Polynomiale Asymptote < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:26 Do 12.12.2013 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Partialbruchzerlegung von
f(x) = [mm] \bruch{2x^4 - 15x^3 + 40x^2 - 35x}{x^3 - 5x^2 + 7x - 3}
[/mm]
sowie das Grenzverhalten inklusive der polynomialen Asymptote an allen Polen und im Unendlichen. |
Die Partialbruchzerlegung habe ich gemacht.
Hier meine Lösungen
[mm] \bruch{A}{x - 1} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x - 2} [/mm] + [mm] \bruch{C}{x - 3}
[/mm]
A = -4 B = -2 C = 6
Grenzwert:
[mm] \bruch{x^3(2x - 15 + 40/x - 35/x^2)}{x^3(1 - 5/x + 7/x^2 - 3/x^3)}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Ich hoffe soweit sind meine Lösungen richtig.
Jetzt zur polynomialen Asymptote:
Die Polstellen habe ich berechnet.
[mm] x^3 [/mm] - [mm] 5x^2 [/mm] + 7x - 3 = 0
x1,2 = 1 x3 = 3
Wie ich die polynomiale Asymptote berechne weiß ich nicht.
Ich weiß nur das eine Asymptote nähert sich einer Funktion an ohne sie wirklich zu schneiden.
Danke schonmal für eure Hilfe im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:33 Do 12.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bestimmen Sie eine Partialbruchzerlegung von
> f(x) = [mm]\bruch{2x^4 - 15x^3 + 40x^2 - 35x}{x^3 - 5x^2 + 7x - 3}[/mm]
>
> sowie das Grenzverhalten inklusive der polynomialen
> Asymptote an allen Polen und im Unendlichen.
> Die Partialbruchzerlegung habe ich gemacht.
> Hier meine Lösungen
> [mm]\bruch{A}{x - 1}[/mm] + [mm]\bruch{B}{x - 2}[/mm] + [mm]\bruch{C}{x - 3}[/mm]
> A
> = -4 B = -2 C = 6
>
> Grenzwert:
> [mm]\bruch{x^3(2x - 15 + 40/x - 35/x^2)}{x^3(1 - 5/x + 7/x^2 - 3/x^3)}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = [mm]%255Cinfty[/mm]
Ja.
>
> Ich hoffe soweit sind meine Lösungen richtig.
> Jetzt zur polynomialen Asymptote:
> Die Polstellen habe ich berechnet.
> [mm]x^3[/mm] - [mm]5x^2[/mm] + 7x - 3 = 0
> x1,2 = 1 x3 = 3
Das stimmt.
>
> Wie ich die polynomiale Asymptote berechne weiß ich
> nicht.
Das geht am besten mit der Polynomdivision
Dann ergibt sich:
$ [mm] f(x)=\frac{2x^4 - 15x^3 + 40x^2 - 35x}{x^3 - 5x^2 + 7x - 3}= [/mm] 2x - 5 + [mm] \frac{x^2 + 6x - 15}{x^3 - 5x^2 + 7x - 3} [/mm] $
Der "nicht gebrochene Teil", hier also a(x)=2x-5 ist dann die polynomiale Asymptote
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Ich weiß nur das eine Asymptote nähert sich einer
> Funktion an ohne sie wirklich zu schneiden.
>
Das ist doch schonmal gut, das ist nicht selbstverständliches Wissen.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Do 12.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Hi,
danke für die Hilfe.
Was bedeutet jetzt "an allen Polen und im Unendlichen"?
Muss ich jetzt bei 2x + 5, die Polstellen und [mm] \infty [/mm] einsetzen?
Also
2*1+5 = 7 & 2*3+5 = 11
2 * [mm] \infty [/mm] + 5 = [mm] \infty
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:02 Do 12.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Hi,
> danke für die Hilfe.
>
> Was bedeutet jetzt "an allen Polen und im Unendlichen"?
> Muss ich jetzt bei 2x + 5, die Polstellen und [mm]\infty[/mm]
> einsetzen?
Nicht ganz.
Da du die Asymptote a(x)=2x-5 für [mm] x\to\pm\infty [/mm] kennst, reicht es hier, die Asymptote anzugeben.
Um die Grenzwerte an den Polstellen zu ermitteln, berechne
[mm] \lim\limits_{x\downarrow3}f(x)
[/mm]
und
[mm] \lim\limits_{x\uparrow3}f(x)
[/mm]
bzw
[mm] \lim\limits_{x\downarrow1}f(x)
[/mm]
und
[mm] \lim\limits_{x\uparrow1}f(x)
[/mm]
Damit überprüfst du, ob du an x=1 bzw x=3 eine Polstelle mit oder ohne Vorzeichenwechsel stattfindet.
Ausführlichere Informationen dazu findest du unter ![[]](/images/popup.gif) Kapitel 4.6.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Do 12.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Hi,
links- bzw rechtseitige Grenzwerte sind nicht gerade meine Stärke.
Bei dem Beispiel in der Erklärung
http://www.poenitz-net.de/Mathematik/4.Funktionen/4.6.S.Rationale%20Funktionen.pdf
verstehe ich, zumindest glaube ich es.
Bei [mm] \bruch{1}{x + 2} [/mm] bei x -> -2 wird der Nenner fast 0 also geht es gegen
[mm] \pm \infty
[/mm]
Bei einer Funktion ohne Bruch ist mir die Lösung nicht wirklich klar.
Bei meiner Funktion 2x + 5
Muss ich da bei x1,2 = 1 folgendes rechnen:
2 * 1,001 + 5 & 2 * 0,999 + 5
Ich kann mir nicht vorstellen das dies die Lösung sein kein.
Kann mir jemand für [mm] \limes_{n\uparrow\1} [/mm] 2x + 5 zeigen wie ich da vorzugehen habe ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Do 12.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Assymptote 2x-5 für x gegen [mm] \pm \infty [/mm] hat nichts mit den 2 Polstellen zu tun, also macht es auch keinen Sinn da die Polstellen x=1 und x=2 einzusetzen.
die setzt du in die ursprüngliche Gl. oder die richtige (deine ist falsch) Partialbruchzerlegung ein. Zur Kontrolle hast du ja die Zeichnung der fkt.
fesstellen sollst du, ob du einen Pol mit Zeichenwechsel (bei x=2) oder ohne (bei x=1 hast.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Do 12.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Ich soll also x1,2=1 und x3=3 in 2x - 5 + [mm] \bruch{x^2 + 6x - 15}{x^3 - 5x^2 + 7x - 3} [/mm] einsetzen.
Also
[mm] 2*1-5+\bruch{1^2 + 6*1 - 15}{1^3 - 5*1^2 + 7*1 - 3} [/mm] = [mm] -3+\bruch{-8}{0} [/mm] = -3
[mm] 2*3-5+\bruch{3^2 + 6*3 - 15}{3^3 - 5*3^2 + 7*3 - 3} [/mm] = [mm] 1+\bruch{12}{0} [/mm] = 1
Obwohl unser Prof immer sagt das uns aufhängt wenn wir durch 0 teilen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Do 12.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ich soll also x1,2=1 und x3=3 in 2x - 5 + [mm]\bruch{x^2 + 6x - 15}{x^3 - 5x^2 + 7x - 3}[/mm]
> einsetzen.
Nein, du sollst den Grenzwert berechnen.
> Also
> [mm]2*1-5+\bruch{1^2 + 6*1 - 15}{1^3 - 5*1^2 + 7*1 - 3}[/mm] =
> [mm]-3+\bruch{-8}{0}[/mm] = -3
Also:
[mm] \lim\limits_{x\downarrow3}\left(2x-5+\frac{x^{2}+6x-15}{x^{3}-5x^{2}+7x-3}\right)
[/mm]
[mm] =\underbrace{\lim\limits_{x\downarrow3}2x}_{6}-\underbrace{
\lim\limits_{x\downarrow3}5}_{5}+\underbrace{
\lim\limits_{x\downarrow3}\frac{x^{2}+6x-15}{x^{3}-5x^{2}+7x-3}}_{+\infty}
[/mm]
[mm] =+\infty
[/mm]
So berechne auch
[mm] \lim\limits_{x\uparrow3}\left(2x-5+\frac{x^{2}+6x-15}{x^{3}-5x^{2}+7x-3}\right)
[/mm]
und
[mm] \lim\limits_{x\downarrow1}\left(2x-5+\frac{x^{2}+6x-15}{x^{3}-5x^{2}+7x-3}\right)
[/mm]
sowie
[mm] \lim\limits_{x\uparrow1}\left(2x-5+\frac{x^{2}+6x-15}{x^{3}-5x^{2}+7x-3}\right)
[/mm]
> [mm]2*3-5+\bruch{3^2 + 6*3 - 15}{3^3 - 5*3^2 + 7*3 - 3}[/mm] =
> [mm]1+\bruch{12}{0}[/mm] = 1
> Obwohl unser Prof immer sagt das uns aufhängt wenn wir
> durch 0 teilen
Die Notation ist gelinde gesagt gruselig. Schreibe doch den Limes davor, dann kannst du dann passend die Grenzwerte berechnen.
Marius
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> Nein, du sollst den Grenzwert berechnen.
> Also:
>
> [mm]\lim\limits_{x\downarrow3}\left(2x-5+\frac{x^{2}+6x-15}{x^{3}-5x^{2}+7x-3}\right)[/mm]
>
> [mm]=\underbrace{\lim\limits_{x\downarrow3}2x}_{6}-\underbrace{
\lim\limits_{x\downarrow3}5}_{5}+\underbrace{
\lim\limits_{x\downarrow3}\frac{x^{2}+6x-15}{x^{3}-5x^{2}+7x-3}}_{+\infty}[/mm]
>
> [mm]=+\infty[/mm]
>
> So berechne auch
>
>
> [mm]\lim\limits_{x\uparrow3}\left(2x-5+\frac{x^{2}+6x-15}{x^{3}-5x^{2}+7x-3}\right)[/mm]
>
> und
>
> [mm]\lim\limits_{x\downarrow1}\left(2x-5+\frac{x^{2}+6x-15}{x^{3}-5x^{2}+7x-3}\right)[/mm]
>
> sowie
>
>
> [mm]\lim\limits_{x\uparrow1}\left(2x-5+\frac{x^{2}+6x-15}{x^{3}-5x^{2}+7x-3}\right)[/mm]
Hallo Marius und Bindl,
ich denke, dass es sinnvoll wäre, diese Grenzwerte nach
der Partialbruchzerlegung zu bestimmen. Dann ist alles
viel übersichtlicher. Vorausgesetzt ist dabei natürlich,
dass man eben zuerst die richtige Zerlegung gefunden
hat.
Der Aufgabensteller hat sich bestimmt auch vorgestellt,
dass man die Partialbruchzerlegung insbesondere zum
Zweck dieser Limesuntersuchungen machen soll.
LG , Al
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Do 12.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie eine Partialbruchzerlegung von
> f(x) = [mm]\bruch{2x^4 - 15x^3 + 40x^2 - 35x}{x^3 - 5x^2 + 7x - 3}[/mm]
>
> sowie das Grenzverhalten inklusive der polynomialen
> Asymptote an allen Polen und im Unendlichen.
> Die Partialbruchzerlegung habe ich gemacht.
> Hier meine Lösungen
> [mm]\bruch{A}{x - 1}[/mm] + [mm]\bruch{B}{x - 2}[/mm] + [mm]\bruch{C}{x - 3}[/mm]
> A
> = -4 B = -2 C = 6
>
Hallo,
die Zerlegung ist falsch, da x=2 keine Nullstelle des Nennerpolynoms ist.
Dafür ist x=1 eine doppelte Nullstelle des Nenners.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Do 12.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Richtig.
Also habe ich jetzt folgendes.
[mm] \bruch{2x^4 - 15x^3 + 40x^2 - 35x}{(x-1)^2 (x-3)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{(x-1)^2} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x-1} [/mm] + [mm] \bruch{C}{x-3}
[/mm]
Durch zuhalten bekomme ich A & C
A = 4 & C = 3
B versuche ich durch Koeffitientenvergleich zu bekommen.
Hier mein Ansatz:
[mm] 2x^4 [/mm] - [mm] 15x^3 [/mm] + [mm] 40x^2 [/mm] - 35x = 4(x-3) + B(x-1)(x-3) + [mm] 3(x-1)^2
[/mm]
Stimmt mein Ansatz?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Do 12.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, schon der Ansatz ist falsch , du kommst rechts nie auf ein Polynom 4 ten Grades.
du musst erst dividieren , wie für die Assymptote und dann die Partialbruchzerlegung machen.
Was mit zuhalten gemeint ist kann ich nicht verstehen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Do 12.12.2013 | | Autor: | Bindl |
Also muss ich zuerst Polynomdivision machen
[mm] (2x^4-15x^3+40x^2-35x)/(x^3-5x^2+7x-3) [/mm] = 2x - 5 + [mm] \bruch{x^2+6x-15}{x^3-5x^2+7x-3}
[/mm]
Und dann?
Ich komme jetzt ehrlich gesagt nicht mal auf einen Ansatz.
Muss ich jetzt mit dem Bruch [mm] \bruch{x^2+6x-15}{x^3-5x^2+7x-3} [/mm] die Partialbruchzerlegung machen ?
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Hallo Bindl,
> Also muss ich zuerst Polynomdivision machen
> [mm](2x^4-15x^3+40x^2-35x)/(x^3-5x^2+7x-3)[/mm] = 2x - 5 +
> [mm]\bruch{x^2+6x-15}{x^3-5x^2+7x-3}[/mm]
>
> Und dann?
> Ich komme jetzt ehrlich gesagt nicht mal auf einen
> Ansatz.
> Muss ich jetzt mit dem Bruch
> [mm]\bruch{x^2+6x-15}{x^3-5x^2+7x-3}[/mm] die Partialbruchzerlegung
> machen ?
Ja. Und da schon die Faktorzerlegung des Nenners bekannt
ist:
$\ [mm] x^3-5x^2+7x-3\ [/mm] =\ [mm] (x-1)^2*(x-3)$
[/mm]
lautet der Ansatz für die Partialbruchzerlegung:
$\ [mm] \frac{x^2+6\,x-15}{ (x-1)^2*(x-3)}\ [/mm] =\ [mm] \frac{A}{ (x-1)^2}\ [/mm] +\ [mm] \frac{B}{x-1}\ [/mm] +\ [mm] \frac{C}{ x-3}$
[/mm]
LG
Al-Chw.
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