
und jetzt muss ich daraus irgendwie ne Basis von V/U machen oder?
LG Schmetterfee
> FRED
> >
> > LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Fr 22.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > > > > Wir hatten
> > > > > >
> > > > > > [mm]p(x) = x^2-3x+2[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Nimm mal an Du hättest den Vektor
> > > > > >
> > > > > > [mm]b_1=(1, -3, 2)^T}[/mm] gegeben.
> > > > > >
> > > > > > Kannst Du [mm]\{b_1\}[/mm] zu einer Basis des [mm]\IR^3[/mm] ergänzen ?
> > > > >
> > > > >
> > > > > Ja eine Basis von [mm]\IR^{3}[/mm] müsste doch [mm]\vektor{1 \\ -3 \\2}^{T}[/mm]
> > > > > , [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -3}^{T}, \vektor{-3 \\ 2 \\1}^{T}[/mm] sein
> > > > > doer nicht?...
> > > >
> > > > Leider letzteres...
> > > >
> > > > Woran erkennt man, ob drei Vektoren des [mm]\IR^3[/mm] eine Basis
> > > > bilden?
> > > >
> > > > Gruß v. Angela
> > > Naja zum einen müssen sie linear unabhängig sein...oh
> > > shit...das sind die ja gar nicht:(...
> > > aber dann müsste doch [mm]\vektor{1 \\ -3 \\ 2}^{T}, \vektor{0 \\ 0 \\1}^{T}, \vektor{1 \\ 0 \\0}^{T}[/mm]
> > > gehen
> > > kann ich das denn einfach auf die Aufgabe
> übertragen?
> >
> >
> >
> >
> >
> > Sieh mal genau hin:
> >
> > [mm]p(x) = x^2-3x+2[/mm]
> >
> >
> >
> > [mm]b_1=(1, -3, 2)^T}[/mm]
> >
> > merkst Du was ?
> >
> ja dann müsste [mm]b_{2}[/mm] doch= (1)
> und [mm]b_{3}=(x^{2})[/mm]
> geht dann <1, [mm]x^{2}, x^2-3x+2>[/mm] als Basis von V?
Ja
FRED
> und jetzt muss ich daraus irgendwie ne Basis von V/U
> machen oder?
>
> LG Schmetterfee
> > FRED
> > >
> > > LG Schmetterfee
>
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So also ich weiß ja jetzt, dass die Basis von V [mm]
[/mm]
und das die Basis von U [mm]
[/mm]
wobei [mm] b_{1}=1
[/mm]
[mm] b_{2}= x^{2}
[/mm]
[mm] b_{3}= x^{2}-3x+2
[/mm]
und jetzt muss ich zeigen, dass [mm] [/mm] die Basis von V/U sind...
muss ich denn dazu die linear Unabhängigkeit der beiden Basenelemneten nachweisen oder was gilt es zu tun?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Fr 22.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> So also ich weiß ja jetzt, dass die Basis von V
> [mm][/mm]
> und das die Basis von U [mm][/mm]
...............eine Basis..........
> wobei [mm]b_{1}=1[/mm]
> [mm]b_{2}= x^{2}[/mm]
> [mm]b_{3}= x^{2}-3x+2[/mm]
>
> und jetzt muss ich zeigen, dass [mm][/mm] die
> Basis von V/U sind...
>
> muss ich denn dazu die linear Unabhängigkeit der beiden
> Basenelemneten nachweisen
> Ja
FRED
> oder was gilt es zu tun?
>
> LG Schmetterfee
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> > So also ich weiß ja jetzt, dass die Basis von V
> > [mm][/mm]
> > und das die Basis von U [mm][/mm]
>
>
> ...............eine Basis..........
>
>
> > wobei [mm]b_{1}=1[/mm]
> > [mm]b_{2}= x^{2}[/mm]
> > [mm]b_{3}= x^{2}-3x+2[/mm]
> >
> > und jetzt muss ich zeigen, dass [mm][/mm] die
> > Basis von V/U sind...
> >
> > muss ich denn dazu die linear Unabhängigkeit der beiden
> > Basenelemneten nachweisen
>
>
>
>
> > Ja
>
> FRED
>
>
reicht es denn zu sagen, dass aus:
[mm] \alpha_{1} \vektor{0 \\ 0 \\1}+ \alpha_{2} \vektor{1 \\ 0 \\0}=0
[/mm]
folgt, dass [mm] \alpha_{1}=\alpha_{2} [/mm] =0
oder kann ich die basenelemente nicht einfach wieder als vektoren schreiben?..aber mein Problem ist, dass ich das U nicht mit eingebracht habe..aber wie bringe ich das denn mit ein? oder muss der Beweis ganz anders geführt werden?
LG Schmetterfee
>
> > oder was gilt es zu tun?
> >
> > LG Schmetterfee
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:20 Fr 22.01.2010 | | Autor: | Schmetterfee |
müsste die von mir gewählte basis nicht falsch sein?..weil ich damit das bei ii geforderte nicht als Linearkombination von ii darstellen kann...
mir will nämlichd er Beweis für diese Basis auch nicht so ganz gelingen...
LG Schmetterfee
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> müsste die von mir gewählte basis nicht falsch
> sein?..weil ich damit das bei ii geforderte nicht als
> Linearkombination von ii darstellen kann...
>
> mir will nämlichd er Beweis für diese Basis auch nicht so
> ganz gelingen...
>
> LG Schmetterfee
Hallo,
von welcher gewählten Basis redest Du jetzt gerade?
Weiter müßten wir, um zu sehen, wie wir Dir helfen können, wissen was Du getan hast um den Aufgabenteil ii) zu lösen.
Nicht als Geschichte, sondern knallhart mit Gleichheitszeichen und so.
Gruß v. Angela
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> > > So also ich weiß ja jetzt, dass die Basis von V
> > > [mm][/mm]
> > > und das die Basis von U [mm][/mm]
> >
> >
> > ...............eine Basis..........
> >
> >
> > > wobei [mm]b_{1}=1[/mm]
> > > [mm]b_{2}= x^{2}[/mm]
> > > [mm]b_{3}= x^{2}-3x+2[/mm]
> > >
> > > und jetzt muss ich zeigen, dass [mm][/mm] die
> > > Basis von V/U sind...
Hallo,
ja, und dazu muß u.a. die lineare Unabhängigkeit gezeigt werden,
und das geht wie immer: man zeigt, daß wenn eine Linearkombination den Nullvektor ergibt, dieses zwangsläufig die triviale Linearkombination ist.
Konkret:
es ist zu zeigen, daß aus [mm] a_1*(b_1+U)+a_2(b_2+U)=0_{V/U}=U [/mm] folgt, daß [mm] a_1=a_2=0.
[/mm]
Sei also [mm] a_1*(b_1+U)+a_2(b_2+U)=U [/mm]
==> (...)+U=U
==> ???
Ich denke, daß Du Dich zuvor noch ein bißchen in den Quotientenraum (Faktorraum) V/U einlesen solltest.
Gruß v. Angela
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> > > > So also ich weiß ja jetzt, dass die Basis von V
> > > > [mm][/mm]
> > > > und das die Basis von U [mm][/mm]
> > >
> > >
> > > ...............eine Basis..........
> > >
> > >
> > > > wobei [mm]b_{1}=1[/mm]
> > > > [mm]b_{2}= x^{2}[/mm]
> > > > [mm]b_{3}= x^{2}-3x+2[/mm]
> > > >
>
> > > > und jetzt muss ich zeigen, dass [mm][/mm] die
> > > > Basis von V/U sind...
>
> Hallo,
>
> ja, und dazu muß u.a. die lineare Unabhängigkeit gezeigt
> werden,
>
> und das geht wie immer: man zeigt, daß wenn eine
> Linearkombination den Nullvektor ergibt, dieses
> zwangsläufig die triviale Linearkombination ist.
>
> Konkret:
>
> es ist zu zeigen, daß aus [mm]a_1*(b_1+U)+a_2(b_2+U)=0_{V/U}=U[/mm]
> folgt, daß [mm]a_1=a_2=0.[/mm]
>
> Sei also [mm]a_1*(b_1+U)+a_2(b_2+U)=U[/mm]
>
> ==> (...)+U=U
>
> ==> ???
>
> Ich denke, daß Du Dich zuvor noch ein bißchen in den
> Quotientenraum (Faktorraum) V/U einlesen solltest.
>
> Gruß v. Angela
Sei [mm] \alpha_{1} (b_{1}+U)+ \alpha_{2}(b_{2} [/mm] +U)=U
==> [mm] (\alpha_{1} b_{1} [/mm] + [mm] \alpha_{2} b_{2})+U=U
[/mm]
kann ich jetzt nicht einfach sagen
[mm] (\alpha_{1} b_{1} [/mm] + [mm] \alpha_{2} b_{2})=0
[/mm]
und jetzt die Vektoren einsetzen und dann folgt ja [mm] \alpha_{1}=\alpha_{2}=0
[/mm]
oder geht das nicht einfach so?
LG Schmetterfee
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> > > > > wobei [mm]b_{1}=1[/mm]
> > > > > [mm]b_{2}= x^{2}[/mm]
> > > > > [mm]b_{3}= x^{2}-3x+2[/mm]
> >
> > > >
> >
> > > > > und jetzt muss ich zeigen, dass [mm][/mm] die
> > > > > Basis von V/U sind...
> > es ist zu zeigen, daß aus [mm]a_1*(b_1+U)+a_2(b_2+U)=0_{V/U}=U[/mm]
> > folgt, daß [mm]a_1=a_2=0.[/mm]
> >
> > Sei also [mm]a_1*(b_1+U)+a_2(b_2+U)=U[/mm]
> >
> > ==> (...)+U=U
> >
> > ==> ???
> >
> > Ich denke, daß Du Dich zuvor noch ein bißchen in den Quotientenraum (Faktorraum) V/U einlesen solltest.
> >
> > Gruß v. Angela
>
> Sei [mm]\alpha_{1} (b_{1}+U)+ \alpha_{2}(b_{2}[/mm] +U)=U
> ==> [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2})+U=U[/mm]
> kann ich
> jetzt nicht einfach sagen
> [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2})=0[/mm]
> und jetzt die
> Vektoren einsetzen und dann folgt ja
> [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=0[/mm]
>
> oder geht das nicht einfach so?
Genau.
Gruß v. Angela
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> > > > > > wobei [mm]b_{1}=1[/mm]
> > > > > > [mm]b_{2}= x^{2}[/mm]
> > > > > > [mm]b_{3}= x^{2}-3x+2[/mm]
>
> > >
> > > > >
> > >
> > > > > > und jetzt muss ich zeigen, dass [mm][/mm] die
> > > > > > Basis von V/U sind...
>
> > > es ist zu zeigen, daß aus [mm]a_1*(b_1+U)+a_2(b_2+U)=0_{V/U}=U[/mm]
> > > folgt, daß [mm]a_1=a_2=0.[/mm]
> > >
> > > Sei also [mm]a_1*(b_1+U)+a_2(b_2+U)=U[/mm]
> > >
> > > ==> (...)+U=U
> > >
> > > ==> ???
> > >
> > > Ich denke, daß Du Dich zuvor noch ein bißchen in den
> Quotientenraum (Faktorraum) V/U einlesen solltest.
> > >
ich habe das skript und unser begleitendes Buch schon durch gearbeitet und war auchd er Meinung das ich alles verstanden habe bloß da steht überhaput nichts zum Thema Basis oder linear Unabhängigkeit und von daher bringt mir das nicht viel...oder brauch ich das gar nicht??
> > > Gruß v. Angela
> >
> > Sei [mm]\alpha_{1} (b_{1}+U)+ \alpha_{2}(b_{2}[/mm] +U)=U
> > ==> [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2})+U=U[/mm]
> > kann
> ich
> > jetzt nicht einfach sagen
> > [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2})=0[/mm]
> > und jetzt die
> > Vektoren einsetzen und dann folgt ja
> > [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=0[/mm]
> >
> > oder geht das nicht einfach so?
>
> Genau.
>
ja aber warum gilt das denn nicht?
[mm] (\alpha_{1} b_{1}[/mm] [/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2})+U=U
wenn ich das U auf die andere Seite bringen dann steht doch da
(\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm][mm] \alpha_{2} b_{2})=0
[/mm]
ich kann doch gar nichts anderes aus diesem Schritt formen oder doch?
LG Schmetterfee
> Gruß v. Angela
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> > > > Ich denke, daß Du Dich zuvor noch ein bißchen in den
>
> > Quotientenraum (Faktorraum) V/U einlesen solltest.
> > > >
>
> ich habe das skript und unser begleitendes Buch schon durch
> gearbeitet und war auchd er Meinung das ich alles
> verstanden habe
Hallo,
das ist aber offensichtlich nicht der Fall.
Das ist kein Vorwurf, lediglich eine Feststellung.
> bloß da steht überhaput nichts zum Thema
> Basis oder linear
Natürlich nicht!
Das wurde doch ein paar Kapitel zuvor behandelt.
Die Transferleistung, dies zu verwenden bei dem neuen Vektorraum, wird dann in der Hausübung erwartet.
Mit Recht, wie ich meine, und übrigens nicht nur bei Euch.
> und von daher bringt mir
> das nicht viel...oder brauch ich das gar nicht??
> > > > Gruß v. Angela
> > >
> > > Sei [mm]\alpha_{1} (b_{1}+U)+ \alpha_{2}(b_{2}[/mm] +U)=U
> > > ==> [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2})+U=U[/mm]
> > >
> kann
> > ich
> > > jetzt nicht einfach sagen
> > > [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2})=0[/mm]
> > > und
> jetzt die
> > > Vektoren einsetzen und dann folgt ja
> > > [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=0[/mm]
> > >
> > > oder geht das nicht einfach so?
> >
> > Genau.
> >
> ja aber warum gilt das denn nicht?
Weil aus [mm] v_1+U=v_2+U [/mm] folgt, daß [mm] v_1-v_2\in [/mm] U.
> [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm][/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2})+U=U
wenn ich das U auf die andere Seite bringen dann steht doch da
(\alpha_{1} b_{1}[/mm]
> + [mm][mm]\alpha_{2} b_{2})=0[/mm]
Nein. Bedenke, daß Du hier in V/U rechnest.
U ist hier die Null.
Der Vergleich ist vielleicht etwas blöd, aber wenn Du in 5+0=0 die Null auf die andere Seite bringst, dann bleibt rechts auch kein Vakuum, sondern die Null.
Ich find's wirklich gerade schwer, sinnvoll weiterzuhelfen, weil es so sehr an den Grundlagen mangelt.
Aus [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2})+U=U[/mm] folgt also [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2})\in U[/mm]
==>??? Überlege Dir, wie die Elemente aus U aussehen.
Gruß v. Angela
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> > > > > Ich denke, daß Du Dich zuvor noch ein bißchen in den
> >
> > > Quotientenraum (Faktorraum) V/U einlesen solltest.
> > > > >
> >
> > ich habe das skript und unser begleitendes Buch schon durch
> > gearbeitet und war auchd er Meinung das ich alles
> > verstanden habe
>
> Hallo,
>
> das ist aber offensichtlich nicht der Fall.
> Das ist kein Vorwurf, lediglich eine Feststellung.
>
>
Ja ich habe es auch nichts als Vorwurf aufgefasst..wenn ich mein Problem darstellen sollte dann ist es nicht das vertsändnis der teilschritte sonder es fügen sich bei mir noch nicht die Zusammenhänge sorecht zusammen...
> > bloß da steht überhaput nichts zum Thema
> > Basis oder linear
>
> Natürlich nicht!
> Das wurde doch ein paar Kapitel zuvor behandelt.
>
> Die Transferleistung, dies zu verwenden bei dem neuen
> Vektorraum, wird dann in der Hausübung erwartet.
> Mit Recht, wie ich meine, und übrigens nicht nur bei
> Euch.
>
>
>
> > und von daher bringt mir
> > das nicht viel...oder brauch ich das gar nicht??
> > > > > Gruß v. Angela
> > > >
> > > > Sei [mm]\alpha_{1} (b_{1}+U)+ \alpha_{2}(b_{2}[/mm] +U)=U
> > > > ==> [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2})+U=U[/mm]
> >
> > >
> > kann
> > > ich
> > > > jetzt nicht einfach sagen
> > > > [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2})=0[/mm]
> > > > und
> > jetzt die
> > > > Vektoren einsetzen und dann folgt ja
> > > > [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=0[/mm]
> > > >
> > > > oder geht das nicht einfach so?
> > >
> > > Genau.
> > >
> > ja aber warum gilt das denn nicht?
>
> Weil aus [mm]v_1+U=v_2+U[/mm] folgt, daß [mm]v_1-v_2\in[/mm] U.
>
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> > [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm][/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2})+U=U
wenn ich das U auf die andere Seite bringen dann steht doch da
(\alpha_{1} b_{1}[/mm]
> > + [mm][mm]\alpha_{2} b_{2})=0[/mm]
> Nein. Bedenke, daß Du hier in V/U rechnest.
> U ist hier die Null.
> Der Vergleich ist vielleicht etwas blöd, aber wenn Du in 5+0=0 die Null > auf die andere Seite bringst, dann bleibt rechts auch kein Vakuum, sondern die Null.
> Ich find's wirklich gerade schwer, sinnvoll weiterzuhelfen, weil es so sehr > an den Grundlagen mangelt.
tut mir leid das das mit mir so kompliziert ist..aber ich geb mir ja auch echt mühe..ich will das ja auch alles verstehn und selber können..
> Aus [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2})+U=U> [/mm] folgt also [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2})\in U[/mm]
daraus folgt doch eigentlich, dass [mm] \alpha_{1}b_{1} \in [/mm] U und [mm] \alpha_{2}b_{2} \in [/mm] U aber das bringt mich ja auch net weiter...
> ==>??? Überlege Dir, wie die Elemente aus U aussehen.
naja die Elemente aus U sind doch vektoren...bloß meine Frage enthalten diese Vektoren die Koeffizienten vor den Polynomen oder was enthalten die genau?
es folgt aber nicht [mm] \alpha_{1} b_{1} [/mm] = [mm] \alpha_{2} b_{2} [/mm] oder? weil dann müssten die [mm] \alpha [/mm] ja 0 sein...
das ist doch auch schon weider bestimmt verkehrt gedacht...
LG Schmetterfee
> Gruß v. Angela
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ich komme immer wieder zu dem schluss, dass [mm] \alpha_{1} b_{1} [/mm] = [mm] \alpha_{2} b_{2} [/mm] und daraus folgt denn ja das, koeffizienten 0 sind...aber ist das so überhaupt richtig?
LG Schmetterfee
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> ich komme immer wieder zu dem schluss, dass [mm]\alpha_{1} b_{1}[/mm]
> = [mm]\alpha_{2} b_{2}[/mm]
Hallo, sofern Du auf dem richtigen Wege dahinkommst, ist das richtig. Bloß Du darfst ja nicht auf dem falschen Weg richtige Resultate finden.
> und daraus folgt denn ja das,
> koeffizienten 0 sind...
Warum?
> aber ist das so überhaupt richtig?
Mit dem richtigen Weg ist's richtig und mit dem falschen falsch...
Gruß v. Angela
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So ich versuch es jettzt mal zu formulieren wie ich es mir gedacht habe...
Zu zeigen: [mm] \alpha_{1} (b_{1} [/mm] +U) + [mm] \alpha_{2} (b_{2} +U)=0_{V/U^{*}} [/mm] =0 ==> [mm] \alpha_{1}=\alpha_{2}=0
[/mm]
Sei [mm] \alpha_{1} (b_{1} [/mm] +U) + [mm] \alpha_{2} (b_{2} [/mm] +U)=U
=> [mm] (\alpha_{1} b_{1} [/mm] + [mm] \alpha_{2} b_{2}) [/mm] +U=U
=> [mm] (\alpha_{1} b_{1} [/mm] + [mm] \alpha_{2} b_{2}) \in [/mm] U
=> [mm] \alpha_{1} +b_{1} [/mm] +U = [mm] -\alpha_{2} b_{2} [/mm] +U
=> [mm] \alpha_{1} b_{1}= -\alpha_{2} b_{2}
[/mm]
so weit hoffe ich ist das korrekt und meine Frage jetzt muss ich jetzt [mm] b_{1} [/mm] und [mm] b_{2} [/mm] einsetzen oder bringe ich einfach das [mm] b_{2} [/mm] aud die andere Seite, weil dann habe ich ja [mm] \alpha_{1} b_{1} [/mm] + [mm] \alpha_{2} b_{2}=0
[/mm]
und dann könnte ich einsetzen und würde darauf kommen das die koeffizienten 0 sind...
ist das so weit richtig gedacht?
LG Schmetterfee
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> => [mm]\alpha_{1} +b_{1}[/mm] +U = [mm]-\alpha_{2} b_{2}[/mm] +U
> => [mm]\alpha_{1} b_{1}= -\alpha_{2} b_{2}[/mm]
Ich breche zu-sam-men.
Hatten wir denn jetzt nicht mehrfach besprochen, daß aus [mm] v_1+U=v_2+U [/mm] n i c h t folgt, daß [mm] v_1=v_2?
[/mm]
(Kann aber auch sein, daß ich's nur Deinem Matheraum-Zwilling gesagt habe. Allmählich blicke ich fast nicht mehr durch, wer, wer ist und wer welche Aufgabe bearbeitet.
Es ist alles so ähnlich.)
Aus [mm] v_1+U=v_2+U [/mm] folgt [mm] v_1-v_2\in [/mm] U.
> So ich versuch es jettzt mal zu formulieren wie ich es mir
> gedacht habe...
> Zu zeigen: [mm]\alpha_{1} (b_{1}[/mm] +U) + [mm]\alpha_{2} (b_{2} +U)=0_{V/U^{*}}[/mm]
> =0 ==> [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=0[/mm]
Ja. Denn es soll die lineare Unabhängigkeit von [mm] (b_1+U, b_2+U) [/mm] gezeigt werden.
>
> Sei [mm]\alpha_{1} (b_{1}[/mm] +U) + [mm]\alpha_{2} (b_{2}[/mm] +U)=U
> => [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2})[/mm] +U=U
> => [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2}) \in[/mm] U
An dieser Stelle gilt es nun, sinnvoll weiterzumachen.
Den Tip hatte ich Dir doch schon gegeben, oder:
welche Elemente sind in U? Antwort: Vielfache von [mm] b_3.
[/mm]
Aus [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2}) \in[/mm] U folgt also, daß es ein [mm] \alpha_3 [/mm] gibt mit
[mm] \alpha_{1} b_{1}[/mm] [/mm] + [mm][mm] \alpha_{2} b_{2}=\alpha_3b_3
[/mm]
==> ???
Gruß v. Angela
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> > => [mm]\alpha_{1} +b_{1}[/mm] +U = [mm]-\alpha_{2} b_{2}[/mm] +U
> > => [mm]\alpha_{1} b_{1}= -\alpha_{2} b_{2}[/mm]
>
> Ich breche zu-sam-men.
> Hatten wir denn jetzt nicht mehrfach besprochen, daß aus
> [mm]v_1+U=v_2+U[/mm] n i c h t folgt, daß [mm]v_1=v_2?[/mm]
>
> (Kann aber auch sein, daß ich's nur Deinem
> Matheraum-Zwilling gesagt habe. Allmählich blicke ich fast
> nicht mehr durch, wer, wer ist und wer welche Aufgabe
> bearbeitet.
> Es ist alles so ähnlich.)
>
wie mein Matheraumzwilling?..vll noch ein lehramtstuddent..ich hab nämlich das Gefühl, dass wir teilweise mehr Probleme haben als die reinen Mathematiker :(
> Aus [mm]v_1+U=v_2+U[/mm] folgt [mm]v_1-v_2\in[/mm] U.
>
>
>
> > So ich versuch es jettzt mal zu formulieren wie ich es mir
> > gedacht habe...
> > Zu zeigen: [mm]\alpha_{1} (b_{1}[/mm] +U) + [mm]\alpha_{2} (b_{2} +U)=0_{V/U^{*}}[/mm]
> > =0 ==> [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=0[/mm]
>
> Ja. Denn es soll die lineare Unabhängigkeit von [mm](b_1+U, b_2+U)[/mm]
> gezeigt werden.
>
> >
> > Sei [mm]\alpha_{1} (b_{1}[/mm] +U) + [mm]\alpha_{2} (b_{2}[/mm] +U)=U
> > => [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2})[/mm] +U=U
> > => [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2}) \in[/mm] U
>
> An dieser Stelle gilt es nun, sinnvoll weiterzumachen.
>
> Den Tip hatte ich Dir doch schon gegeben, oder:
>
> welche Elemente sind in U? Antwort: Vielfache von [mm]b_3.[/mm]
>
> Aus [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2}) \in[/mm] U folgt also,
> daß es ein [mm]\alpha_3[/mm] gibt mit
>
> [mm]\alpha_{1} b_{1}[/mm][/mm] + [mm][mm]\alpha_{2} b_{2}=\alpha_3b_3[/mm]
==> ???
bin ich denn jetzt schon an der Stelle wo ich einsetzen kann?..weil dann würde ja folgendes enstehen:
[mm] \alpha_{1} \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \alpha_{2} \vektor{0 \\ 0 \\ 1}= \alpha_{3} \vektor{1 \\ -3 \\ 2}
[/mm]
aus der 2. Zeile würde dann ja direkt folgen, dass [mm] \alpha_{3} [/mm] =0
also hätten wir dann: [mm] \alpha_{1} \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \alpha_{2} \vektor{0 \\ 0 \\ 1}=0
[/mm]
und dann würde aus der 1. Zeile folgen, dass [mm] \alpha_{1} [/mm] =0 und aus der letzen, dass [mm] \alpha_{2}=0 [/mm] und somit hätte ich gezeigt, dass [mm] \alpha_{1} =\alpha_{2}=0
[/mm]
und somit wäre doch gezeigt, dass [mm] b_{1}, b_{2} [/mm] l.u. sind...
geht das soweit oder darf ich an dieser Stelle noch keine Werte einsetzen?
LG Schmetterfee
Gruß v. Angela
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> > > So ich versuch es jettzt mal zu formulieren wie ich es mir
> > > gedacht habe...
> > > Zu zeigen: [mm]\alpha_{1} (b_{1}[/mm] +U) + [mm]\alpha_{2} (b_{2} +U)=0_{V/U^{*}}[/mm]
> > > =0 ==> [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=0[/mm]
> >
> > Ja. Denn es soll die lineare Unabhängigkeit von [mm](b_1+U, b_2+U)[/mm]
> > gezeigt werden.
> >
> > >
> > > Sei [mm]\alpha_{1} (b_{1}[/mm] +U) + [mm]\alpha_{2} (b_{2}[/mm] +U)=U
> > > => [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2})[/mm] +U=U
> > > => [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2}) \in[/mm] U
> >
> > An dieser Stelle gilt es nun, sinnvoll weiterzumachen.
> > >
> > Den Tip hatte ich Dir doch schon gegeben, oder:
> >
> > welche Elemente sind in U? Antwort: Vielfache von [mm]b_3.[/mm]
> >
> > Aus [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2}) \in[/mm] U folgt also,
> > daß es ein [mm]\alpha_3[/mm] gibt mit
> >
> > [mm]\alpha_{1} b_{1}[/mm][/mm] + [mm][mm]\alpha_{2} b_{2}=\alpha_3b_3[/mm]
==> ???
bin ich denn jetzt schon an der Stelle wo ich einsetzen kann?..weil dann würde ja folgendes enstehen:
[mm]\alpha_{1} \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\alpha_{2} \vektor{0 \\ 0 \\ 1}= \alpha_{3} \vektor{1 \\ -3 \\ 2}[/mm]
aus der 2. Zeile würde dann ja direkt folgen, dass [mm]\alpha_{3}[/mm] =0
Hallo,
ganz nett.
Bloß b_1, b_2 und b_3 sind doch Polynome?
Ich sehe da jetzt Vektoren des \IR^3... Kannst Du das erklären? (Wenn ja, dann ist's ok, was Du tust - wenn auch dem Verständnis nicht förderlich.)
Du brauchst hier aber noch gar nichts einzusetzen.
Du kannst die Aufgabe bis zum bitteren Ende lösen, ohne daß Du großartig an Polynome denkst.
Es ist doch (b_1, b_2, b_3) eine Basis von V, und Du kannst ohne irgendeinen Fatz Rechnerei sagen, warum aus
[mm]\alpha_{1} b_{1}[/mm][/mm] + [mm][mm]\alpha_{2} b_{2}=\alpha_3b_3
<==> [mm]\alpha_{1} b_{1}[/mm][/mm] + [mm][mm][mm] \alpha_{2} b_{2}-\alpha_3b_3=0_V
[/mm]
folgt, daß die Koeffizienten =0 sind.
Gruß v. Angela
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so ich versuch jetzt den ganzen Beweis:
zu zeigen: [mm] \alpha_{1}(b_{1}+U)+\alpha_{2}(b_{2}+U)=0_{V/U^{*}}=0==> \alpha_{1}=\alpha_{2}=0
[/mm]
Sei [mm] \alpha_{1}(b_{1}+U)+\alpha_{2}(b_{2}+U)=U
[/mm]
[mm] =>(\alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2})=U
[/mm]
[mm] =>(\alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2}) \in [/mm] U
=> [mm] \alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2}=\alpha_{3}b_{3}
[/mm]
[mm] =>\alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2}-\alpha_{3}b_{3}=0_{V}
[/mm]
=> [mm] \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0
[/mm]
Dabei gilt der vorletzte Schritt, weil [mm] b_{1}, b_{2} [/mm] und [mm] b_{3} [/mm] eine Basis von V bilden und daraus folgt sofort der letzte Schritt. Somit hätte man gezeigt, dass [mm] b_{1}, b_{2} [/mm] eine Basis von V/U ist.
Somit wäre doch der Beweis für Teilaufgabe i komplett und ich kann mich an die Linearkombination für ii setzen... oder?...aber da tritt ja schon das nächste Problem auf in meinem Elementen [mm] b_{1} [/mm] und [mm] b_{2} [/mm] steht ja an 2. Stelle die 0, von daher kann ich -5x doch gar nicht darstellen oder?
LG Schmetterfee
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> so ich versuch jetzt den ganzen Beweis:
Gut.
Dann fangen wir jetzt richtig schön am Anfang an.
| Aufgabe |
Sei V der von 1, x, $ [mm] x^{2} [/mm] $ im Raum aller Polynomfunktionen über $ [mm] \IR [/mm] $ erzeugte Untervektorraum und U der von $ [mm] x^{2}-3x+2 [/mm] $ in V erzeugten Untervektoraum.
(i) Man bestimme eine Basis V/U. |
Es ist [mm] b_3:=x^{2}-3x+2 [/mm] eine Basis von U, denn [mm] U=.
[/mm]
mit [mm] b_1:=1, b_2:=x^2
[/mm]
ist (b_, [mm] b_2, b_3) [/mm] eine Basis von V, denn die drei Vektoren sind linear unabhängig. (/*)
Behauptung: es ist [mm] (b_1+U, b_2+U) [/mm] eine Basis von V/U.
(Achtung: falls Euch das, was Pythagora gerade beweist, bereits zur Verfügung steht, z.B. weil es eine vorhergehende Teilaufgabe war, dann bist Du bereits fertig. Dann ist das keine Behauptung, sondern Fakt.)
Zu zeigen ist hierfür
A: die beiden Vektoren sind linear unabhängig
B: die beiden Vektoren erzeugen V/U
Zu A:
> zu zeigen:
> [mm]\alpha_{1}(b_{1}+U)+\alpha_{2}(b_{2}+U)=0_{V/U^{*}}=0==> \alpha_{1}=\alpha_{2}=0[/mm]
Bew.:
>
> Sei [mm]\alpha_{1}(b_{1}+U)+\alpha_{2}(b_{2}+U)=U[/mm]
> [mm]=>(\alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2})\red{+U}=U[/mm]
> [mm]=>(\alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2}) \in[/mm] U
Da [mm] U=, [/mm] gibt es ein [mm] \alpha_3\in \IR [/mm] mit
> [mm]\alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2}=\alpha_{3}b_{3}[/mm]
> [mm]=>\alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2}-\alpha_{3}b_{3}=0_{V}[/mm]
> => [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0[/mm],
denn ???
>
> Dabei gilt der vorletzte Schritt, weil [mm]b_{1}, b_{2}[/mm] und
> [mm]b_{3}[/mm] eine Basis von V bilden und daraus folgt sofort der
> letzte Schritt.
Achso, da steht's ja.
Besser: ... ist eine Basis des V, also insbesondere linear unabhängig.
> Somit hätte man gezeigt, dass [mm]b_{1}, b_{2}[/mm]
> eine Basis von V/U ist.
das sowieso nicht. Es geht um [mm] (b_1+U, b_2+U).
[/mm]
Leider hat man "Basis" noch nicht, sondern zunächst nur die lineare Unabhängigkeit.
Nun ist noch B. zu zeigen.
B:
Behauptung: [mm] (b_1+U, b_2+U) [/mm] erzeugt den V/U
Hierfür zu zeigen: jedes Element von V/U kann man als Linearkombination dieser Vektoren schreiben.
Beweis: sei [mm] v\in [/mm] V.
Und nun mußt Du Dir überlegen, wie Du v+U schreiben kannst als v+U= [mm] r(b_1+U) +s(b_2+U)
[/mm]
> Somit wäre doch der Beweis für Teilaufgabe i komplett und
> ich kann mich an die Linearkombination für ii setzen...
Das läuft nahezu auf dasselbe hinaus wie der Beweis des Erzeugendensystems.
> oder?...aber da tritt ja schon das nächste Problem auf in
> meinem Elementen [mm]b_{1}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm] steht ja an 2. Stelle die
> 0, von daher kann ich -5x doch gar nicht darstellen oder?
Schreib jetzt [mm] x^{2}-5x+7 [/mm] als Linearkombination von [mm] (b_1, b_2,b_3).
[/mm]
Gruß v. Angela
[mm] (\*) [/mm] zur linearen Unabhängigkeit der [mm] b_i:
[/mm]
Es sei a*1 + [mm] b*x^2 [/mm] + [mm] c(x^{2}-3x+2)=0
[/mm]
==> ???
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> > so ich versuch jetzt den ganzen Beweis:
>
> Gut.
>
> Dann fangen wir jetzt richtig schön am Anfang an.
>
> Sei V der von 1, x, [mm]x^{2}[/mm] im Raum aller Polynomfunktionen
> über [mm]\IR[/mm] erzeugte Untervektorraum und U der von [mm]x^{2}-3x+2[/mm]
> in V erzeugten Untervektoraum.
> (i) Man bestimme eine Basis V/U.
>
> Es ist [mm]b_3:=x^{2}-3x+2[/mm] eine Basis von U, denn [mm]U=.[/mm]
>
> mit [mm]b_1:=1, b_2:=x^2[/mm]
>
> ist (b_, [mm]b_2, b_3)[/mm] eine Basis von V, denn die drei Vektoren
> sind linear unabhängig. (/*)
>
> Behauptung: es ist [mm](b_1+U, b_2+U)[/mm] eine Basis von V/U.
>
> (Achtung: falls Euch das, was Pythagora gerade beweist,
> bereits zur Verfügung steht, z.B. weil es eine
> vorhergehende Teilaufgabe war, dann bist Du bereits fertig.
> Dann ist das keine Behauptung, sondern Fakt.)
>
Nein es steht uns nicht zur Verfügung habe ich gerade nachgeschaut...
> Zu zeigen ist hierfür
>
> A: die beiden Vektoren sind linear unabhängig
>
> B: die beiden Vektoren erzeugen V/U
>
> Zu A:
>
> > zu zeigen:
> > [mm]\alpha_{1}(b_{1}+U)+\alpha_{2}(b_{2}+U)=0_{V/U^{*}}=0==> \alpha_{1}=\alpha_{2}=0[/mm]
>
> Bew.:
> >
> > Sei [mm]\alpha_{1}(b_{1}+U)+\alpha_{2}(b_{2}+U)=U[/mm]
> > [mm]=>(\alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2})\red{+U}=U[/mm]
> > [mm]=>(\alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2}) \in[/mm] U
>
> Da [mm]U=,[/mm] gibt es ein [mm]\alpha_3\in \IR[/mm] mit
> > [mm]\alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2}=\alpha_{3}b_{3}[/mm]
> >
> [mm]=>\alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2}-\alpha_{3}b_{3}=0_{V}[/mm]
> > => [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0[/mm],
>
> denn ???
>
> >
> > Dabei gilt der vorletzte Schritt, weil [mm]b_{1}, b_{2}[/mm] und
> > [mm]b_{3}[/mm] eine Basis von V bilden und daraus folgt sofort der
> > letzte Schritt.
> Achso, da steht's ja.
> Besser: ... ist eine Basis des V, also insbesondere linear
> unabhängig.
>
> > Somit hätte man gezeigt, dass [mm]b_{1}, b_{2}[/mm]
> > eine Basis von V/U ist.
>
> das sowieso nicht. Es geht um [mm](b_1+U, b_2+U).[/mm]
> Leider hat
> man "Basis" noch nicht, sondern zunächst nur die lineare
> Unabhängigkeit.
>
> Nun ist noch B. zu zeigen.
>
> B:
>
> Behauptung: [mm](b_1+U, b_2+U)[/mm] erzeugt den V/U
>
> Hierfür zu zeigen: jedes Element von V/U kann man als
> Linearkombination dieser Vektoren schreiben.
>
> Beweis: sei [mm]v\in[/mm] V.
>
> Und nun mußt Du Dir überlegen, wie Du v+U schreiben
> kannst als v+U= [mm]r(b_1+U) +s(b_2+U)[/mm]
>
>
muss ich hier noch etwas weiter ausführen oder eicht es zu sagen, dass jedes v+U eine solche Darstellung besitzt?
> > Somit wäre doch der Beweis für Teilaufgabe i komplett und
> > ich kann mich an die Linearkombination für ii setzen...
>
> Das läuft nahezu auf dasselbe hinaus wie der Beweis des
> Erzeugendensystems.
>
>
> > oder?...aber da tritt ja schon das nächste Problem auf in
> > meinem Elementen [mm]b_{1}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm] steht ja an 2. Stelle die
> > 0, von daher kann ich -5x doch gar nicht darstellen oder?
>
> Schreib jetzt [mm]x^{2}-5x+7[/mm] als Linearkombination von [mm](b_1, b_2,b_3).[/mm]
>
an sich ist das kein problem wenn ich, dies mithilfe von vektoren machen kann also:
[mm] \vektor{2 \\ -5 \\ 7}= \bruch{1}{3}\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] +3 [mm] \bruch{2}{3}\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] +1 [mm] \bruch{2}{3}\vektor{1 \\ -3 \\2}
[/mm]
so würde es nämlich hinhauen
> Gruß v. Angela
>
>
> [mm](\*)[/mm] zur linearen Unabhängigkeit der [mm]b_i:[/mm]
>
> Es sei a*1 + [mm]b*x^2[/mm] + [mm]c(x^{2}-3x+2)=0[/mm]
>
> ==> ???
kann ich das hier auch als vektoren schreiben? denn geht das ja aber weiß net wie ich das mit den polynomen schreiben soll
LG Schmetterfee
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> > > so ich versuch jetzt den ganzen Beweis:
> >
> > Gut.
> >
> > Dann fangen wir jetzt richtig schön am Anfang an.
> >
> > Sei V der von 1, x, [mm]x^{2}[/mm] im Raum aller Polynomfunktionen
> > über [mm]\IR[/mm] erzeugte Untervektorraum und U der von [mm]x^{2}-3x+2[/mm]
> > in V erzeugten Untervektoraum.
> > (i) Man bestimme eine Basis V/U.
> >
> > Es ist [mm]b_3:=x^{2}-3x+2[/mm] eine Basis von U, denn [mm]U=.[/mm]
> >
> > mit [mm]b_1:=1, b_2:=x^2[/mm]
> >
> > ist (b_, [mm]b_2, b_3)[/mm] eine Basis von V, denn die drei Vektoren
> > sind linear unabhängig. (/*)
> >
> > B:
> >
> > Behauptung: [mm](b_1+U, b_2+U)[/mm] erzeugt den V/U
> >
> > Hierfür zu zeigen: jedes Element von V/U kann man als
> > Linearkombination dieser Vektoren schreiben.
> >
> > Beweis: sei [mm]v\in[/mm] V.
> >
> > Und nun mußt Du Dir überlegen, wie Du v+U schreiben
> > kannst als v+U= [mm]r(b_1+U) +s(b_2+U)[/mm]
> >
> >
> muss ich hier noch etwas weiter ausführen oder eicht es zu
> sagen, dass jedes v+U eine solche Darstellung besitzt?
Wenn Du das einfach so sagst, bleibt es eine bloße Behauptung.
Du mußt es beweisen, also vorrechnen.
> > > Somit wäre doch der Beweis für Teilaufgabe i
> komplett und
> > > ich kann mich an die Linearkombination für ii setzen...
> >
> > Das läuft nahezu auf dasselbe hinaus wie der Beweis des
> > Erzeugendensystems.
> >
> >
> > > oder?...aber da tritt ja schon das nächste Problem auf in
> > > meinem Elementen [mm]b_{1}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm] steht ja an 2. Stelle die
> > > 0, von daher kann ich -5x doch gar nicht darstellen oder?
> >
> > Schreib jetzt [mm]x^{2}-5x+7[/mm] als Linearkombination von [mm](b_1, b_2,b_3).[/mm]
>
> >
> an sich ist das kein problem wenn ich, dies mithilfe von
> vektoren machen kann also:
Du meinst mithilfe von Elementen des [mm] \Vektorraumes IR^3.
[/mm]
Deine Vektoren sind ja jetzt die Polynome, aber das geht doch genauso!
Wo ist das Problem?
Gruß v. Angela
> [mm]\vektor{2 \\ -5 \\ 7}= \bruch{1}{3}\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] +3
> [mm]\bruch{2}{3}\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] +1 [mm]\bruch{2}{3}\vektor{1 \\ -3 \\2}[/mm]
>
> so würde es nämlich hinhauen
>
> > Gruß v. Angela
> >
> >
> > [mm](\*)[/mm] zur linearen Unabhängigkeit der [mm]b_i:[/mm]
> >
> > Es sei a*1 + [mm]b*x^2[/mm] + [mm]c(x^{2}-3x+2)=0[/mm]
> >
> > ==> ???
> kann ich das hier auch als vektoren schreiben? denn geht
> das ja aber weiß net wie ich das mit den polynomen
> schreiben soll
>
> LG Schmetterfee
>
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> > > > so ich versuch jetzt den ganzen Beweis:
> > >
> > > Gut.
> > >
> > > Dann fangen wir jetzt richtig schön am Anfang an.
> > >
> > > Sei V der von 1, x, [mm]x^{2}[/mm] im Raum aller Polynomfunktionen
> > > über [mm]\IR[/mm] erzeugte Untervektorraum und U der von [mm]x^{2}-3x+2[/mm]
> > > in V erzeugten Untervektoraum.
> > > (i) Man bestimme eine Basis V/U.
> > >
> > > Es ist [mm]b_3:=x^{2}-3x+2[/mm] eine Basis von U, denn [mm]U=.[/mm]
> > >
> > > mit [mm]b_1:=1, b_2:=x^2[/mm]
> > >
> > > ist (b_, [mm]b_2, b_3)[/mm] eine Basis von V, denn die drei Vektoren
> > > sind linear unabhängig. (/*)
> > >
> > > B:
> > >
> > > Behauptung: [mm](b_1+U, b_2+U)[/mm] erzeugt den V/U
> > >
> > > Hierfür zu zeigen: jedes Element von V/U kann man als
> > > Linearkombination dieser Vektoren schreiben.
> > >
> > > Beweis: sei [mm]v\in[/mm] V.
> > >
> > > Und nun mußt Du Dir überlegen, wie Du v+U schreiben
> > > kannst als v+U= [mm]r(b_1+U) +s(b_2+U)[/mm]
> > >
> > >
> > muss ich hier noch etwas weiter ausführen oder eicht es zu
> > sagen, dass jedes v+U eine solche Darstellung besitzt?
>
> Wenn Du das einfach so sagst, bleibt es eine bloße
> Behauptung.
> Du mußt es beweisen, also vorrechnen.
>
und wie muss ich das vorrechnen muss ich damit anfangen, dass v= [mm] \alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2}+\alpha_{3}b_{3}??
[/mm]
> > > > Somit wäre doch der Beweis für Teilaufgabe i
> > komplett und
> > > > ich kann mich an die Linearkombination für ii setzen...
> > >
> > > Das läuft nahezu auf dasselbe hinaus wie der Beweis des
> > > Erzeugendensystems.
> > >
> > >
> > > > oder?...aber da tritt ja schon das nächste Problem auf in
> > > > meinem Elementen [mm]b_{1}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm] steht ja an 2. Stelle die
> > > > 0, von daher kann ich -5x doch gar nicht darstellen oder?
> > >
> > > Schreib jetzt [mm]x^{2}-5x+7[/mm] als Linearkombination von [mm](b_1, b_2,b_3).[/mm]
>
> >
> > >
> > an sich ist das kein problem wenn ich, dies mithilfe von
> > vektoren machen kann also:
>
> Du meinst mithilfe von Elementen des [mm]\Vektorraumes IR^3.[/mm]
>
> Deine Vektoren sind ja jetzt die Polynome, aber das geht
> doch genauso!
> Wo ist das Problem?
>
> Gruß v. Angela
>
>
> > [mm]\vektor{2 \\ -5 \\ 7}= \bruch{1}{3}\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] +3
> > [mm]\bruch{2}{3}\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] +1 [mm]\bruch{2}{3}\vektor{1 \\ -3 \\2}[/mm]
>
muss ich das bei 5 ii jetzt einfach so hin schreiben? und das wars?..aber wie füge ich denn das +U dazu?
> >
> > so würde es nämlich hinhauen
> >
> > > Gruß v. Angela
> > >
> > >
> > > [mm](\*)[/mm] zur linearen Unabhängigkeit der [mm]b_i:[/mm]
> > >
> > > Es sei a*1 + [mm]b*x^2[/mm] + [mm]c(x^{2}-3x+2)=0[/mm]
> > >
> > > ==> ???
das müsste dann doch
a [mm] \vektor{0 \\ 0 \\1}+b \vektor{1 \\ 0 \\ 0}+ [/mm] c [mm] \vektor{1 \\ -3 \\ 2}=0
[/mm]
sein und daraus folgt, ja a=b=c=0...oder?
LG Schmetterfee
> > kann ich das hier auch als vektoren schreiben? denn
> geht
> > das ja aber weiß net wie ich das mit den polynomen
> > schreiben soll
> >
> > LG Schmetterfee
> >
>
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zeig ich denn so, dass [mm] b_{1} [/mm] und [mm] b_{2} [/mm] ganz v/U erzeugt?
Sei v [mm] \in [/mm] V
=> [mm] v=rb_{1}+sb_{2}+tb_{3}
[/mm]
[mm] =>(rb_{1}+sb_{2})=-tb_{3}
[/mm]
=> [mm] (rb_{1}+sb_{2}) \in [/mm] U
[mm] =>(rb_{1}+sb_{2})+U=U
[/mm]
[mm] =>r(b_{1}+U)+s(b_{2}+U)=v+U
[/mm]
das müsste doch so gehen oder?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 15:57 Sa 23.01.2010 | | Autor: | Schmetterfee |
> zeig ich denn so, dass [mm]b_{1}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm] ganz v/U erzeugt?
>
> Sei v [mm]\in[/mm] V
> => [mm]v=rb_{1}+sb_{2}+tb_{3}[/mm]
> [mm]=>(rb_{1}+sb_{2})=-tb_{3}[/mm]
> => [mm](rb_{1}+sb_{2}) \in[/mm] U
> [mm]=>(rb_{1}+sb_{2})+U=U[/mm]
> [mm]=>r(b_{1}+U)+s(b_{2}+U)=v+U[/mm]
>
> das müsste doch so gehen oder?
>
> LG Schmetterfee
kann ich in diesem Fall überhaupt von dem zweiten auf den dritten schritt folgern?..bei mir ergeben sich langsam zweifel daran...
LG Schmetterfee
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> zeig ich denn so, dass [mm]b_{1}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm] ganz v/U erzeugt?
>
> Sei v [mm]\in[/mm] V
> => [mm]v=rb_{1}+sb_{2}+tb_{3}[/mm]
> [mm]=>(rb_{1}+sb_{2})=-tb_{3}[/mm]
> => [mm](rb_{1}+sb_{2}) \in[/mm] U
Hallo,
dieser Schluß ist falsch.
Aus [mm]v=rb_{1}+sb_{2}+tb_{3}[/mm] folgt
[mm] v+U=(rb_{1}+sb_{2}+tb_{3})+U= [/mm] ... + ... + ... =???
Gruß v. Angela.
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> > zeig ich denn so, dass [mm]b_{1}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm] ganz v/U erzeugt?
> >
> > Sei v [mm]\in[/mm] V
> > => [mm]v=rb_{1}+sb_{2}+tb_{3}[/mm]
> > [mm]=>(rb_{1}+sb_{2})=-tb_{3}[/mm]
> > => [mm](rb_{1}+sb_{2}) \in[/mm] U
>
> Hallo,
>
> dieser Schluß ist falsch.
>
> Aus [mm]v=rb_{1}+sb_{2}+tb_{3}[/mm] folgt
>
> [mm]v+U=(rb_{1}+sb_{2}+tb_{3})+U=[/mm] ... + ... + ... =???
>
daraus folgt: [mm] (rb_{1}+U)+(sb_{2}+U)+(tb_{3}+U)
[/mm]
aber wie bekomm ich denn das [mm] tb_{3} [/mm] weg? weil ich will ja V/U haben und nicht V ...
LG Schmetterfee
> Gruß v. Angela.
>
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> > > zeig ich denn so, dass [mm]b_{1}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm] ganz v/U erzeugt?
> > >
> > > Sei v [mm]\in[/mm] V
> > > => [mm]v=rb_{1}+sb_{2}+tb_{3}[/mm]
> > > [mm]=>(rb_{1}+sb_{2})=-tb_{3}[/mm]
> > > => [mm](rb_{1}+sb_{2}) \in[/mm] U
> >
> > Hallo,
> >
> > dieser Schluß ist falsch.
> >
> > Aus [mm]v=rb_{1}+sb_{2}+tb_{3}[/mm] folgt
> >
> > [mm]v+U=(rb_{1}+sb_{2}+tb_{3})+U=[/mm] ... + ... + ... =???
> >
> daraus folgt: [mm](rb_{1}+U)+(sb_{2}+U)+(tb_{3}+U)[/mm]
> aber wie bekomm ich denn das [mm]tb_{3}[/mm] weg? weil ich will ja
> V/U haben und nicht V ...
Hallo,
[mm] tb_3+U [/mm] = U, da [mm] U=, [/mm] und U ist das neutrale Element in V/U.
Gruß v. Angela
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> > > > zeig ich denn so, dass [mm]b_{1}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm] ganz v/U erzeugt?
> > > >
> > > > Sei v [mm]\in[/mm] V
> > > > => [mm]v=rb_{1}+sb_{2}+tb_{3}[/mm]
> > > > [mm]=>(rb_{1}+sb_{2})=-tb_{3}[/mm]
> > > > => [mm](rb_{1}+sb_{2}) \in[/mm] U
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > dieser Schluß ist falsch.
> > >
> > > Aus [mm]v=rb_{1}+sb_{2}+tb_{3}[/mm] folgt
> > >
> > > [mm]v+U=(rb_{1}+sb_{2}+tb_{3})+U=[/mm] ... + ... + ... =???
> > >
> > daraus folgt: [mm](rb_{1}+U)+(sb_{2}+U)+(tb_{3}+U)[/mm]
> > aber wie bekomm ich denn das [mm]tb_{3}[/mm] weg? weil ich will
> ja
> > V/U haben und nicht V ...
>
> Hallo,
>
> [mm]tb_3+U[/mm] = U, da [mm]U=,[/mm] und U ist das neutrale Element in
> V/U.
>
> Gruß v. Angela
>
Also lautet der gesamte Beweis:
Zu zeigen. jedes Element aus V/U besitzt eine Linearkombination aus [mm] b_{1}, b_{2} [/mm] und [mm] b_{3}
[/mm]
Beweis:
Sei v [mm] \in [/mm] V mit [mm] v=rb_{1}+sb_{2}+tb_{3}
[/mm]
Daraus folgt: [mm] v+U=(rb_{1}+sb_{2}+tb_{2})+U=(rb_{1}+U)+(sb_{2}+U)+(tb_{3}+U)
[/mm]
Da [mm] =U [/mm] gilt: [mm] tb_{3} [/mm] + U=U. da U das neutrale Element von V/U folt:
[mm] v+U=(rb_{1}+U)+(sb_{2}+U)=r(b_{1}+U)+s(b_{2}+U)
[/mm]
so is doch jetzt alles drin?...
LG Schmetterfee
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> > > > > zeig ich denn so, dass [mm]b_{1}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm] ganz v/U erzeugt?
> > > > >
> > > > > Sei v [mm]\in[/mm] V
> > > > > => [mm]v=rb_{1}+sb_{2}+tb_{3}[/mm]
> > > > > [mm]=>(rb_{1}+sb_{2})=-tb_{3}[/mm]
> > > > > => [mm](rb_{1}+sb_{2}) \in[/mm] U
> > > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > dieser Schluß ist falsch.
> > > >
> > > > Aus [mm]v=rb_{1}+sb_{2}+tb_{3}[/mm] folgt
> > > >
> > > > [mm]v+U=(rb_{1}+sb_{2}+tb_{3})+U=[/mm] ... + ... + ... =???
> > > >
> > > daraus folgt: [mm](rb_{1}+U)+(sb_{2}+U)+(tb_{3}+U)[/mm]
> > > aber wie bekomm ich denn das [mm]tb_{3}[/mm] weg? weil ich
> will
> > ja
> > > V/U haben und nicht V ...
> >
> > Hallo,
> >
> > [mm]tb_3+U[/mm] = U, da [mm]U=,[/mm] und U ist das neutrale Element in
> > V/U.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> Also lautet der gesamte Beweis:
>
> Zu zeigen. jedes Element aus V/U besitzt eine
> Linearkombination aus [mm]b_{1}, b_{2}[/mm] und [mm]b_{3}[/mm]
Hallo,
jetzt überleg' Dir nochmal genau, was Du hier eigentlich zeigen möchtest.
(Überleg Dir zunächst, daß diese Aussage Schrott ist. Warum?)
Erstaunlich ist nun, daß Dein Beweis richtig ist, obgleich die zu beweisende Aussage falsch dasteht.
Hast Du Dich nicht gewundert?
Gruß v. Angela
>
> Beweis:
> Sei v [mm]\in[/mm] V mit [mm]v=rb_{1}+sb_{2}+tb_{3}[/mm]
> Daraus folgt:
> [mm]v+U=(rb_{1}+sb_{2}+tb_{2})+U=(rb_{1}+U)+(sb_{2}+U)+(tb_{3}+U)[/mm]
> Da [mm]=U[/mm] gilt: [mm]tb_{3}[/mm] + U=U. da U das neutrale Element
> von V/U folt:
> [mm]v+U=(rb_{1}+U)+(sb_{2}+U)=r(b_{1}+U)+s(b_{2}+U)[/mm]
>
> so is doch jetzt alles drin?...
>
> LG Schmetterfee
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> > > > > > zeig ich denn so, dass [mm]b_{1}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm] ganz v/U erzeugt?
> > > > > >
> > > > > > Sei v [mm]\in[/mm] V
> > > > > > => [mm]v=rb_{1}+sb_{2}+tb_{3}[/mm]
> > > > > > [mm]=>(rb_{1}+sb_{2})=-tb_{3}[/mm]
> > > > > > => [mm](rb_{1}+sb_{2}) \in[/mm] U
> > > > >
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > dieser Schluß ist falsch.
> > > > >
> > > > > Aus [mm]v=rb_{1}+sb_{2}+tb_{3}[/mm] folgt
> > > > >
> > > > > [mm]v+U=(rb_{1}+sb_{2}+tb_{3})+U=[/mm] ... + ... + ... =???
> > > > >
> > > > daraus folgt: [mm](rb_{1}+U)+(sb_{2}+U)+(tb_{3}+U)[/mm]
> > > > aber wie bekomm ich denn das [mm]tb_{3}[/mm] weg? weil ich
> > will
> > > ja
> > > > V/U haben und nicht V ...
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > [mm]tb_3+U[/mm] = U, da [mm]U=,[/mm] und U ist das neutrale Element in
> > > V/U.
> > >
> > > Gruß v. Angela
> > >
> > Also lautet der gesamte Beweis:
> >
> > Zu zeigen. jedes Element aus V/U besitzt eine
> > Linearkombination aus [mm]b_{1}, b_{2}[/mm] und [mm]b_{3}[/mm]
>
> Hallo,
>
> jetzt überleg' Dir nochmal genau, was Du hier eigentlich
> zeigen möchtest.
> (Überleg Dir zunächst, daß diese Aussage Schrott ist.
> Warum?)
>
> Erstaunlich ist nun, daß Dein Beweis richtig ist, obgleich
> die zu beweisende Aussage falsch dasteht.
> Hast Du Dich nicht gewundert?
>
> Gruß v. Angela
> >
Oh stimmt es muss natürlich heißen eine Linearkombination aus [mm] b_{1}+U [/mm] und [mm] b_{2}+U, [/mm] weil das ja die Basis von V/U ist und [mm] b_{3} [/mm] gehört da gar nicht zu...
jetzt stimmts aber:)...LG Schmetterfee
> > Beweis:
> > Sei v [mm]\in[/mm] V mit [mm]v=rb_{1}+sb_{2}+tb_{3}[/mm]
> > Daraus folgt:
> >
> [mm]v+U=(rb_{1}+sb_{2}+tb_{2})+U=(rb_{1}+U)+(sb_{2}+U)+(tb_{3}+U)[/mm]
> > Da [mm]=U[/mm] gilt: [mm]tb_{3}[/mm] + U=U. da U das neutrale
> Element
> > von V/U folt:
> > [mm]v+U=(rb_{1}+U)+(sb_{2}+U)=r(b_{1}+U)+s(b_{2}+U)[/mm]
> >
> > so is doch jetzt alles drin?...
> >
> > LG Schmetterfee
>
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> Oh stimmt es muss natürlich heißen eine Linearkombination
> aus [mm]b_{1}+U[/mm] und [mm]b_{2}+U,[/mm]
Genau.
Gruß v. Angela
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> > > > > so ich versuch jetzt den ganzen Beweis:
> > > >
> > > > Gut.
> > > >
> > > > Dann fangen wir jetzt richtig schön am Anfang an.
> > > >
> > > > Sei V der von 1, x, [mm]x^{2}[/mm] im Raum aller Polynomfunktionen
> > > > über [mm]\IR[/mm] erzeugte Untervektorraum und U der von [mm]x^{2}-3x+2[/mm]
> > > > in V erzeugten Untervektoraum.
> > > > (i) Man bestimme eine Basis V/U.
> > > >
> > > > Es ist [mm]b_3:=x^{2}-3x+2[/mm] eine Basis von U, denn [mm]U=.[/mm]
> > > >
> > > > mit [mm]b_1:=1, b_2:=x^2[/mm]
> > > >
> > > > ist (b_, [mm]b_2, b_3)[/mm] eine Basis von V, denn die drei Vektoren
> > > > sind linear unabhängig. (/*)
> > > >
> > > > B:
> > > >
> > > > Behauptung: [mm](b_1+U, b_2+U)[/mm] erzeugt den V/U
> > > >
> > > > Hierfür zu zeigen: jedes Element von V/U kann man als
> > > > Linearkombination dieser Vektoren schreiben.
> > > >
> > > > Beweis: sei [mm]v\in[/mm] V.
> > > >
> > > > Und nun mußt Du Dir überlegen, wie Du v+U schreiben
> > > > kannst als v+U= [mm]r(b_1+U) +s(b_2+U)[/mm]
> > > >
> > > >
> > > muss ich hier noch etwas weiter ausführen oder eicht es zu
> > > sagen, dass jedes v+U eine solche Darstellung besitzt?
> >
> > Wenn Du das einfach so sagst, bleibt es eine bloße
> > Behauptung.
> > Du mußt es beweisen, also vorrechnen.
> >
> und wie muss ich das vorrechnen muss ich damit anfangen,
> dass v= [mm]\alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2}+\alpha_{3}b_{3}??[/mm]
Hallo,
ja, das wäre der Anfang.
> > > > > Somit wäre doch der Beweis für Teilaufgabe i
> > > komplett und
> > > > > ich kann mich an die Linearkombination für ii setzen...
> > > >
> > > > Das läuft nahezu auf dasselbe hinaus wie der Beweis des
> > > > Erzeugendensystems.
> > > >
> > > >
> > > > > oder?...aber da tritt ja schon das nächste Problem auf in
> > > > > meinem Elementen [mm]b_{1}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm] steht ja an 2. Stelle die
> > > > > 0, von daher kann ich -5x doch gar nicht darstellen oder?
> > > >
> > > > Schreib jetzt [mm]x^{2}-5x+7[/mm] als Linearkombination von [mm](b_1, b_2,b_3).[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > an sich ist das kein problem wenn ich, dies mithilfe von
> > > vektoren machen kann also:
> >
> > Du meinst mithilfe von Elementen des [mm]\Vektorraumes IR^3.[/mm]
>
> >
> > Deine Vektoren sind ja jetzt die Polynome, aber das geht
> > doch genauso!
> > Wo ist das Problem?
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> >
> > > [mm]\vektor{2 \\ -5 \\ 7}= \bruch{1}{3}\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] +3
> > > [mm]\bruch{2}{3}\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] +1 [mm]\bruch{2}{3}\vektor{1 \\ -3 \\2}[/mm]
>
> >
>
> muss ich das bei 5 ii jetzt einfach so hin schreiben? und
> das wars?..aber wie füge ich denn das +U dazu?
Irgendwie scheine ich sehr undeutlich zu formulieren.
Hatte ich nicht gesagt, daß Du das Polynom als Linearkombination der Polynome [mm] b_1, b_2, b_3 [/mm] schreiben sollst?
Dann $ [mm] (x^{2}-5x+7)+U [/mm] $ a= [mm] (...b_1 [/mm] + [mm] ...b_2 [/mm] + [mm] ...b_3)+U, [/mm] und dann -sehen wir weiter.
>
> > >
> > > so würde es nämlich hinhauen
> > >
> > > > Gruß v. Angela
> > > >
> > > >
> > > > [mm](\*)[/mm] zur linearen Unabhängigkeit der [mm]b_i:[/mm]
> > > >
> > > > Es sei a*1 + [mm]b*x^2[/mm] + [mm]c(x^{2}-3x+2)=0[/mm]
> > > >
> > > > ==> ???
>
> das müsste dann doch
>
> a [mm]\vektor{0 \\ 0 \\1}+b \vektor{1 \\ 0 \\ 0}+[/mm] c [mm]\vektor{1 \\ -3 \\ 2}=0[/mm]
Warum Du jetzt schon wieder Spaltenvektoren hast...
Na gut, Du willst unbedingt mit Koordinatenvektoren arbeiten...
Das Ergebnis ist natürlich richtig.
Gruß v. Angela
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> > > > > Es sei a*1 + [mm]b*x^2[/mm] + [mm]c(x^{2}-3x+2)=0[/mm]
> > a [mm]\vektor{0 \\ 0 \\1}+b \vektor{1 \\ 0 \\ 0}+[/mm] c [mm]\vektor{1 \\ -3 \\ 2}=0[/mm]
>
> Warum Du jetzt schon wieder Spaltenvektoren hast...
> Na gut, Du willst unbedingt mit Koordinatenvektoren
> arbeiten...
Hallo Angela,
es ist doch durchaus auch bei solchen "Vektoren",
die Polynome sind, zugelassen und eventuell
nützlich, die Komponentenschreibweise mit
Spaltenvektoren (oder ev. auch mit Zeilen-
vektoren) zu benützen. Es muss nur jeweils
klar sein, was dahinter steckt, dass also z.B.
[mm] \pmat{1\\0\\0} [/mm] für [mm] x^2 [/mm] steht etc.
LG Al
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> Es muss nur jeweils
> klar sein, was dahinter steckt,
Eben...
Bevor man den Übergang zu Koordinatenvektoren macht, sollte man erstmal wissen, daß [mm] x^2+2x+3 [/mm] ein Vektor des Polynomraums ist - obgleich es hier keine Spalten gibt.
Gruß v. Angela
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> > > > > > so ich versuch jetzt den ganzen Beweis:
> > > > >
> > > > > Gut.
> > > > >
> > > > > Dann fangen wir jetzt richtig schön am Anfang an.
> > > > >
> > > > > Sei V der von 1, x, [mm]x^{2}[/mm] im Raum aller Polynomfunktionen
> > > > > über [mm]\IR[/mm] erzeugte Untervektorraum und U der von [mm]x^{2}-3x+2[/mm]
> > > > > in V erzeugten Untervektoraum.
> > > > > (i) Man bestimme eine Basis V/U.
> > > > >
> > > > > Es ist [mm]b_3:=x^{2}-3x+2[/mm] eine Basis von U, denn [mm]U=.[/mm]
> > > > >
> > > > > mit [mm]b_1:=1, b_2:=x^2[/mm]
> > > > >
> > > > > ist (b_, [mm]b_2, b_3)[/mm] eine Basis von V, denn die drei Vektoren
> > > > > sind linear unabhängig. (/*)
> > > > >
> > > > > B:
> > > > >
> > > > > Behauptung: [mm](b_1+U, b_2+U)[/mm] erzeugt den V/U
> > > > >
> > > > > Hierfür zu zeigen: jedes Element von V/U kann man als
> > > > > Linearkombination dieser Vektoren schreiben.
> > > > >
> > > > > Beweis: sei [mm]v\in[/mm] V.
> > > > >
> > > > > Und nun mußt Du Dir überlegen, wie Du v+U schreiben
> > > > > kannst als v+U= [mm]r(b_1+U) +s(b_2+U)[/mm]
> > > > >
> > > > >
> > > > muss ich hier noch etwas weiter ausführen oder eicht es zu
> > > > sagen, dass jedes v+U eine solche Darstellung besitzt?
> > >
> > > Wenn Du das einfach so sagst, bleibt es eine bloße
> > > Behauptung.
> > > Du mußt es beweisen, also vorrechnen.
> > >
> > und wie muss ich das vorrechnen muss ich damit anfangen,
> > dass v= [mm]\alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2}+\alpha_{3}b_{3}??[/mm]
>
> Hallo,
>
> ja, das wäre der Anfang.
>
> > > > > > Somit wäre doch der Beweis für Teilaufgabe i
> > > > komplett und
> > > > > > ich kann mich an die Linearkombination für ii setzen...
> > > > >
> > > > > Das läuft nahezu auf dasselbe hinaus wie der Beweis des
> > > > > Erzeugendensystems.
> > > > >
> > > > >
> > > > > > oder?...aber da tritt ja schon das nächste Problem auf in
> > > > > > meinem Elementen [mm]b_{1}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm] steht ja an 2. Stelle die
> > > > > > 0, von daher kann ich -5x doch gar nicht darstellen oder?
> > > > >
> > > > > Schreib jetzt [mm]x^{2}-5x+7[/mm] als Linearkombination von [mm](b_1, b_2,b_3).[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > an sich ist das kein problem wenn ich, dies mithilfe von
> > > > vektoren machen kann also:
> > >
> > > Du meinst mithilfe von Elementen des [mm]\Vektorraumes IR^3.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Deine Vektoren sind ja jetzt die Polynome, aber das geht
> > > doch genauso!
> > > Wo ist das Problem?
> > >
> > > Gruß v. Angela
> > >
> > >
> > > > [mm]\vektor{2 \\ -5 \\ 7}= \bruch{1}{3}\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] +3
> > > > [mm]\bruch{2}{3}\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] +1 [mm]\bruch{2}{3}\vektor{1 \\ -3 \\2}[/mm]
>
> >
> > >
> >
> > muss ich das bei 5 ii jetzt einfach so hin schreiben? und
> > das wars?..aber wie füge ich denn das +U dazu?
>
> Irgendwie scheine ich sehr undeutlich zu formulieren.
>
> Hatte ich nicht gesagt, daß Du das Polynom als
> Linearkombination der Polynome [mm]b_1, b_2, b_3[/mm] schreiben
> sollst?
>
> Dann [mm](x^{2}-5x+7)+U[/mm] a= [mm](...b_1[/mm] + [mm]...b_2[/mm] + [mm]...b_3)+U,[/mm] und
> dann -sehen wir weiter.
ja das wäre dann doch [mm] (x^{2}-5x+7)+U [/mm] a= [mm] \bruch{2}{3} b_{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}b_{2}+ [/mm] a [mm] \bruch{2}{3} b_{3} [/mm] oder nicht??
>
>
> >
> > > >
> > > > so würde es nämlich hinhauen
> > > >
> > > > > Gruß v. Angela
> > > > >
> > > > >
> > > > > [mm](\*)[/mm] zur linearen Unabhängigkeit der [mm]b_i:[/mm]
> > > > >
> > > > > Es sei a*1 + [mm]b*x^2[/mm] + [mm]c(x^{2}-3x+2)=0[/mm]
> > > > >
> > > > > ==> ???
> >
> > das müsste dann doch
> >
> > a [mm]\vektor{0 \\ 0 \\1}+b \vektor{1 \\ 0 \\ 0}+[/mm] c [mm]\vektor{1 \\ -3 \\ 2}=0[/mm]
>
> Warum Du jetzt schon wieder Spaltenvektoren hast...
> Na gut, Du willst unbedingt mit Koordinatenvektoren
> arbeiten...
kann ichd as denn so lassen oder lieber auch so wie dort oben?
LG Schmetterfee
>
> Das Ergebnis ist natürlich richtig.
>
> Gruß v. Angela
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> > > > > > > so ich versuch jetzt den ganzen Beweis:
> > > > > >
> > > > > > Gut.
> > > > > >
> > > > > > Dann fangen wir jetzt richtig schön am Anfang an.
> > > > > >
> > > > > > Sei V der von 1, x, [mm]x^{2}[/mm] im Raum aller Polynomfunktionen
> > > > > > über [mm]\IR[/mm] erzeugte Untervektorraum und U der von [mm]x^{2}-3x+2[/mm]
> > > > > > in V erzeugten Untervektoraum.
> > > > > > (i) Man bestimme eine Basis V/U.
> > > > > >
> > > > > > Es ist [mm]b_3:=x^{2}-3x+2[/mm] eine Basis von U, denn [mm]U=.[/mm]
> > > > > >
> > > > > > mit [mm]b_1:=1, b_2:=x^2[/mm]
> > > > > >
> > > > > > ist (b_, [mm]b_2, b_3)[/mm] eine Basis von V, denn die drei Vektoren
> > > > > > sind linear unabhängig. (/*)
> > > > > >
> > > > > > B:
> > > > > >
> > > > > > Behauptung: [mm](b_1+U, b_2+U)[/mm] erzeugt den V/U
> > > > > >
> > > > > > Hierfür zu zeigen: jedes Element von V/U kann man als
> > > > > > Linearkombination dieser Vektoren schreiben.
> > > > > >
> > > > > > Beweis: sei [mm]v\in[/mm] V.
> > > > > >
> > > > > > Und nun mußt Du Dir überlegen, wie Du v+U schreiben
> > > > > > kannst als v+U= [mm]r(b_1+U) +s(b_2+U)[/mm]
> > > > > >
>
> > > > > >
> > > > > muss ich hier noch etwas weiter ausführen oder eicht es zu
> > > > > sagen, dass jedes v+U eine solche Darstellung besitzt?
> > > >
> > > > Wenn Du das einfach so sagst, bleibt es eine bloße
> > > > Behauptung.
> > > > Du mußt es beweisen, also vorrechnen.
> > > >
> > > und wie muss ich das vorrechnen muss ich damit anfangen,
> > > dass v= [mm]\alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2}+\alpha_{3}b_{3}??[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > ja, das wäre der Anfang.
> >
> > > > > > > Somit wäre doch der Beweis für Teilaufgabe i
> > > > > komplett und
> > > > > > > ich kann mich an die Linearkombination für ii setzen...
> > > > > >
> > > > > > Das läuft nahezu auf dasselbe hinaus wie der Beweis des
> > > > > > Erzeugendensystems.
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > > oder?...aber da tritt ja schon das nächste Problem auf in
> > > > > > > meinem Elementen [mm]b_{1}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm] steht ja an 2. Stelle die
> > > > > > > 0, von daher kann ich -5x doch gar nicht darstellen oder?
> > > > > >
> > > > > > Schreib jetzt [mm]x^{2}-5x+7[/mm] als Linearkombination von [mm](b_1, b_2,b_3).[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > an sich ist das kein problem wenn ich, dies mithilfe von
> > > > > vektoren machen kann also:
> > > >
> > > > Du meinst mithilfe von Elementen des [mm]\Vektorraumes IR^3.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Deine Vektoren sind ja jetzt die Polynome, aber das geht
> > > > doch genauso!
> > > > Wo ist das Problem?
> > > >
> > > > Gruß v. Angela
> > > >
> > > >
> > > > > [mm]\vektor{2 \\ -5 \\ 7}= \bruch{1}{3}\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] +3
> > > > > [mm]\bruch{2}{3}\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] +1 [mm]\bruch{2}{3}\vektor{1 \\ -3 \\2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > >
> > > muss ich das bei 5 ii jetzt einfach so hin schreiben? und
> > > das wars?..aber wie füge ich denn das +U dazu?
> >
> > Irgendwie scheine ich sehr undeutlich zu formulieren.
> >
> > Hatte ich nicht gesagt, daß Du das Polynom als
> > Linearkombination der Polynome [mm]b_1, b_2, b_3[/mm] schreiben
> > sollst?
> >
> > Dann [mm](x^{2}-5x+7)+U[/mm] a= [mm](...b_1[/mm] + [mm]...b_2[/mm] + [mm]...b_3)+U,[/mm] und
> > dann -sehen wir weiter.
>
> ja das wäre dann doch [mm](x^{2}-5x+7)+U[/mm] a= [mm]\bruch{2}{3} b_{1}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{3}b_{2}+[/mm] a [mm]\bruch{2}{3} b_{3}[/mm] oder nicht??
Hallo,
schon nah dran.
Wenn ich jetzt [mm] b_1, b_2 [/mm] und [mm] b_3 [/mm] noch richtig im Kopf habe, dann muß man
[mm] x^2+5x+7= r*1+s*x^2+t(x^2-3x+2)= (s+t)x^2 [/mm] -3tx +(r+2t) lösen
da kommt ein bißchen was anderes raus.
Aber prüfe sicherheitshalber nochmal die Vektoren. ich verliere hier allählich den Faden.
> >
> >
> > >
> > > > >
> > > > > so würde es nämlich hinhauen
> > > > >
> > > > > > Gruß v. Angela
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > [mm](\*)[/mm] zur linearen Unabhängigkeit der [mm]b_i:[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Es sei a*1 + [mm]b*x^2[/mm] + [mm]c(x^{2}-3x+2)=0[/mm]
> > > > > >
> > > > > > ==> ???
> > >
> > > das müsste dann doch
> > >
> > > a [mm]\vektor{0 \\ 0 \\1}+b \vektor{1 \\ 0 \\ 0}+[/mm] c [mm]\vektor{1 \\ -3 \\ 2}=0[/mm]
>
> >
> > Warum Du jetzt schon wieder Spaltenvektoren hast...
> > Na gut, Du willst unbedingt mit Koordinatenvektoren
> > arbeiten...
> kann ichd as denn so lassen oder lieber auch so wie dort
> oben?
Du könntest es so lassen, aber mach doch mal einen Koeffizientenvergleich wie oben. Man muß sowas können.
Gruß v. Angela
> LG Schmetterfee
> >
> > Das Ergebnis ist natürlich richtig.
> >
> > Gruß v. Angela
>
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> > > > > > > > so ich versuch jetzt den ganzen Beweis:
> > > > > > >
> > > > > > > Gut.
> > > > > > >
> > > > > > > Dann fangen wir jetzt richtig schön am Anfang an.
> > > > > > >
> > > > > > > Sei V der von 1, x, [mm]x^{2}[/mm] im Raum aller Polynomfunktionen
> > > > > > > über [mm]\IR[/mm] erzeugte Untervektorraum und U der von [mm]x^{2}-3x+2[/mm]
> > > > > > > in V erzeugten Untervektoraum.
> > > > > > > (i) Man bestimme eine Basis V/U.
> > > > > > >
> > > > > > > Es ist [mm]b_3:=x^{2}-3x+2[/mm] eine Basis von U, denn [mm]U=.[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > mit [mm]b_1:=1, b_2:=x^2[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > ist (b_, [mm]b_2, b_3)[/mm] eine Basis von V, denn die drei Vektoren
> > > > > > > sind linear unabhängig. (/*)
> > > > > > >
> > > > > > > B:
> > > > > > >
> > > > > > > Behauptung: [mm](b_1+U, b_2+U)[/mm] erzeugt den V/U
> > > > > > >
> > > > > > > Hierfür zu zeigen: jedes Element von V/U kann man als
> > > > > > > Linearkombination dieser Vektoren schreiben.
> > > > > > >
> > > > > > > Beweis: sei [mm]v\in[/mm] V.
> > > > > > >
> > > > > > > Und nun mußt Du Dir überlegen, wie Du v+U schreiben
> > > > > > > kannst als v+U= [mm]r(b_1+U) +s(b_2+U)[/mm]
> > > > >
> > >
> >
> > > > > > >
> > > > > > muss ich hier noch etwas weiter ausführen oder eicht es zu
> > > > > > sagen, dass jedes v+U eine solche Darstellung besitzt?
> > > > >
> > > > > Wenn Du das einfach so sagst, bleibt es eine bloße
> > > > > Behauptung.
> > > > > Du mußt es beweisen, also vorrechnen.
> > > > >
> > > > und wie muss ich das vorrechnen muss ich damit anfangen,
> > > > dass v= [mm]\alpha_{1}b_{1}+\alpha_{2}b_{2}+\alpha_{3}b_{3}??[/mm]
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > ja, das wäre der Anfang.
> > >
> > > > > > > > Somit wäre doch der Beweis für Teilaufgabe i
> > > > > > komplett und
> > > > > > > > ich kann mich an die Linearkombination für ii setzen...
> > > > > > >
> > > > > > > Das läuft nahezu auf dasselbe hinaus wie der Beweis des
> > > > > > > Erzeugendensystems.
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > > oder?...aber da tritt ja schon das nächste Problem auf in
> > > > > > > > meinem Elementen [mm]b_{1}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm] steht ja an 2. Stelle die
> > > > > > > > 0, von daher kann ich -5x doch gar nicht darstellen oder?
> > > > > > >
> > > > > > > Schreib jetzt [mm]x^{2}-5x+7[/mm] als Linearkombination von [mm](b_1, b_2,b_3).[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > an sich ist das kein problem wenn ich, dies mithilfe von
> > > > > > vektoren machen kann also:
> > > > >
> > > > > Du meinst mithilfe von Elementen des [mm]\Vektorraumes IR^3.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Deine Vektoren sind ja jetzt die Polynome, aber das geht
> > > > > doch genauso!
> > > > > Wo ist das Problem?
> > > > >
> > > > > Gruß v. Angela
> > > > >
> > > > >
> > > > > > [mm]\vektor{2 \\ -5 \\ 7}= \bruch{1}{3}\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] +3
> > > > > > [mm]\bruch{2}{3}\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] +1 [mm]\bruch{2}{3}\vektor{1 \\ -3 \\2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > >
> > > > muss ich das bei 5 ii jetzt einfach so hin schreiben? und
> > > > das wars?..aber wie füge ich denn das +U dazu?
> > >
> > > Irgendwie scheine ich sehr undeutlich zu formulieren.
> > >
> > > Hatte ich nicht gesagt, daß Du das Polynom als
> > > Linearkombination der Polynome [mm]b_1, b_2, b_3[/mm] schreiben
> > > sollst?
> > >
> > > Dann [mm](x^{2}-5x+7)+U[/mm] a= [mm](...b_1[/mm] + [mm]...b_2[/mm] + [mm]...b_3)+U,[/mm] und
> > > dann -sehen wir weiter.
> >
> > ja das wäre dann doch [mm](x^{2}-5x+7)+U[/mm] a= [mm]\bruch{2}{3} b_{1}[/mm]
> > + [mm]\bruch{1}{3}b_{2}+[/mm] a [mm]\bruch{2}{3} b_{3}[/mm] oder nicht??
>
> Hallo,
>
> schon nah dran.
>
> Wenn ich jetzt [mm]b_1, b_2[/mm] und [mm]b_3[/mm] noch richtig im Kopf habe,
> dann muß man
>
> [mm]x^2+5x+7= r*1+s*x^2+t(x^2-3x+2)= (s+t)x^2[/mm] -3tx +(r+2t)
> lösen
>
> da kommt ein bißchen was anderes raus.
>
ich habe es nochmal nachgerechnet und r=3 [mm] \bruch{2}{3} [/mm] , [mm] s=\bruch{1}{3} [/mm] und [mm] t=1\bruch{2}{3}
[/mm]
so aber richtig oder?
> Aber prüfe sicherheitshalber nochmal die Vektoren. ich
> verliere hier allählich den Faden.
>
>
> > >
> > >
> > > >
> > > > > >
> > > > > > so würde es nämlich hinhauen
> > > > > >
> > > > > > > Gruß v. Angela
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > [mm](\*)[/mm] zur linearen Unabhängigkeit der [mm]b_i:[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > Es sei a*1 + [mm]b*x^2[/mm] + [mm]c(x^{2}-3x+2)=0[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > ==> ???
> > > >
> > > > das müsste dann doch
> > > >
> > > > a [mm]\vektor{0 \\ 0 \\1}+b \vektor{1 \\ 0 \\ 0}+[/mm] c [mm]\vektor{1 \\ -3 \\ 2}=0[/mm]
>
> >
> > >
> > > Warum Du jetzt schon wieder Spaltenvektoren hast...
> > > Na gut, Du willst unbedingt mit Koordinatenvektoren
> > > arbeiten...
> > kann ichd as denn so lassen oder lieber auch so wie
> dort
> > oben?
>
> Du könntest es so lassen, aber mach doch mal einen
> Koeffizientenvergleich wie oben. Man muß sowas können.
>
dann wäre das:
a*1 [mm] +b*x^{2}+c*(x^{2}-3x+2)=0
[/mm]
==> (b+c) [mm] x^{2} [/mm] - 3cx +(a+2c)=0
und daraus folgt dann doch, dass a=b=c=0 oder?..dann wäre ja jetzt auch der Beweis abgearbeitet oder?
LG Schmetterfee
> Gruß v. Angela
>
> > LG Schmetterfee
> > >
> > > Das Ergebnis ist natürlich richtig.
> > >
> > > Gruß v. Angela
> >
>
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> ich habe es nochmal nachgerechnet und r=3 [mm]\bruch{2}{3}[/mm] ,
> [mm]s=\bruch{1}{3}[/mm] und [mm]t=1\bruch{2}{3}[/mm]
> so aber richtig oder?
Hallo,
mein Ergebnis ist etwas anders, aber vielleicht habe ich die falschen Vektoren genommen.
Auf jeden Fall solltest Du das fragliche Polynom jetzt einmal als Linearkombination der besagten Vektoren hinschreiben, damit Du weitermachen kannst.
Das Ziel war ja, daß Du (Polynom + U) schreibst als Linearkombination von [mm] b_1+U [/mm] und [mm] b_2+U.
[/mm]
---
> dann wäre das:
> a*1 [mm]+b*x^{2}+c*(x^{2}-3x+2)=0[/mm]
> ==> (b+c) [mm]x^{2}[/mm] - 3cx +(a+2c)=0
> und daraus folgt dann doch, dass a=b=c=0 oder?..dann wäre
> ja jetzt auch der Beweis abgearbeitet oder?
Ich hab' jetzt total vergessen, was Du hier unten zeigen wolltest, also den Zusammenhang.
Kannst Du mir auf die Sprünge helfen?
Ging's daraum, ob [mm] (1,x^2, x^2-3x+2) [/mm] eine Basis des 3-dim. Raumes der Polynome vom Höchstgrad 2 ist?
Das wäre hiermit gezeigt.
Gruß v. Angela
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> > ich habe es nochmal nachgerechnet und r=3 [mm]\bruch{2}{3}[/mm] ,
> > [mm]s=\bruch{1}{3}[/mm] und [mm]t=1\bruch{2}{3}[/mm]
> > so aber richtig oder?
>
> Hallo,
>
> mein Ergebnis ist etwas anders, aber vielleicht habe ich
> die falschen Vektoren genommen.
>
>
> Auf jeden Fall solltest Du das fragliche Polynom jetzt
> einmal als Linearkombination der besagten Vektoren
> hinschreiben, damit Du weitermachen kannst.
>
oh entschuldigung ich habe mich in der Aufgabe vertippt es soll [mm] 2x^{2}-5x+7 [/mm] heißen ich ändere die eine Tahle gleich:
[mm] 2x^{2}-5x+7=3\bruch{2}{3}b_{1}+ \bruch{1}{3}b_{2} [/mm] + 1 [mm] \bruch{2}{3} b_{3}
[/mm]
aber wie bekomme wir hier das [mm] b_{3} [/mm] weg wir können es ja nicht einfach rausnehmen dann stimmt der zusammenhang ja nicht mehr...
> Das Ziel war ja, daß Du (Polynom + U) schreibst als
> Linearkombination von [mm]b_1+U[/mm] und [mm]b_2+U.[/mm]
>
> ---
>
> > dann wäre das:
> > a*1 [mm]+b*x^{2}+c*(x^{2}-3x+2)=0[/mm]
> > ==> (b+c) [mm]x^{2}[/mm] - 3cx +(a+2c)=0
> > und daraus folgt dann doch, dass a=b=c=0 oder?..dann
> wäre
> > ja jetzt auch der Beweis abgearbeitet oder?
>
> Ich hab' jetzt total vergessen, was Du hier unten zeigen
> wolltest, also den Zusammenhang.
> Kannst Du mir auf die Sprünge helfen?
> Ging's daraum, ob [mm](1,x^2, x^2-3x+2)[/mm] eine Basis des 3-dim.
> Raumes der Polynome vom Höchstgrad 2 ist?
> Das wäre hiermit gezeigt.
>
ja ich wollte zeigen, dass die [mm] b_{i} [/mm] l.u. sind
LG Schmetterfee
> Gruß v. Angela
>
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ich weiß noch immer nicht genau wie ich das [mm] b_{3} [/mm] weg bekomm weil sonst komm ich nciht auf meine -5x
muss [mm] b_{3} [/mm] überhaupt weg?
LG Schmetterfee
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> [mm]2x^{2}-5x+7=3\bruch{2}{3}b_{1}+ \bruch{1}{3}b_{2}[/mm] + 1 [mm]\bruch{2}{3} b_{3}[/mm]
Hallo,
wir haben jetzt also
[mm] p:=2x^{2}-5x+7=\bruch{11}{3}b_1+\bruch{1}{3}b_2 [/mm] + [mm] \bruch{5}{3}b_3.
[/mm]
Unser Ziel ist es,
p+U zu schreiben als p+U= [mm] r(b_1+U)+s(b_2+U).
[/mm]
Auf geht's:
[mm] p+U=(\bruch{11}{3}b_1+\bruch{1}{3}b_2 [/mm] + [mm] \bruch{5}{3}b_3)+U
[/mm]
= ...+...+...
Bedenke bei Deinen Überlegungen, daß [mm] U=. [/mm] Was ist also [mm] kb_3+U?
[/mm]
Gruß v. Angela
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>
> > [mm]2x^{2}-5x+7=3\bruch{2}{3}b_{1}+ \bruch{1}{3}b_{2}[/mm] + 1
> [mm]\bruch{2}{3} b_{3}[/mm]
>
> Hallo,
>
> wir haben jetzt also
>
> [mm]p:=2x^{2}-5x+7=\bruch{11}{3}b_1+\bruch{1}{3}b_2[/mm] +
> [mm]\bruch{5}{3}b_3.[/mm]
>
>
> Unser Ziel ist es,
>
> p+U zu schreiben als p+U= [mm]r(b_1+U)+s(b_2+U).[/mm]
>
> Auf geht's:
>
> [mm]p+U=(\bruch{11}{3}b_1+\bruch{1}{3}b_2[/mm] + [mm]\bruch{5}{3}b_3)+U[/mm]
>
> = ...+...+...
>
>
also [mm] =(\bruch{11}{3}b_1+U)+(\bruch{1}{3}b_2+U) [/mm] + [mm] (\bruch{5}{3}b_3+U)
[/mm]
da [mm] =U [/mm] folgt: [mm] \bruch{5}{3}b_3+U=U
[/mm]
also haben wir [mm] p+U=(\bruch{11}{3}b_1+U)+(\bruch{1}{3}b_2+U)
[/mm]
wars das jetzt schon?...
LG Schmetterfee
>
> Bedenke bei Deinen Überlegungen, daß [mm]U=.[/mm] Was ist
> also [mm]kb_3+U?[/mm]
>
>
> Gruß v. Angela
>
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> >
> > > [mm]2x^{2}-5x+7=3\bruch{2}{3}b_{1}+ \bruch{1}{3}b_{2}[/mm] + 1
> > [mm]\bruch{2}{3} b_{3}[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > wir haben jetzt also
> >
> > [mm]p:=2x^{2}-5x+7=\bruch{11}{3}b_1+\bruch{1}{3}b_2[/mm] +
> > [mm]\bruch{5}{3}b_3.[/mm]
> >
> >
> > Unser Ziel ist es,
> >
> > p+U zu schreiben als p+U= [mm]r(b_1+U)+s(b_2+U).[/mm]
> >
> > Auf geht's:
> >
> > [mm]p+U=(\bruch{11}{3}b_1+\bruch{1}{3}b_2[/mm] + [mm]\bruch{5}{3}b_3)+U[/mm]
> >
> > = ...+...+...
> >
> >
> also [mm]=(\bruch{11}{3}b_1+U)+(\bruch{1}{3}b_2+U)[/mm] +
> [mm](\bruch{5}{3}b_3+U)[/mm]
> da [mm]=U[/mm] folgt: [mm]\bruch{5}{3}b_3+U=U[/mm]
> also haben wir
> [mm]p+U=(\bruch{11}{3}b_1+U)+(\bruch{1}{3}b_2+U)[/mm]
> wars das jetzt schon?...
Hast Du Zweifel?
Möchtest Du mehr tun?
Hast Du das Gefühl, etwas vergessen zu haben?
Eine Kleinigkeit fehlt noch: Du wolltest es doch in der Form [mm]r(b_1+U)+s(b_2+U).[/mm].
Der Schritt ist klein, man kann ihn nicht verkehrt machen, und mich dünkt, wir sind jetzt fertig hier.
Du hast die Aufgabe mit (viel zu starker) Lenkung gelöst. Damit das einen Sinn macht, der über die HÜ-Punkte hinausgeht, solltest Du Dir jetzt die Aufgabenstellung schnappen und die Sache versuchen, mit allen Erklärungen zu Papier zu bringen.
Huch - mir wird so komisch: das hatte ich Dir vielleicht schon gesag (?)t... - aber wahr ist's dann immer noch.
Gruß v. Angela
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> >
> > > > > > Ich denke, daß Du Dich zuvor noch ein bißchen in den
> > >
> > > > Quotientenraum (Faktorraum) V/U einlesen
> solltest.
> > > > > >
> > >
> > > ich habe das skript und unser begleitendes Buch schon durch
> > > gearbeitet und war auchd er Meinung das ich alles
> > > verstanden habe
> >
> > Hallo,
> >
> > das ist aber offensichtlich nicht der Fall.
> > Das ist kein Vorwurf, lediglich eine Feststellung.
> >
> >
> Ja ich habe es auch nichts als Vorwurf aufgefasst..wenn ich
> mein Problem darstellen sollte dann ist es nicht das
> vertsändnis der teilschritte sonder es fügen sich bei mir
> noch nicht die Zusammenhänge sorecht zusammen...
> > > bloß da steht überhaput nichts zum Thema
> > > Basis oder linear
> >
> > Natürlich nicht!
> > Das wurde doch ein paar Kapitel zuvor behandelt.
> >
> > Die Transferleistung, dies zu verwenden bei dem neuen
> > Vektorraum, wird dann in der Hausübung erwartet.
> > Mit Recht, wie ich meine, und übrigens nicht nur bei
> > Euch.
> >
> >
> >
> > > und von daher bringt mir
> > > das nicht viel...oder brauch ich das gar nicht??
> > > > > > Gruß v. Angela
> > > > >
> > > > > Sei [mm]\alpha_{1} (b_{1}+U)+ \alpha_{2}(b_{2}[/mm] +U)=U
> > > > > ==> [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2})+U=U[/mm]
>
> > >
> > > >
> > > kann
> > > > ich
> > > > > jetzt nicht einfach sagen
> > > > > [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2})=0[/mm]
> > > > >
> und
> > > jetzt die
> > > > > Vektoren einsetzen und dann folgt ja
> > > > > [mm]\alpha_{1}=\alpha_{2}=0[/mm]
> > > > >
> > > > > oder geht das nicht einfach so?
> > > >
> > > > Genau.
> > > >
> > > ja aber warum gilt das denn nicht?
> >
> > Weil aus [mm]v_1+U=v_2+U[/mm] folgt, daß [mm]v_1-v_2\in[/mm] U.
> >
> >
> > > [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm][/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2})+U=U
wenn ich das U auf die andere Seite bringen dann steht doch da
(\alpha_{1} b_{1}[/mm]
> > > + [mm][mm]\alpha_{2} b_{2})=0[/mm]
> Nein. Bedenke, daß Du hier in V/U rechnest.
> U ist hier die Null.
> Der Vergleich ist vielleicht etwas blöd, aber wenn Du in 5+0=0 die Null > auf die andere Seite bringst, dann bleibt rechts auch kein Vakuum, sondern die Null.
> Ich find's wirklich gerade schwer, sinnvoll weiterzuhelfen, weil es so sehr > an den Grundlagen mangelt.
tut mir leid das das mit mir so kompliziert ist..aber ich geb mir ja auch echt mühe..ich will das ja auch alles verstehn und selber können..
> Aus [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2})+U=U>[/mm] folgt also [mm](\alpha_{1} b_{1}[/mm] + [mm]\alpha_{2} b_{2})\in U[/mm]
> daraus folgt doch eigentlich, dass [mm]\alpha_{1}b_{1} \in[/mm] U und [mm]\alpha_{2}b_{2} \in[/mm] U
Hallo,
nein
(Nehmen wir mal kurz die xy-Ebene als U.
es ist [mm] \vektor{1\\2\\3}+\vektor{ -3\\-3\\-3}\in [/mm] U, obgleich dies für keinen der beiden Vektoren gilt.)
> aber das bringt mich ja auch net weiter...
Wenn's gelten würde, würde es Dich weiterbringen...
> ==>??? Überlege Dir, wie die Elemente aus U aussehen.
> naja die Elemente aus U sind doch vektoren...
Nicht irgendwelche. Sondern Vielfache von [mm] b_3.
[/mm]
Versuche an dieser Stelle weiterzukommen.
Du brauchst im Moment noch gar nicht an die Polnome zu denken. Die [mm] b_i [/mm] reichen.
> bloß meine Frage enthalten diese Vektoren die Koeffizienten vor den Polynomen oder was enthalten die genau?
Was meinst Du mit "enthalten"?
Die Vektoren des Raumes, in welchem Du gerade arbeitest, sind Polynome.
Es gibt in diesem Polynomraum keine Vektoren der Gestalt [mm] \vektor{1\\2\\3} [/mm] !
Ich weiß natürlich, was Du meinst: die Spaltenvektoren, die Fred vorhin ins Spiel gebracht hat, um Dir auf die Sprünge zu helfen.
Das waren Koordinatenvektoren von Elementen aus dem Polynomraum bzgl der Standardbasis [mm] (1,x,x^2).
[/mm]
Gruß v. Angela
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> > Wir hatten
> >
> > [mm]p(x) = x^2-3x+2[/mm]
> >
> > Nimm mal an Du hättest den Vektor
> >
> > [mm]b_1=(1, -3, 2)^T}[/mm] gegeben.
> >
> > Kannst Du [mm]\{b_1\}[/mm] zu einer Basis des [mm]\IR^3[/mm] ergänzen ?
>
>
> Ja eine Basis von [mm]\IR^{3}[/mm] müsste doch [mm]\vektor{1 \\ -3 \\2}^{T}[/mm]
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -3}^{T}, \vektor{-3 \\ 2 \\1}^{T}[/mm] sein
> oder nicht?...und wie kann ich das auf meine Aufgabe
> übertragen?..ist das denn auch eine Basis Für
> V?...natürlich müssten die vektoren dann etwas anders
> aussehen..
>
> LG Schmetterfee
Hallo Schmetterfee,
deine Wahl der zwei zusätzlichen Vektoren, um
eine Basis zu bilden, ist äußerst ungeschickt:
du hast einfach die Komponenten zyklisch
vertauscht. Damit produzierst du aber im vor-
liegenden Fall wegen (1)+(-3)+(2)=0 automatisch
ein System von Vektoren, das nicht unab-
hängig und damit auch keine Basis sein kann.
Und etwas zur Schreibweise: Der "Exponent" T
bei einem Zeilenvektor bedeutet, dass man den
Vektor transponieren, also aus dem Zeilenvektor
zu einem Spaltenvektor machen soll. Wenn du
den Vektor aber schon als Spaltenvektor schreibst,
dann ist das hochgestellte "T" aber falsch, denn
es würde aus dem Spalten- wieder den Zeilen-
vektor machen !
$\ [mm] (a,b,c)^T\ [/mm] =\ [mm] \pmat{a\\b\\c}$
[/mm]
$\ [mm] \pmat{u\\v\\w}^T\ [/mm] =\ (u,v,w)$
$\ [mm] \left(v^T\right)^T\ [/mm] = v$
LG Al-Chw.
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Okay danke für die Aufklärung ich war mir nämlich nicht ganz sicher, was diese [mm] (...)^{T} [/mm] bedeutet..
Danke und lg Schmetterfee
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