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| Aufgabe | Sei f = [mm] T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+...+a_{0} \in \IZ[T] [/mm] und sei [mm] \alpha \in \IQ [/mm] eine Wuzel von f. Zeigen Sie:
[mm] \alpha \in \IZ [/mm] und [mm] \alpha|a_{0} [/mm] |
Also ich hab jetzt mal so angefangen:
[mm] \alpha [/mm] ist eine Wurzel von f
[mm] \Rightarrow [/mm] Es ex. q [mm] \in \IZ[T] [/mm] mit f = [mm] (T-\alpha)*q \in \IZ[T]
[/mm]
[mm] \Rightarrow (T-\alpha) [/mm] = 0 für [mm] T=\alpha
[/mm]
Ist der Ansatz so richtig? Und wie mach ich jetzt weiter?
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> Sei f = [mm]T^{n}+a_{n-1}T^{n-1}+...+a_{0} \in \IZ[T][/mm] und sei
> [mm]\alpha \in \IQ[/mm] eine Wuzel von f. Zeigen Sie:
> [mm]\alpha \in \IZ[/mm] und [mm]\alpha|a_{0}[/mm]
> Also ich hab jetzt mal so angefangen:
> [mm]\alpha[/mm] ist eine Wurzel von f
> [mm]\Rightarrow[/mm] Es ex. q [mm]\in \IZ[T][/mm] mit f = [mm](T-\alpha)*q \in \IZ[T][/mm]
Hallo,
das ist richtig, und Du weißt ja auch ein bißchen etwas über den Grad des Polynoms q.
Für die Aufgabe brauchst Du das nicht.
Schreibe [mm] \alpha [/mm] als gekürzten Bruch [mm] \bruch{r}{s} [/mm] und ziehe Schlüsse aus
[mm] f(\bruch{r}{s})=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hm....
verstehe schon, wwas du meinst...aber was kann ich jetzt für schlüsse ziehen? irgendwie kommt da bei mir nix sinnvolles zustande...
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> Hm....
> verstehe schon, wwas du meinst...aber was kann ich jetzt
> für schlüsse ziehen? irgendwie kommt da bei mir nix
> sinnvolles zustande...
Hallo,
das ist etwas vage...
Man müßte schon sehen, was Du dastehen hast, und vielleicht kannst Du gleich mal so multiplizieren, daß man keine Brüche mehr hat.
Gruß v. Angela
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Ok, also:
[mm] f(\bruch{r}{s}) [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow (\bruch{r}{s})^{n} [/mm] + [mm] a_{n-1} (\bruch{r}{s})^{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_{1} \bruch{r}{s} [/mm] + [mm] a_{0} [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow r^{n} [/mm] + [mm] a_{n-1} r^{n-1}s [/mm] + ... + [mm] a_{1} [/mm] r [mm] s^{n-1} [/mm] + [mm] a_{0} s^{n} [/mm] = 0
Stimmt soweit, oder? Und jetzt müsste ich ja irgendwie folgern, dass s = 1 sein muss, damit die zahl in [mm] \IZ [/mm] ist, oder?
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Oder stimmt des so garnicht???
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Mo 19.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> [mm]f(\bruch{r}{s})[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow (\bruch{r}{s})^{n}[/mm] + [mm]a_{n-1} (\bruch{r}{s})^{n-1}[/mm]
> + ... + [mm]a_{1} \bruch{r}{s}[/mm] + [mm]a_{0}[/mm] = 0
>
> [mm]\Rightarrow r^{n}[/mm] + [mm]a_{n-1} r^{n-1}s[/mm] + ... + [mm]a_{1}[/mm] r
> [mm]s^{n-1}[/mm] + [mm]a_{0} s^{n}[/mm] = 0
>
> Stimmt soweit, oder?
ja, das passt.
> Und jetzt müsste ich ja irgendwie
> folgern, dass s = 1 sein muss, damit die zahl in [mm]\IZ[/mm] ist,
> oder?
$s = [mm] \pm [/mm] 1$. bringe dazu alle summanden, die potenzen von $s$ enthalten auf eine seite und klammere dies aus. was kann man nun über die teilbarkeit von $r$ durch $s$ aussagen?
grüße
andreas
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