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Hallo ihr.
Hallo ihr,
Die Frage war:
Welche Elemente im Polynomring K[X] haben ein multiplikatives Inverses ?
Meine Antwort:
Nur diejenigen die eine Umkehrfunktion beitzen(also diejenigen die eindeutig umkehrbar sind)
Also [mm] x^2 [/mm] zum Beispiel nicht.
Oder ist das mit der Eindeutigkeit da nicht entscheidend?
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Lg Sandra
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Hallo!
Ich glaube, du hast da noch etwas nicht ganz verstanden.
Das mit dem inversen meint keine Umkehrfunktion, sondern eine Element, das man mit einem anderen Element der Gruppe multiplizieren kann, sodaß 1 raus kommt:
[mm] a*a^{-1}=a^{-1}*a=1
[/mm]
In deinem Fall wäre das z.B.
[mm] x^2*\frac{1}{x^2}=x^2x^{-2}=1
[/mm]
Allerdings gehören zu den Polynomen normalerweise keine negativen Exponenten, und daher gehört [mm] x^{-2} [/mm] nicht dazu. Da die mit x demnach alle nicht dazu gehören, bleiben nur noch die einfachen Zahlen, also [mm] c*x^0=c [/mm] dazu, denn die Koeffizienten stammen meistens aus ganz [mm] \IR [/mm] .
Denke auch daran, daß die Addition und Multiplikation bei Ringen und Körpern nicht das sein muß, was du aus der Grundschule kennst. Das kann auch anders definiert sein, z.B. könnten die Elemente Matrizen sein, und dazu die Matrizenaddition und -multiplikation. Das ist eigentlich ein gutes Beispiel, da multiplikativ inverse Matrizen nunmal nicht einfach der Kehrwert sind, sowas gibts da ja nicht. Auch ist die 1 da nicht die Zahl 1, sondern die Einheitsmatrix.
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> Hallo!
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> Ich glaube, du hast da noch etwas nicht ganz verstanden.
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> Das mit dem inversen meint keine Umkehrfunktion, sondern
> eine Element, das man mit einem anderen Element der Gruppe
> multiplizieren kann, sodaß 1 raus kommt:
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> [mm]a*a^{-1}=a^{-1}*a=1[/mm]
>
> In deinem Fall wäre das z.B.
>
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> [mm]x^2*\frac{1}{x^2}=x^2x^{-2}=1[/mm]
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> Allerdings gehören zu den Polynomen normalerweise keine
> negativen Exponenten, und daher gehört [mm]x^{-2}[/mm] nicht dazu.
> Da die mit x demnach alle nicht dazu gehören, bleiben nur
> noch die einfachen Zahlen, also [mm]c*x^0=c[/mm] dazu, denn die
> Koeffizienten stammen meistens aus ganz [mm]\IR[/mm] .
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> Denke auch daran, daß die Addition und Multiplikation bei
> Ringen und Körpern nicht das sein muß, was du aus der
> Grundschule kennst. Das kann auch anders definiert sein,
> z.B. könnten die Elemente Matrizen sein, und dazu die
> Matrizenaddition und -multiplikation. Das ist eigentlich
> ein gutes Beispiel, da multiplikativ inverse Matrizen
> nunmal nicht einfach der Kehrwert sind, sowas gibts da ja
> nicht. Auch ist die 1 da nicht die Zahl 1, sondern die
> Einheitsmatrix.
>
Ja genau aus dem grund hatte ich auch falsch gedacht. Häufg werden Rinege etc ja durch zum Beispiel Komposition als Multiplikation definiert. Und deswegen habe ich an die Umkehrfunktionen gedacht. Denn dann: f°f^-1=id
Richtig?
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Und deswegen habe ich an die
> Umkehrfunktionen gedacht. Denn dann: f°f^-1=id
> Richtig?
Ja, denn so ist die Umkehrfunktion ja definiert.
Gruß v. Angela
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